2022年数列归纳总结教学提纲

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1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流等差数列与等比数列的有关知识比较一览表等差数列等比数列定义一般地,如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫公差一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列这个常数叫公比递推关系121nnaaaa（*nN）1nnaad（*nN）11nnnnaaaa（*2,nnN）121nnaaaa（*nN）1nnaqa（*0,qnN）11nnnnaaaa（*2,nnN）通项公式1(1)naand（*nN）napnq（*,p qnN为常数）11n

2、nqaa（*nN）nnqpa（*,0,0,p qqpnN是常数）求和公式12()nnSn aa（*nN）1(1)2nn nSnad(*nN)2nSAnBn(*,A BnN是常数)求积公式nnniiaaa)(121(*nN)11,1(1),11nnna qSaqqq(*nN)1,1,1nnna qSAAqq(*nN，0A)主若 p+q=s+r,p、q、s、rN*,则pqsraaaa.对任意c0,c1,nac为等比数列.*112,2nnnaaanNn.若 p+q=s+r,p、q、s、rN*,则rsqpaaaa.对任意c0,c1,若an恒大于0，则logcna为等差数列.2,211nNnaaannn

3、.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 8 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流要性质若na、nb分别为两等差数列，则nnab为等差数列.数列nSn为等差数列.若nb为正项等差自然数列，则nba为等差数列.,232nnnnnSSSSS为 等 差 数列.2nn mmSSSnnm，n2m，m、n*N.m nmnSSSmnd.若,mnSSmn则0m nS.若na、nb为两等比数列，则nnba为等比数列.若 an恒大于 0，则数列nniia1为等比数列.若nb为正项等差自然数列，则nba为等比数列.,232nnnnnSSSSS为等比数列.mnmnmi

4、inniiaa211，n2m，m、n*N，*0,papN.mnm nmnnmSSq SSq S.若,2121nmaaaaaanm则nmiia11.此外，还要了解一些等差数列与等比数列中的重要结论，这些结论之间不具有对偶关系：重要结论等差数列等比数列 若,pqaq app、q*N，且qp,则0p qa.若,pSqSqp且qp,则(),pqSpqp、q*N.)1()1(2mnmmmmnqqqSS=)1()1(2nmnnnqqqS.若|q|1,则nnSlim11aSq.求数列 an通项公式的方法名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 8 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联

5、系网站删除只供学习与交流11na=na+)(nf型累加法：na=（na1na）+（1na2na）+（2a1a）+1a=)1(nf+)2(nf+)1(f+1a例 1.已知数列 na满足1a=1，1na=na+n2（nN+），求na.解 na=na1na+1na2na+2a1a+1a=12n+22n+12+1=2121n=n21 na=n21（nN+）31na=pna+q 型（p、q 为常数）方法：（1）1na+1pq=)1(pqapn，再根据等比数列的相关知识求na.（2）1nana=)(1nnaap再用累加法求na.（3）11nnpa=nnpa+1npq，先用累加法求nnpa再求na.例 3.

6、已知 na 的首项1a=a（a 为常数），na=21na+1（nN+，n2），求na.解 设na=2（1na），则=1 na+1=2（1na+1）1na为公比为 2 的等比数列.na+1=（a+1）12nna=（a+1）12n1 2)(1ngaann型累乘法：na=1nnaa21nnaa12aa1a例 2.已知数列 na 满足naann 1（nN+），1a=1，求na.解 na=1nnaa21nnaa12aa1a=（n1）（n2）11=（n1）！na=（n1）！（nN+）41na=pna+)(nf型（p 为常数）方法：变形得11nnpa=nnpa+1)(npnf，则nnpa 可用累加法求出，由

7、此求na.例4.已知na满足1a=2，1na=2na+12n.求na.解 112nna=nna2+1 nna2 为等差数列.nna2=nna121na=nn2名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 8 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流52na=p1naqna型（p、q 为常数）特征根法：qpxx2（1）21xx时，na=1Cnx1+2Cnx2（2）21xx时，na=（1C+2Cn）nx1例 5.数列 na 中，1a=2，2a=3，且 2na=1na+1na（nN+，n2），求na.解 1na=2na1na122xx121xxna=（1C+2

8、Cn）n1=1C+2Cn 3222121CCCC1121CC)(1Nnnan7“已知nS，求na”型方法：na=nS1nS（注意1a是否符合）例 6.设nS为na 的前 n 项和，nS=23（na1），求na（nN+）解 nS=23（na1）（nN+）当 n=1 时，1a=23（1a1）1a=3 当 n2 时，na=nS1nS=23（na1）23（1na1）na=31nana=n3（nN+）61na=DCaBAann型（A、B、C、D 为常数）特征根法：x=DCxBAx（1）21xx时，21xaxann=C2111xaxann（2）21xx时，11xan=Cxan111例 6.已知1a=1，1

