第四章扭转的强度与刚度计算

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1、36.75kW，从动轮B、C、Dn=300r/min。试画出轴的扭一、传动轴如图19-5(a)所示。主动轮A输入功率Na输出功率分别为NbNc11kW,Nd14.7kW，轴的转速为矩图。(b)(c)(d)(e)IIIiIIIDMdMnrnMd彳吕一468Nm351N-m702Nm图19-5解(1)计算外力偶矩：由于给出功率以kW为单位，根据(19-1)式:Na36.75Ma955095501170(N-m)n300Nb11MbMe95509550351(N-m)n300Nd14.7Md95509550468(N-m)n300(2)计算扭矩：由图知，外力偶矩的作用位置将轴分为三段：BC、CA、A

2、D。现分别在各段中任取一横截面，也就是用截面法，根据平衡条件计算其扭矩。BC段：以Mm表示截面1一1上的扭矩，并任意地把Mn1的方向假设为图19-5(b)所示。根据平衡条件mx0得：Mn1Mb0MmMB351(N-m)结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反，应为负扭矩。BC段内各截面上的扭矩不变，均为351N-m。所以这一段内扭矩图为一水平线。同理，在CA段内：Mnn+McMb0Mnu=一McMb=一702(Nm)AD段：Mn皿一Md0Mn皿Md468(N-m)根据所得数据，即可画出扭矩图图19-5(e)。由扭矩图可知，最大扭矩发生在CA段内，且Mnmax702N-m如图19-15所示汽车传

3、动轴AB,由45号钢无缝钢管制成，该轴的外径D=90mm,壁厚t=2.5mm,工作时的最大扭矩Mn=1.5kNm,材料的许用剪应力=60MPa。求(1)试校核AB轴的强度；(2)将AB轴改为实心轴，试在强度相同的条件下，确定轴的直径，并比较实心轴和空心轴的重量。解(1)校核AB轴的强度：dD2tWn902250.94490D34(14)1690316(10.9444)29400(mm3)轴的最大剪应力为:MnmaxmaxE51Wn故AB轴满足强度要求。(2)确定实心轴的直径：按题意，要求设计的实心轴应与原空心轴强度相同，实心轴的最大剪应力也应该是max51(MPa)设实心轴的直径为MnmaxW

4、n106(N/m2)=51MPat因此要求D1，则150065110150016D1360.0531(m)53.1(mm)5110在两轴长度相同，材料相同的情况下，两轴重量之比等于其横截面面积之比，即.22A空心90一85=厂=0.31A实心53.12如图19-16所示的阶梯轴。AB段的直径d1=4cm,BC段的直径d2=7cm，外0.8m1m(a)42Mn图19-16(b)力偶矩Mi=0.8kN-m,M3=1.5kN-m,已知材料的剪切弹性模量G=80GPa，试计算ac和最大的单位长度扭转角max。解(1)画扭矩图：用截面法逐段求得：MniMi0.8kN-mMn2M31.5kN-md1444

5、P13232P2d；743232(2)计算极惯性矩:25.1(cm4)236(cm4)0.0239(rad)=1.37单位扭转角。AB段AB0.03180.0398(rad/m)2.28/mAB110.8BC段BCBC0.00790.0079(rad/m)0.453/mI21.0相反。负号表示转冋与AB所以maxAB=2.28o/mACABBC(4)求最大的单位扭转角max:考虑在AB段和BC段变形的不同，需要分别计算其四、实心轴如图19-17所示。已知该轴转速n=300r/min，主动轮输入功率NC=40kW,从动轮的输出功率分别为NA=10kW,NB=12kW,ND=18kW。材料的剪切弹

6、性模量G=80GPa，若=50MPa,=0.3o/m，试按强度条件和刚度条件设计此轴的直径。解(1)求外力偶矩：Na10Ma95509550300318(N-m)nNb12Mb9550B9550300382(N-m)nMcNc95509550401273(N-m)n300N18md9550亍9550300573(Nm)图19-17(a)(b)(2)求扭矩、画扭矩图：MniMa318(Nm)Mn2MaMb318382700(Nm)Mn3MD573(Nm)BC段根据以上三个扭矩方程，画出扭矩图图19-17(b)。由图可知，最大扭矩发生在内，其值为：Mnmax7NmBC段内的各横截面。因该轴为等截面

7、圆轴，所以危险截面为(3)按强度条件设计轴的直径：由强度条件:MnmaxmaxWnd3Wn16得d316Mnmax3167001041.5(mm)50(4)按刚度条件设计轴的直径：由刚度条件:maxIp32Glpd432Mnmax1804327001031808010364.2(mm)0.310364.2mm。为使轴同时满足强度条件和刚度条件，所设计轴的直径应不小于五、油泵分油阀门弹簧工作圈数n=8,轴向压力P=90N，簧丝直径d=2.25mm,簧圈外径Di=18mm,弹簧材料的剪切弹性模量G=82GPa,=400MPa。试校核簧丝强度，并计算其变形。解(1)校核簧丝强度：簧丝平均直径：Dd1

