2022年数学奥林匹克初中训练题 2

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1、数学奥林匹克初中训练题13 这是我辛苦搜集来奉献给大家的第一试一、选择题(每小题 7 分，共 42 分)1.正整数 1，2，2 008 中，能表示为形如n-m1-mn(m、nN+)的数的个数是().(A)2 008(B)2 006(C)2 007(D)2 004 2.已知 a、b、c 满足|2a-4|+|b+2|+23)b-(a+a2+c2=2+2ac.则 a-b+c 的值为().(A)4(B)6(C)8(D)4 或 8 3.如图，在 RtABC 中，BAC=90，AB=4，BC=12，AD BC 于点 D，ABC的平分线分别交C、AD 于点 E、F.过 F 作 GBC 交 AC 于点 G.则

2、 FG 的长为().(A)10(B)6(C)8(D)9 4.设 m 为整数.若关于 x 的方程 mx2+(2-2m)x+m-4=0有整数解，则m 的可能值有()个.(A)1(B)2(C)3(D)4 5.如图，五边形 ABCDE 中，A=120，B=E=90，AB=BC=1，AE=DE=2.在 BC、DE 上分别找一点M、N，使得 AMN的周长最小.则 AMN 的最小周长为().(A)2 6(B)2 7(C)4 2(D)5 6.已知 2n(nN+)能整除 2 0072 048-1.则 n 的最大值是().(A)12(B)13(C)14(D)15 二、填空题(每小题 7 分，共 28 分)1.已知

3、 x 为实数，0202x3-3x-0302=54.则280202x3+27 3x-0302=.2.如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O，BAD=BCD=60，CBD=55，ADB=50.则 AOB 的度数为.3.已知 n 为自然数，9n2-10n+2 009 能表示为两个连续自然数之积.则 n 的最大值为.4.如图是一个挂在墙壁上时钟的示意图.O 是其秒针的转动中心，M 是秒针的另一端，OM=10 cm，l 是过点 O 的铅直直线.现有一只蚂蚁P在秒针 OM 上爬行，蚂蚁P到点 O 的距离与M 到 l 的距离始终相等.1 分钟的时间内，蚂蚁P 被秒针 OM 携带的过程中移动的路程(非蚂蚁在

4、秒针上爬行的路程)是cm.第二试一、(20 分)设 k 为常数，关于x 的方程 x2-2x+2k-2x-x9k-3k22=3-2k 有四个不同的实数根.求 k的取值范围.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -二、(25 分)已知 O 是 ABC 的外心，BAC=45，延长BC 至 D，使 CD=21BC，AD OC.求 ABC 的度数.三、(25 分)过年时，祖母给三个孙子压岁钱，总额400 元.共有 50 元、20 元、10 元三种面额的纸币各若干张，供三个孙子选择，但每人只能拿同一种面额的钱，其中一人所拿钱的张数恰好等于另两人所拿钱的张数之积.问有多少种选

5、择面额及张数的方式?数学奥林匹克初中训练题13 参考答案第一试一、1.C.若n-m1-mn=1，整理得(m+1)(n-1)=0.解得 m=-1 或 n=1.故当 n=1，m1 时，n-m1-mn=1.若n-m1-mn=2，整理得(m+2)(n-2)=-3=3(-1).解得 m=1，n=1.但 mn，于是，n-m1-mn2.所以，2 不能表示为形如n-m1-mn的数.若n-m1-mn=a(aZ，a2)，即 mn-am+an-1=0.故(m+a)(n-a)=1-a2=(a2-1)(-1).因此，m+a=a2-1，n-a=-1，即 m=a2-a-1，n=a-1.显然，mn.当 m=a2-a-1，n=

6、a-1 时，n-m1-mn=a.2.D.当 b=0 时，原等式化为|2a-4|+(a-c)2=0.解得 a=c=2.所以，a-b+c=4.当 b0 时，b20，a3.故2a-42.原等式化为2a-4+|b+2|+23)b-(a+(a-c)2=2，即|b+2|+23)b-(a+(a-c)2=6-2a.故 6-2a0，即 a3.所以，a=3.则|b+2|+(3-c)2=0.解得 b=-2，c=3.所以，a-b+c=3-(-2)+3=8.3.C.在 RtABC 中，由射影定理得AB2=BD BC.所以，BD=4/3.故 DC=BC-BD=32/3.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2

