控制工程基础习题及解答

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1、第一章习题及答案例1-1 根据题1-1图所示的电动机速度控制系统工作原理图 (1) 将a，b与c，d用线连接成负反馈状态；(2) 画出系统方框图。解 （1）负反馈连接方式为：，； （2）系统方框图如图解1-1 所示。例1-2 题1-2图是仓库大门自动控制系统原理示意图。试说明系统自动控制大门开闭的工作原理，并画出系统方框图。题1-2图 仓库大门自动开闭控制系统解 当合上开门开关时，电桥会测量出开门位置与大门实际位置间对应的偏差电压，偏差电压经放大器放大后，驱动伺服电动机带动绞盘转动，将大门向上提起。与此同时，和大门连在一起的电刷也向上移动，直到桥式测量电路达到平衡，电动机停止转动，大门达到开启

2、位置。反之，当合上关门开关时，电动机带动绞盘使大门关闭，从而可以实现大门远距离开闭自动控制。系统方框图如图解1-2所示。例1-3 题1-3图为工业炉温自动控制系统的工作原理图。分析系统的工作原理，指出被控对象、被控量和给定量，画出系统方框图。题1-3图 炉温自动控制系统原理图解 加热炉采用电加热方式运行，加热器所产生的热量与调压器电压的平方成正比，增高，炉温就上升，的高低由调压器滑动触点的位置所控制，该触点由可逆转的直流电动机驱动。炉子的实际温度用热电偶测量，输出电压。作为系统的反馈电压与给定电压进行比较，得出偏差电压，经电压放大器、功率放大器放大成后，作为控制电动机的电枢电压。 在正常情况下

3、，炉温等于某个期望值C，热电偶的输出电压正好等于给定电压。此时，故，可逆电动机不转动，调压器的滑动触点停留在某个合适的位置上，使保持一定的数值。这时，炉子散失的热量正好等于从加热器吸取的热量，形成稳定的热平衡状态，温度保持恒定。当炉膛温度C由于某种原因突然下降(例如炉门打开造成的热量流失)，则出现以下的控制过程：控制的结果是使炉膛温度回升，直至C的实际值等于期望值为止。CC 系统中，加热炉是被控对象，炉温是被控量，给定量是由给定电位器设定的电压（表征炉温的希望值）。系统方框图见图解1-3。第二章习题及答案例2-1 已知机械旋转系统如图2-1所示，试列出系统运动方程。图2-1 机械旋转系统 解：

4、（1）设输入量作用力矩Mf，输出为旋转角速度w 。（2）列写运动方程式 式中， fw为阻尼力矩，其大小与转速成正比。（3）整理成标准形为 此为一阶线性微分方程，若输出变量改为q，则由于 代入方程得二阶线性微分方程式 2-2 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为 ，试求系统的传递函数和脉冲响应。解 单位阶跃输入时，有，依题意 2-3 已知系统传递函数 ，且初始条件为，试求系统在输入作用下的输出。解 系统的微分方程为 （1）考虑初始条件，对式（1）进行拉氏变换，得 （2） 例2-4RC无源网络电路图如图22所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数Uc(s)/Ur(s)。图2-2 RC

5、无源网络 解：在线性电路的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之间的关系，满足广义的欧姆定律。即： 如果二端元件是电阻R、电容C或电感L，则复阻抗Z(s)分别是R、1/C s或L s 。(1) 用复阻抗写电路方程式： (2) 将以上四式用方框图表示，并相互连接即得RC网络结构图，见图23（a）。(3) 用结构图化简法求传递函数的过程见图23（c）、(d)、(e)。（a）（b）（c）（d）图2-3 RC无源网络结构图 (4) 用梅逊公式直接由图23(b) 写出传递函数Uc(s)/Ur(s) 。独立回路有三个：回路相互不接触的情况只有L1和L2两个回路。则 由上式可写出特征式为： 通向

6、前路只有一条由于G1与所有回路L1，L2， L3都有公共支路，属于相互有接触，则余子式为1=1代入梅逊公式得传递函数例2-5 已知机械系统如图2-4（a）所示，电气系统如图2-4（b）所示，试画出两系统结构图，并求出传递函数，证明它们是相似系统。（b）电气系统（a）机械系统图2-4 系统结构图 解：（1）若图2-4（a）所示机械系统的运动方程，遵循以下原则并联元件的合力等于两元件上的力相加，平行移动，位移相同，串联元件各元件受力相同，总位移等于各元件相对位移之和。微分方程组为： 取拉氏变换，并整理成因果关系有： 画结构图如图25： 图2-5 机械系统结构图 求传递函数为： （2）写图2-4（b