8、d=182.25=15.75(mm)弹簧指数：710由表19-1查得弹簧的曲度系数k=1.21，则maxk智d31.2189015.752.253380(MPa)该弹簧满足强度要求。(2)计算弹簧变形：3 38PDn89015.7584 34Gd82102.2510.7(mm)19-1说明扭转应力，变形公式应力变形公式时是否也有这些条件限制?OGIpdx的应用条件。应用拉、压19-2扭转剪应力在圆轴横截面上是怎样分布的？指出下列应力分布图中哪些是正确的？19-3一空心轴的截面尺寸如图所示。它的极惯性矩Ip和抗扭截面模量Wn是否可按下式计算？为什么?D432(14)D316(14)19-4若将实

9、心轴直径增大一倍，而其它条件不变，问最大剪应力，轴的扭转角将如何变化？19-5直径相同而材料不同的两根等长实心轴，在相同的扭矩作用下，最大剪应力max、扭转角和极惯性矩IP是否相同？19-6何谓纯剪切？何谓剪应力互等定理？(a)(d)dD思考题19-3图思考题19-2图习题19-1绘制图示各杆的扭矩图。(a)eMe-Q-(b)7kNm3kNm2kN-m冊()2kN-m1kNm4kN-m1kN-m(c)二TT-(d)题19-1图19-2直径为D=5cm的圆轴，受到扭矩Mn=2.15kNm的作用，试求在距离轴心1cm处的剪应力，并求轴截面上的最大剪应力。19-3已知作用在变截面钢轴上的外力偶矩m1

10、=1.8kNm，m2=1.2kNm。试求最大剪应力和最大相对转角。材料的G=80GPa。19-4已知圆轴的转速n=300r/min，传递功率330.75kW，材料的=60MPa，G=82GPa。要求在2m长度内的相对扭转角不超过1o,试求该轴的直径。19-5图示一圆截面直径为80cm的传动轴，上面作用的外力偶矩为m1=1000Nm,m2=600Nm,m3=200Nm,mu=200Nm,(1)试作出此轴的扭矩图，(2)试计算各段轴内的最大剪应力及此轴的总扭转角(已知材料的剪切弹性模量G=79GPa);(3)若将外力偶矩m1和m2的作用位置互换一下，问圆轴的直径是否可以减少？19-6发电量为150

11、00kW的水轮机主轴如图所示，D=55cm,d=30cm，正常转速n=250r/min。材料的许用剪应力=50MPa。试校核水轮机主轴的强度。题19-3图m4m3m2mi1m1.5m2m题19-5图19-7图示AB轴的转速n=120r/min，从B轮输入功率N=44.15kW，此功率的一半通过锥形齿轮传给垂直轴C,另一半由水平轴H输出。已知D1=60cm,D2=24cm,d1=10cm,d2=8cm，d3=6cm，=20MPa。试对各轴进行强度校核，19-8实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起。已知轴的转速n=100r/min，传递的功率N=7.5kW，材料的许用应力=40MPa。试选择实

12、心轴直径d1和内外径比值为1的空心轴的外径D2。219-9已知一皮带轮传动轴。主动轮A由电动机输入功率Na7.35kW，B轮和C轮分别带动两台水泵，消耗功率Nb4.41kW，NC=2.94kW，轴的转速n600r/min,轴的材料=20MPa，G=80GPa，=1o/m，试按强度和刚度条件确定轴的直径d。题19-8图题19-9图19-10钢质实心轴和铝质空心轴（内外径比值0=0.6）的横截面面积相等。钢=80MPa,铝=50MPa。若仅从强度条件考虑，哪一根轴能承受较大的扭矩?19-11传动轴的转速n=500r/min，主动轮I输入功率Ni=367.5kW，从动轮2、3分别输出功率N2=147

13、kW,N3=220.5kW。已知=70MPa,=1o/m,G80GPa（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。（2）若AB和BC两段选用同一直径，试确定直径d。（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。N1题19-11图19-12图示圆轴的直径d=50mm,外力偶矩m=1kN?m,材料的G=82GPa。试求：（1）横截面上A点处（pA=d/4）的剪应力和相应的剪应变；（2）最大剪应力和单位长度相对扭转角。19-13由厚度t=8mm的钢板卷制成的圆筒，平均直径为D=200mm。接缝处用铆钉铆接。若铆钉直径d=20mm,许用剪应力T=60MPa，许用挤压应力gy=160MPa，筒的两端受扭

14、转力偶矩m=30kNm作用，试求铆钉的间距s。题19-12图题19-13图19-14圆截面杆AB的左端固定，承受一集度为m的均布力偶矩作用。试导出计算截面B的扭转角的公式。19-15受扭转力偶作用的圆截面杆，长l=1m,直径d=20mm,材料的剪切弹性模量G=80GPa，两端截面的相对扭转角护0.1rad。试求此杆外表面任意点处的剪应变，横截面上的最大剪应力和外加力偶矩m。m7T1l题19-15图19-16圆柱形密圈螺旋弹簧，簧丝横截面直径d=18mm,弹簧平均直径D=125mm,弹簧材料的G=80GPa。如弹簧所受拉力P=500N,试求：（1）簧丝的最大剪应力；（2）弹簧要几圈才能使它的伸长等于6mm。19-17拖拉机主离合器弹簧，在工作时受到P780N的作用。已知弹簧平均直径D=27mm。簧杆直径d=5mm,许用剪应力=600MPa。试校核弹簧强度。若弹簧圈数n=5.5，G81GPa，试求弹簧的总变形。19-18拖拉机通过方轴带动悬挂在后面的旋耕机，方轴的转速n=720r/min，传递的最大功率N=25.73kW，截面为30x30mm,材料的=100MPa。试校核方轴的强度。