2020版高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式练习（含解析）新人教A版选修4-5

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1、三排序不等式基础巩固1有一有序数组,其顺序和为A,反序和为B,乱序和为C,则它们的大小关系为()A.ABCB.ACBC.ABCD.ACB解析：由排序不等式知,顺序和乱序和反序和,故ACB.答案：B2已知两组数a1a2a3a4a5,b1b2b3b4b5,其中a1=2,a2=7,a3=8,a4=9,a5=12,b1=3,b2=4,b3=6,b4=10,b5=11,将bi(i=1,2,3,4,5)重新排列记为c1,c2,c3,c4,c5,则a1c1+a2c2+a5c5的最大值和最小值分别是()A.132,6B.304,212C.22,6D.21,36答案：B3设a,b0,P=a3+b3,Q=a2b+

2、ab2,则P与Q的大小关系是()A.PQB.PQC.P0,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)的正负情况是()A.大于零B.大于或等于零C.小于零D.小于或等于零解析：设abc0,则a3b3c3,根据排序不等式,得a3a+b3b+c3ca3b+b3c+c3a.又知abacbc,a2b2c2,所以a3b+b3c+c3aa2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4a2bc+b2ca+c2ab,即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)0.答案：B5设a1,a2,a3为正数,E=a1a2a3+a2a3a1+a3a1a2,F=a1+a2+a3,则E,F的

3、大小关系是()A.E0,于是1a11a21a3,a2a3a3a1a1a2.由排序不等式,得a1a2a3+a3a1a2+a2a3a11a2a2a3+1a3a3a1+1a1a1a2=a3+a1+a2,即a1a2a3+a2a3a1+a3a1a2a1+a2+a3.故EF.答案：B6某班学生要开联欢会,需要买价格不同的礼品4件,5件和2件.现在选择商店中单价分别为3元,2元和1元的礼品,则至少要花元,最多要花元.答案：19257已知a,b,x,yR+,且1a1b,xy,则xx+a与yy+b的大小关系是.解析：1a1b,xy,由排序不等式,得xayb0.axby,a+xxyy+b.答案：xx+ayy+b8

4、若a0,b0且a+b=1,则b2a+a2b的最小值是.解析：不妨设ab0,则有a2b2,且1b1a,由排序不等式,得b2a+a2b1aa2+1bb2=a+b=1,当且仅当a=b=12时,等号成立.所以b2a+a2b的最小值为1.答案：19n个正数与这n个正数的倒数的乘积的和的最小值为.解析：设0a1a2a3an,则00,则a2b2,1b1a.所以a2bb2a.根据排序不等式,知a2b1b+b2a1aa2b1a+b2a1b,即ab2+ba2ab+ba.能力提升1设x,y,zR+,且x+y+z=1,则P=x2y+y2z+z2x与1的大小关系为()A.P=1B.PBB.ABC.ABD.AB解析：依序

5、列xn的各项都是正数,不妨设00,则a3b3c3,且a4b4c4,则a5+b5+c5=aa4+bb4+cc4ac4+ba4+cb4.a3b3c3,且abacbc,a4b+b4c+c4a=a3ab+b3bc+c3caa3bc+b3ac+c3ab.a5+b5+c5a3bc+b3ac+c3ab.M0.答案：A5已知a,b,c都是正数,则ab+c+bc+a+ca+b的最小值为.解析：设abc0,则1b+c1c+a1a+b.由排序不等式,知ab+c+bc+a+ca+bbb+c+cc+a+ab+a,ab+c+bc+a+ca+bcb+c+ac+a+ba+b.+,得ab+c+bc+a+ca+b32,当且仅当a

6、=b=c时,等号成立.答案：326在RtABC中,C为直角,A,B所对的边分别为a,b,则aA+bB与4(a+b)的大小关系为.解析：不妨设ab0,则AB0.由排序不等式aA+bBaB+bAaA+bB=aA+bB2(aA+bB)a(A+B)+b(A+B)=2(a+b).故aA+bB4(a+b).答案：aA+bB4(a+b)7设a,b,c都是正实数,求证:aabbcc(abc)a+b+c3.证明：不妨设abc0,则lgalgblgc,由排序不等式,得alga+blgb+clgcblga+clgb+algc,alga+blgb+clgcclga+algb+blgc,且alga+blgb+clgc=

7、alga+blgb+clgc,以上三式相加整理,得3(alga+blgb+clgc)(a+b+c)(lga+lgb+lgc),即lg(aabbcc)a+b+c3lg(abc).故aabbcc(abc)a+b+c3.8设a,b,c都是正实数,求证:1a+1b+1ca8+b8+c8a3b3c3.证明：设abc0,则1c1b1a,而1b3c31c3a31a3b3.由不等式的性质,知a5b5c5.由排序不等式,知a5b3c3+b5c3a3+c5a3b3a5c3a3+b5a3b3+c5b3c3=a2c3+b2a3+c2b3.又由不等式的性质,知a2b2c2,1c31b31a3.由排序不等式,得a2c3+b2a3+c2b3a2a3+b2b3+c2c3=1a+1b+1c.由不等式的传递性,知1a+1b+1ca5b3c3+b5c3a3+c5a3b3=a8+b8+c8a3b3c3.故原不等式成立.6