7、）所示电气系统的运动方程，按电路理论，遵循的定律与机械系统相似，即并联元件总电流等于两元件电流之和，电压相等。串联元件电流相等，总电压等于各元件分电压之和，可见，电压与位移互为相似量电流与力互为相似量。运动方程可直接用复阻抗写出：整理成因果关系： 图2-6 电气系统结构图 画结构图如图2-6所示：求传递函数为： 对上述两个系统传递函数，结构图进行比较后可以看出。两个系统是相似的。机一电系统之间相似量的对应关系见表2-1。 表2-1 相似量机械系统xix0yFF1F2K11/K2f1f2电气系统eie0ec2iii1/RRC1C2例25RC网络如图2.7所示，其中u1为网络输入量，u2为网络输出

8、量。（1）画出网络结构图；图2.7 RC网络 （2）求传递函数U2(s)/ U1(s)。解：（1） 用复阻抗写出原始方程组。输入回路 输出回路 中间回路 （3）整理成因果关系式。即可画出结构图如图2.8 所示。图2.8 网络结构图 （4） 用梅逊公式求出：例2.6 已知系统的信号流图如图2.9所示，试求传递函数C(s)/ R(s)。图2.9 信号流图 解： 单独回路4个，即两个互不接触的回路有4组，即三个互不接触的回路有1组，即于是，得特征式为从源点R到阱节点C的前向通路共有4条，其前向通路总增益以及余因子式分别为 因此，传递函数为第三章习题及答案例3.1某系统在输入信号r(t)=(1+t)1

9、(t)作用下，测得输出响应为： （t0）已知初始条件为零，试求系统的传递函数。解 因为故系统传递函数为 例 3.2 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-1所示。试确定系统的传递函数。h(t)t0.1034图3-1 二阶控制系统的单位阶跃响应解 首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是1，而是3。系统模型为bs然后由响应的、及相应公式，即可换算出、。（s）由公式得换算求解得： 、 解毕。例3.3 设系统如图3-2所示。如果要求系统的超调量等于，峰值时间等于0.8s，试确定增益K1和速度反馈系数Kt 。同时，确定在此K1和Kt数值下系统的延迟时间、上升时间和调节时间。

10、1+Kts图3-2C(s)R(s)解 由图示得闭环特征方程为即 ，由已知条件 解得于是 例3.4已知系统特征方程式为试用劳斯判据判断系统的稳定情况。解 劳斯表为 1 18 8 16 由于特征方程式中所有系数均为正值，且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号，满足系统稳定的充分和必要条件，所以系统是稳定的。例3.5 单位反馈控制系统的开环传递函数为试求： （1）位置误差系数，速度误差系数和加速度误差系数；（2）当参考输入为，和时系统的稳态误差。解 根据误差系数公式，有位置误差系数为 速度误差系数为加速度误差系数为对应于不同的参考输入信号，系统的稳态误差有所不同。参考输入为，即阶跃函数输入时系统的

11、稳态误差为参考输入为，即斜坡函数输入时系统的稳态误差为参考输入为，即抛物线函数输入时系统的稳态误差为例3.6 单位反馈控制系统的开环传递函数为输入信号为r（t）=A+t，A为常量，=0.5弧度/秒。试求系统的稳态误差。解 实际系统的输入信号，往往是阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数等典型信号的组合。此时，输入信号的一般形式可表示为系统的稳态误差，可应用叠加原理求出，即系统的稳态误差是各部分输入所引起的误差的总和。所以，系统的稳态误差可按下式计算：对于本例，系统的稳态误差为本题给定的开环传递函数中只含一个积分环节，即系统为1型系统，所以系统的稳态误差为例3.7 设单位负反馈系统开环传递函数为。如果要

12、求系统的位置稳态误差ess=0，单位阶跃响应的超调量Mp%=4.3%，试问Kp、Kg、T，各参数之间应保持什么关系？解 开环传递函数显然 解得:由于要求故应有 0.707。于是，各参数之间应有如下关系本例为I型系统，位置稳态误差ess=0的要求自然满足例3.8设单位反馈系统的开环传递函数为已知系统的误差响应为 （t0）试求系统的阻尼比、自然振荡频率n和稳态误差ess。解 闭环特征方程为由已知误差响应表达式，易知，输入必为单位阶跃函1(t)，且系统为过阻尼二阶系统。故即，系统时间常数为令 得 代入求出的时间常数，得，稳态误差为实际上，I型系统在单位阶跃函数作用下，其稳态误差必为零。第四章习题及答