7、 页，共 5 页 -由 BF 是 ABC 的平分线得AF/FD=AB/BD=3.则 AF/AD=FDAFAF=34.因为 FGCD，所以，FG/DC=AF/AD.故 FG=8.4.B.原方程化为m(x-1)2=4-2x.显然，x1.则 m(x-1)=1-x2x-4=-2+1-x2.已知 m、x 均为整数，则1-x2为整数.故 x-1=1，2，即 x=2，0，3，-1.相应地，m 的值分别为0，4，-12，32.所以，m 的值为 0或 4.5.B.如图，延长AB 至 P，使 PB=AB;延长 AE 至 Q，使 EQ=AE.联结 PQ分别交 BC、DE 于点 M、N.则 AMN 的周长最小，最小周

8、长就是线段 PQ 的长.过 P作 PFAE 于 F.易知 PAF=60，PF=23AP=3，AF=21AP=1.又 AQ=2AE=4，则在 RtPQF 中，由勾股定理得PQ=2 7.在 APQ 中，由余弦定理得cosAPQ=2 7/7.故 BM0，2=(-2)2-4 1(-k-3)0.解得-4k1.由 y0，知 k0 或 3.又因方程与方程的根不同，所以，-kk+3，即 k-3/2.故 k 的取值范围是-4k1 且 k0 和-3/2.二、如图，联结OA、OB，延长 BO 交 AD 于点 E.由 BAC=45 BOC=90 OBC=OCB=45.由 AD OC OEAD，BO/OE=BC/CD=

9、2 ABE=21AOE=30 ABC=30+45=75.记 AD 与 O 的另一交点为A1，联结 A1B、A1C.则有 BA1C=BAC=45.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 5 页 -所以，A1BC 可为已知 ABC 的另一种情形.又 ACB=180-BAC-ABC=180 -45-75=60，D=OCB=45，故A1BC=CAD=ACB-D=15.因此，ABC 的度数为 75或 15.三、设三人所拿钱的张数分别为xy、x、y，面额分别为a 元、b 元、c 元，x1，y1.则 axy+bx+cy=400.(1)当 a=b=c，即三人所选面额相同时，则xy+x+y

10、=400/a，即(x+1)(y+1)=400/a+1.(i)若 a=50，则(x+1)(y+1)=9=33.解得 x=2，y=2.所以，三人中，每人选50 元面额的张数分别为2，2，4.此时，有一种选择方式.(ii)若 a=20，则(x+1)(y+1)=21=37.解得 x=2，y=6.所以，三人选择20 元有一种选择方式.(iii)若 a=10，则(x+1)(y+1)=41.此时，x、y 无正整数解.(2)当 a、b、c 中有两个值相等时，根据选择无顺序性，可分为a=bc，b=ca 两种情形.当 a=b c 时，axy+ax+cy=400，即(ax+c)(y+1)=400+c(y+1 2).

11、(i)若 a=50，c=20，则(50 x+20)(y+1)=420，即(5x+2)(y+1)=42=7 6.解得 x=1，y=5.此时，有一种选择方式.(ii)若 a=50，c=10，则(50 x+10)(y+1)=410，即(5x+1)(y+1)=41(质数).上式无正整数解.(iii)若 a=20，c=50，则(20 x+50)(y+1)=450，即(2x+5)(y+1)=45=9 5=153.解得 x=2，y=4 或 x=5，y=2.所以，有两种选择面额及张数方式.同理可得:(iv)若 a=20，c=10，无正整数解.(v)若 a=10，c=50，有两种选择面额及张数方式.(vi)若 a=10，c=20，有五种选择面额及张数方式.(3)当 a、b、c 两两不相等时，同理可得:(i)若 a=10，b=20，c=50，有一种选择面额及张数方式.(ii)若 a=20，b=10，c=50，有一种选择面额及张数方式.(iii)若 a=50，b=10，c=20，无正整数解.综上选择面额及张数方式共有14 种名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -