第一章至第四章部分课后习题答案

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1、概率论与数理统计部分习题答案 第一章 概率论的基本概念1. 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（一 1），n表小班人数（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（一 2）S=10，11，12，n，（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。（一 (3)）S=00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，101

2、1，1101，1110，1111，6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。（1）求最小的号码为5的概率。记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A 10人中任选3人为一组：选法有种，且每种选法等可能。又事件A相当于：有一人号码为5，其余2人号码大于5。这种组合的种数有（2）求最大的号码为5的概率。记“三人中最大的号码为5”为事件B，同上10人中任选3人，选法有种，且每种选法等可能，又事件B相当于：有一人号码为5，其余2人号码小于5，选法有种8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1）求恰有90个次品的概率。记“恰有9

3、0个次品”为事件A 在1500个产品中任取200个，取法有种，每种取法等可能。200个产品恰有90个次品，取法有种（2）至少有2个次品的概率。记：A表“至少有2个次品”B0表“不含有次品”，B1表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法有种，200个产品含一个次品，取法有种 且B0，B1互不相容。9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？记A表“4只全中至少有两支配成一对”则表“4只人不配对” 从10只中任取4只，取法有种，每种取法等可能。要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有14.（1） 已知。解一： 注意. 故有

4、P (AB)=P (A)P (A)=0.70.5=0.2。再由加法定理，P (A)= P (A)+ P ()P (A)=0.7+0.60.5=0.8于是14.（2） 。解：由由乘法公式，得由加法公式，得16. 据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P(A)=P孩子得病=0.6，P (B|A)=P母亲得病|孩子得病=0.5，P (C|AB)=P父亲得病|母亲及孩子得病=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解：所求概率为P (AB)（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求P (|AB)P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.60.5=0.3

5、, P (|AB)=1P (C |AB)=10.4=0.6.从而P (AB)= P (AB) P(|AB)=0.30.6=0.18.17. 已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。（1）二只都是正品（记为事件A）法一：用组合做 在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。法二：用排列做 在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。法三：用事件的运算和概率计算法则来作。记A1，A2分别表第一、二次取得正品。（2）二只都是次品（记为事件B）法一：法二：法三：（3）一只是正品，一只是次品（记为事

6、件C）法一：法二：法三： （4）第二次取出的是次品（记为事件D）法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作，法二：法三： 18. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？记H表拨号不超过三次而能接通。Ai表第i次拨号能接通。注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。 如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。 22. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P，若第一次及格则第二次及格的概率也为P；若第一次不及格则第二次及格

7、的概率为（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。解：Ai=他第i次及格，i=1,2 已知P (A1)=P (A2|A1)=P，（1）B=至少有一次及格所以 （2）（*）由乘法公式，有P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2由全概率公式，有 将以上两个结果代入（*）得25. 某人下午5:00下班，他所积累的资料表明：到家时间5:355:395:405:445:455:495:505:54迟于5:54乘地铁到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽车到家的概率0.300.350.200

8、.100.05某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。解：设A=“乘地铁”，B=“乘汽车”，C=“5:455:49到家”，由题意,AB=,AB=S已知：P (A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B)=0.5由贝叶斯公式有34.（1）设有4个独立工作的元件1，2，3，4。它们的可靠性分别为P1，P2，P3，P4，将它们按图（1）的方式联接，求系统的可靠性。记Ai表示第i个元件正常工作，i=1，2，3，4，2413A表示系统正常。 A=A1A2A3+ A1A4两种情况不互斥 P (A)= P (A1A2A3)+

9、P (A1A4)P (A1A2A3 A4) (加法公式)= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)P (A1) P (A2)P (A3)P (A4)= P1P2P3+ P1P4P1P2P3P4(A1, A2, A3, A4独立)312LR34.（2） 如图1，2，3，4，5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率为p，且设各继电器闭合与否相互独立，求L和R是通路的概率。54记Ai表第i个接点接通记A表从L到R是构成通路的。 A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2四种情况不互斥 P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)

10、+P (A4A3A2)P (A1A2A3A5)+ P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4A5)+ P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5)+ (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5)P (A1A2 A3 A4A5)又由于A1，A2， A3， A4，A5互相独立。故 P (A)=p2+ p3+ p2+ p3p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4 + p5 + p5+ p5+ p5p5=2 p2+ 3p35p4 +2 p5第二章 随机

11、变量及其分布3. 设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0，1，2个。Px12O6. 一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？8. 甲、乙二人投篮，投中的概率各为0.6, 0.7，令各投三次。求（1）二人投中次数相等的概率。记X表甲三次投篮中投

12、中的次数Y表乙三次投篮中投中的次数由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立。P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3) = P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3) = (0.4)3 (0.3)3+ （2）甲比乙投中次数多的概率。 P (XY)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=P (X=1) P (Y=0)

13、+ P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)= 19. 以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计），X的分布函数是求下述概率：（1）P至多3分钟；（2）P 至少4分钟；（3）P3分钟至4分钟之间；（4）P至多3分钟或至少4分钟；（5）P恰好2.5分钟解：（1）P至多3分钟= P X3 = （2）P 至少4分钟 P (X 4) = （3）P3分钟至4分钟之间= P 3X4= （4）P至多3分钟或至少4分钟= P至多3分钟+P至少4分钟 = （5）P恰好2.5分

14、钟= P (X=2.5)=020. 设随机变量X的分布函数为，求（1）P (X2), P 0X3, P (2X)；（2）求概率密度fX (x).解：（1）P (X2)=FX (2)= ln2， P (0X3)= FX (3)FX (0)=1，（2）21.（2）设随机变量的概率密度为求X的分布函数F (x)，并作出f (x)与F (x)的图形。解：（2）故分布函数为f (x)与F (x)的图形如下f (x)x0F (x)21x01223. 某种型号的电子的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度： 现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）。任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率

15、是多少？解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则，24. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为：某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律。并求P（Y1）。解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为因此25. 设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程有实根的概率 K的分布密度为：要方程有根，就是要K满足(4K)244 (K+2)0。解不等式，得K2时，方程有实根。26. 设XN（3.22）（1）求P (2X5)

16、，P (4)2，P (X3)若XN（，2），则P (X)=P (2X5) =(1)(0.5) =0.84130.3085=0.5328P (42)=1P (|X|2)= 1P (2 P3)=1P (X3)=1=10.5=0.5（2）决定C使得P (X C )=P (XC)P (X C )=1P (XC )= P (XC)得P (XC )=0.5又P (XC )= C =327. 某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg计）服从在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求（1）P (X105)，P (100x) 0.05.解:28. 由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为=10.05

17、，=0.06的正态分布。规定长度在范围10.050.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？设螺栓长度为XPX不属于(10.050.12, 10.05+0.12) =1P (10.050.12X10.05+0.12) =1 =1(2)(2) =10.97720.0228 =0.045629. 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为=160，(未知)的正态分布，若要求P (120X200=0.80，允许最大为多少？ P (120X200)=又对标准正态分布有(x)=1(x) 上式变为 解出 再查表，得34. 设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布（1）求Y=eX的分布密度 X的分

18、布密度为：Y=g (X) =eX是单调增函数又X=h (Y)=lnY，反函数存在且 = ming (0), g (1)=min(1, e)=1 maxg (0), g (1)=max(1, e)= e Y的分布密度为：（2）求Y=2lnX的概率密度。 Y= g (X)=2lnX是单调减函数又 反函数存在。且 = ming (0), g (1)=min(+, 0 )=0 =maxg (0), g (1)=max(+, 0 )= + Y的分布密度为：35. 设XN（0，1）（1）求Y=eX的概率密度 X的概率密度是 Y= g (X)=eX是单调增函数又X= h (Y ) = lnY 反函数存在且

19、= ming (), g (+)=min(0, +)=0 = maxg (), g (+)= max(0, +)= + Y的分布密度为：（2）求Y=2X2+1的概率密度。在这里，Y=2X2+1在(+，)不是单调函数，没有一般的结论可用。设Y的分布函数是FY（y），则FY ( y)=P (Yy)=P (2X2+1y) =当y1时，( y)= FY ( y) = =（3）求Y=| X |的概率密度。Y的分布函数为 FY ( y)=P (Yy )=P ( | X |y)当y0时：( y)= FY ( y) =第三章 多维随机变量及其分布1. 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两

20、次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。解：（1）放回抽样情况由于每次取物是独立的。由独立性定义知。P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j)P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )=或写成XY0101（2）不放回抽样的情况P X=0, Y=0 =P X=0, Y=1 =P X=1, Y=0 =P X=1, Y=1 =或写成XY01012. 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取

21、到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。XY01230001020解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j2，联合分布律为P X=0, Y=2 =P X=1, Y=1 =P X=1, Y=2 =P X=2, Y=0 =P X=2, Y=1 =P X=2, Y=2 =P X=3, Y=0 =P X=3, Y=1 =P X=3, Y=2 =03. 设随机变量（X，Y）概率密度为（1）确定常数k。（2）求P X1, Y3（3）求P (X1)=1P (1)= 1P (=0)+ P (=1)10.7361=0.2639.因此X表示一天调整

22、设备的次数时XB(4, 0.2639). E (X)=np=40.2639=1.05565. 设在某一规定的时间间段里，其电气设备用于最大负荷的时间X（以分计）是一个连续型随机变量。其概率密度为求E (X)解： 6. 设随机变量X的分布为X202Pk0.40.30.3求 E (X)，E (3X2+5)解：E (X)= (2)0.4+00.3+20.3=0.2E (X2)= (2)20.4+020.3+220.3=2.8E (3X2+5) = 3E (X2)+ E (5)= 8.4+5=13.47. 设随机变量X的概率密度为求（1）Y=2X（2）Y=e2x的数学期望。解：（1） （2） 8. 设

23、（X，Y）的分布律为XY1231010.20.10.10.100.100.30.1(1) 求E (X)，E (Y )。(2) 设Z=Y/X，求E (Z )。(3) 设Z= (XY )2，求E (Z)。解：（1）由X，Y的分布律易得边缘分布为XY12310.20.100.300.100.30.410.10.10.10.30.40.20.41E(X)=10.4+20.2+30.4=0.4+0.4+1.2=2.E(Y)= (1)0.3+00.4 +10.3=0.Z=Y/X11/21/301/31/21pk0.20.100.40.10.10.1（2） E (Z )= (1)0.2+(0.5)0.1+(

24、1/3)0+00.4+1/30.1+0.50.1+10.1 = (1/4)+1/30+1/20+1/10=(15/60)+11/60=1/15.Z= (XY)20(1-1)21(1- 0)2或(2-1)24(2- 0)2或(1- (-1)2或(3-1)29(3- 0)2或(2-(-1)216(3-(-1)2pk0.10.20.30.40（3）E (Z )=00.1+10.2+40.3+90.4+160=0.2+1.2+3.6=511. 一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为工厂规定出售的设备若在一年内损坏，可予以调换。若工厂出售一台设备可赢利100元，调换一台设备厂方需

25、花费300元。试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。解：一台设备在一年内损坏的概率为故设Y表示出售一台设备的净赢利则故 12. 某车间生产的圆盘直径在区间（a, b）服从均匀分布。试求圆盘面积的数学期望。解：设X为圆盘的直径，则其概率密度为用Y表示圆盘的面积，则14. 设随机变量X1，X2的概率密度分别为求（1）E (X1+X2)，E (2X13)；（2）又设X1，X2相互独立，求E (X1X2)解：（1） = （2） = （3）15. 将n只球（1n号）随机地放进n只盒子（1n号）中去，一只盒子装一只球。将一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个数，求E(X )解：引进随机变