9、na=22nnaa（nN+），求na.解 x=22xx021xxna1=11na+C 1a=1，2a=32，代入，得C=21na1为首项为 1，d=21的等差数列.na1=21nna=12n（nN+）8“已知na，1na，nS的关系，求na”型方法：构造与转化的方法.例 8.已知 na 的前 n 项和为nS，且na+2nS（1nS1nana）=0（n2），1a=21，求na.解 依题意，得nS1nS+2nS1nS=0 nS111nS=2 nS1=+2（n）=2n nS=n21，1nS=)1(21nna=nS-1nS=2n21)1(21n=)1(21nn（2n）na=)2,()1(21)1(21

10、nNnnnn练一练名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流1 an 是首项 a11，公差为 d3 的等差数列，如果 an2 005，则序号 n 等于()A667 B668 C669 D670 2在各项都为正数的等比数列 an中，首项a13，前三项和为21，则 a3a4a5()A33 B72 C84 D189 3如果 a1，a2，a8为各项都大于零的等差数列，公差d0，则()Aa1a8a4a5 Ba1a8a4a5Ca1a8a4a5Da1a8a4a54已知方程(x22xm)(x22xn)0 的四个根组成一个首

11、项为41的等差数列，则mn等于()A1 B43C21D835等比数列 an 中，a29，a5243，则 an的前 4 项和为().A81 B120 C168 D192 6若数列 an 是等差数列，首项a10，a2 003a2 0040，a2 003a2 0040，则使前 n 项和 Sn0 成立的最大自然数n 是()A4 005 B4 006 C4 007 D4 008 7已知等差数列 an的公差为 2，若 a1，a3，a4成等比数列,则 a2()A 4 B 6 C 8 D 10 8设 Sn是等差数列 an 的前 n 项和，若35aa95，则59SS()A1 B 1 C2 D219已知数列 1，

12、a1，a2，4 成等差数列，1，b1，b2，b3，4 成等比数列，则212baa的值是()1C 解析：由题设，代入通项公式ana1(n1)d，即 2 00513(n1)，n6992C 解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 8 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流设等比数列 an的公比为 q(q0)，由题意得a1a2a321，即 a1(1qq2)21，又 a13，1qq27解得 q2 或 q 3(不合题意，舍去)，a3a4a5a1q2(1qq2)3227843B解析：由 a1a8a4a5，排除

13、C又 a1a8a1(a17d)a127a1d，a4a5(a13d)(a14d)a127a1d 12d2a1a84C 解析：解法 1：设 a141，a241d，a3412d，a4413d，而方程x22xm0 中两根之和为2，x22xn0 中两根之和也为2，a1a2a3a416d4，d21，a141，a447是一个方程的两个根，a143，a345是另一个方程的两个根167，1615分别为 m 或 n，mn21，故选 C解法2：设方程的四个根为x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x42，x1x2m，x3x4n由等差数列的性质：若spq，则 aasapaq，若设 x1为第一项，x2必为第四项，则 x

14、247，于是可得等差数列为41，43，45，47，m167，n1615，mn215B 解析：a29，a5243，25aaq3924327，q3，a1q9，a13，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流S43133522401206B 解析：解法 1：由 a2 003a2 0040，a2 003a2 0040，知 a2 003和 a2 004两项中有一正数一负数，又 a10，则公差为负数，否则各项总为正数，故a2 003a2 004，即 a2 0030，a2 0040.S4 0062006400641)(

15、aa2006400420032)(aa0，S4 00720074(a1a4 007)200742a2 0040，故 4 006 为 Sn0 的最大自然数.选 B解法 2：由 a10，a2 003a2 0040，a2 003a2 0040，同解法 1 的分析得a2 0030，a2 0040，S2 003为 Sn中的最大值Sn是关于 n 的二次函数，如草图所示，2 003 到对称轴的距离比2 004 到对称轴的距离小，20074在对称轴的右侧根据已知条件及图象的对称性可得4 006 在图象中右侧零点 B 的左侧，4 007，4 008 都在其右侧，Sn0 的最大自然数是4 0067B 解析：an是等差数列，a3a14，a4a16，又由 a1，a3，a4成等比数列，(a14)2a1(a16)，解得 a1 8，a2 82 68A 解析：59SS2)(52)(95191aaaa3559aa59951，选 A9A 解析：设 d 和 q 分别为公差和公比，则413d 且 4(1)q4，d 1，q22，(第 6 题)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流212baa2qd21名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -