2019-2020学年高中数学 第三章 推理与证明 4 反证法练习 北师大版选修1-2

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1、4反证法课时过关能力提升1.有下列叙述:“ab”的反面是“ay或xb,那么3a3b”,假设的内容应是()A.3a=3bB.3a3bC.3a=3b,且3a3bD.3a=3b或3a3b的否定是3a=3b或3ab,则两个数列中序号与数值均相同的项有()A.0个B.1个C.2个D.无穷多个解析:假设两个数列中存在序号与数值均相等的项,即存在n0,使得an0=bn0,则an0+2=bn0+1,即an0+1=bn0,则an0bn0,n0N+,ab矛盾.不存在n0,使得an0=bn0.故选A.答案:A5.设a,b,c是正数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR0”是“P,Q,R同时大于

2、零”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:必要性显然.充分性:若PQR0,则P,Q,R同时大于零或其中两个负数一个正数,不妨假设P0,Q0.P0,Q0,a+bc,b+ca,a+b+b+cc+a,b1;a+b=2;a+b2;a2+b22;ab1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是.(填序号)解析:若a=12,b=23,则a+b1,但a1,b2,故推不出.若a=-2,b=-3,则ab1,故推不出.对于,若a+b2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a1且b1,则a+b2.与a+b2矛盾,因此假设不成立.故a,b中至少有一个大于1.答

3、案:9.求证:抛物线上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形.证明如图,不妨设抛物线的方程为y2=ax(a0),且A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)是抛物线上不同的四点.若AD,BC的斜率均不存在,由抛物线的对称性知四边形ABCD为梯形,不是平行四边形.若AD,BC的斜率有一个不存在,则易知AD与BC不平行,故四边形ABCD不是平行四边形.若AD,BC的斜率均存在,则kAB=y2-y1x2-x1=y2-y1y22a-y12a=ay2+y1.同理kBC=ay3+y2,kCD=ay4+y3,kDA=ay1+y4.假设四边形ABCD是平行四边形,则kAB=kCD

4、,kBC=kDA,从而得y1=y3,y2=y4,进而得x1=x3,x2=x4,于是A,C重合,B,D重合,这与A,B,C,D是抛物线上不同的四点相矛盾.故四边形ABCD不可能是平行四边形.10.已知f(x)=x2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于12.分析:本题结论中含有“至少”,结论情况比较多,可用反证法证明.证明假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于12,则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2.而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|f(1)-2f(2)+f(3)|=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=

5、2,出现矛盾,所以假设不成立.故|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于12.11.已知x,y,zR,x+y+z=1,x2+y2+z2=12,求证:x,y,z0,23.分析:本题中的条件比较复杂,而结论比较简单,不太容易入手证明,可用反证法证明.证明由条件,得y+z=1-x,y2+z2(y+z)22,则12=x2+y2+z2x2+(y+z)22=x2+(1-x)22=32x2-x+12=32xx-23+12.假设x,y,z中有负数,不妨设x0,则x-230.32xx-23+1212,这与1232xx-23+12矛盾,x,y,z中没有负数.假设x,y,z中有一个大于23,不妨设x23,则x0.32xx-230.32xx-23+1212,这与1232xx-23+12矛盾.x,y,z中没有大于23的.综上所述,x,y,z0,23.7