26、量 i=1, 2, n 则球盒对号的总配对数为Xi的分布列为Xi:10P:i=1, 2 n i=1, 2 n22. （1）设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立，且有E (Xi )=i, D (Xi )=5i, i=1,2,3,4。设Y=2 X1X2+3X3X4，求E (Y)，D (Y)。（2）设随机变量X，Y相互独立，且XN（720，302），YN（640，252），求Z1=2X+Y，Z2=XY的分布，并求P XY , P X+Y1400 解：（1）利用数学期望的性质2，3有E (Y )= 2E (X1 )E (X2 )+3 E (X3 )E (X4 )=7利用数学方差的性质2，3有D (

27、Y )=22 D (X1 )+ (1)2 D (X2 )+32 D (X3 )+()2 D (X4 )=37.25（2）根据有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，知Z1N（ ，），Z2N（ ，）而E Z1=2EX+Y=2720+640, D (Z1)= 4D (X )+ D (Y )= 4225E Z2=EXEY=720640=80, D (Z2)= D (X )+ D (Y )= 1525即 Z1N（2080，4225），Z2N（80，1525）P XY = P XY 0 = P Z20 =1P Z2 0 =P X+Y 1400 =1P X+Y 1400 同理X+YN（13

28、60，1525）则P X+Y 1400 =1P X+Y 1400 =23. 5家商店联营，它们每周售出的某种农产品的数量（以kg计）分别为X1，X2，X3，X4，X5，已知X1N（200，225），X2N（240，240），X3N（180，225），X4N（260，265），X5N（320，270），X1，X2，X3，X4，X5相互独立。（1）求5家商店两周的总销售量的均值和方差；（2）商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存多少公斤该产品？解：（1）令为总销售量。已知E X1=200，E X2=240，E X3=180，E X4=260

29、，E X5=320，D (X1)=225，D (X2)=240，D (X3)=225，D (X4)=265，D (X5)=270，利用数学期望的性质3有利用方差的性质3有 （2）设商店仓库储存a公斤该产品，使得P Y a0.99由相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，并注意到（1），得Y N（1200，1225）查标准正态分布表知a至少取1282.24 卡车装运水泥，设每袋水泥重量（以公斤计）服从N（50,2.52）问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05.解：已知XN（50,2.52）不妨设最多可装A袋水泥才使总重量超过2000的概率不大于0.05.则由期望和方

30、差的性质得Y=AXN（50A,2.52A）.故由题意得P Y20000.05即解得A39.29. 设随机变量X和Y的联合分布为：XY1011001验证：X和Y不相关，但X和Y不是相互独立的。证：P X=1 Y=1=P X=1= P Y=1= P X=1 Y=1P X=1 P Y=1 X，Y不是独立的又E (X )=1+0+1=0 E (Y )=1+0+1=0 COV(X, Y )=EXE (X )YE (Y )= E (XY )EXEY = (1)(1) +(1)1+1(1)+11=0 X，Y是不相关的32. 设随机变量（X1，X2）具有概率密度。，0x2,0y2求E (X1)，E (X2)，

31、COV（X1，X2），解： D (X1+X2)= D (X1)+ D (X2)+2COV(X1, X2) =33.设XN（， 2），YN（， 2），且X，Y相互独立。试求Z1= X+Y和Z2= XY的相关系数（其中是不为零的常数）.解：由于X，Y相互独立Cov(Z1, Z2)=E(Z1,Z2)E(Z1) E(Z2)=E (X+Y ) (XY )(EX+EY ) (EXEY ) =2EX 2EY 22 (EX ) 2+(EY ) 2=2DX 2DY=(2 2) 2DZ1=2DX+ 2DY=(2+ 2) 2, DZ2=2DX+ 2DY=(2+ 2) 2,(利用数学期望的性质23)故36. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700，利用契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在52009400之间的概率p.解：由题意知=7300,=700，则由契比雪夫不等式