13、案例4-1 设系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹。解 根据绘制根轨迹的法则，先确定根轨迹上的一些特殊点，然后绘制其根轨迹图。（1）系统的开环极点为，是根轨迹各分支的起点。由于系统没有有限开环零点，三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。 （2）系统的根轨迹有条渐进线渐进线的倾斜角为取式中的K=0，1，2，得a=/3，5/3。渐进线与实轴的交点为 三条渐近线如图4-13中的虚线所示。（3）实轴上的根轨迹位于原点与1点之间以及2点的左边，如图4-13中的粗实线所示。（4）确定分离点系统的特征方程式为即利用，则有解得 和 由于在1到2之间的实轴上没有根轨迹，故s2=1.577显然不是所要求的分离点。因此

14、，两个极点之间的分离点应为s1=0.423。（5）确定根轨迹与虚轴的交点方法一 利用劳斯判据确定劳斯行列表为 12 32 0 2由劳斯判据，系统稳定时K的极限值为3。相应于K=3的频率可由辅助方程确定。解之得根轨迹与虚轴的交点为。根轨迹与虚轴交点处的频率为方法二 令代入特征方程式，可得即 令上述方程中的实部和虚部分别等于零，即，所以 （6）确定根轨迹各分支上每一点的值根据绘制根轨迹的基本法则，当从开环极点0与1出发的两条根轨迹分支向右运动时，从另一极点2出发的根轨迹分支一定向左移动。当前两条根轨迹分支和虚轴在K=3处相交时，可按式求出后一条根轨迹分支上K=3的点为x=3。由（4）知，前两条根轨

15、迹分支离开实轴时的相应根值为0.423j0。因此，后一条根轨迹分支的相应点为 所以 ，x=2.154。 因本系统特征方程式的三个根之和为2K，利用这一关系，可确定根轨迹各分支上每一点的K值。现在已知根轨迹的分离点分别为0.423j0和2.154，该点的K值为即，K=0.195。系统的根轨迹如图4-1所示。图4-1 例4-1系统的根轨迹j例4-2 设控制系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹。解 （1）系统的开环极点为0，3，(1j)和(1j),它们是根轨迹上各分支的起点。共有四条根轨迹分支。有一条根轨迹分支终止在有限开环零点2，其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处。（2）确定根轨迹的渐近线渐近线

16、的倾斜角为取式中的K=0，1，2，得a=/3，5/3，或60及180。三条渐近线如图4-14中的虚线所示。渐近线与实轴的交点为（3）实轴上的根轨迹位于原点与零点2之间以及极点3的左边，如图4-2中的粗线所示。从复数极点(1j) 出发的两条根轨迹分支沿60渐近线趋向无穷远处。（4）在实轴上无根轨迹的分离点。（5）确定根轨迹与虚轴的交点系统的特征方程式为即 劳斯行列表 18 5 0 6 若阵列中的s1行等于零，即（6+3K）150K/（34-3K）=0，系统临界稳定。解之可得K=2.34。相应于K=2.34的频率由辅助方程确定。解之得根轨迹与虚轴的交点为s=j1.614。根轨迹与虚轴交点处的频率为

17、=1.614。（6）确定根轨迹的出射角根据绘制根轨迹的基本法则，自复数极点p1=（1j）出发的根轨迹的出射角为将由图4-2中测得的各向量相角的数值代入并取k=0，则得到系统的根轨迹如图4-2所示。 0-j3-126.69045135j3j2j1-4-3-2jS平面图4-2 例4-2系统的根轨迹例4-3试用根轨迹法确定下列代数方程的根解 当代数方程的次数较高时，求根比较困难，即使利用试探法，也存在一个选择初始试探点的问题。用根轨迹法可确定根的分布情况，从而对初始试探点作出合理的选择。把待求代数方程视为某系统的闭环特征多项式，作等效变换得Kg=1时，即为原代数方程式。等效开环传递函数为因为Kg0,

18、 先做出常规根轨迹。 系统开环有限零点z1=2，z2=4；开环有限极点为 p1=p2=0，p3=1，p3=3。实轴上的根轨迹区间为-4，-3，-2，-1。根轨迹有两条渐近线，且a=1，a=90。作等效系统的根轨迹如图4-3所示。图4-3 例4-3系统的根轨迹-4-3-2-10jS平面图知，待求代数方程根的初始试探点可在实轴区间4，3和2，1内选择。确定了实根以后，运用长除法可确定其余根。初选s1=1.45，检查模值由于Kg1故应增大s1，选s1=1.442，得Kg=1.003。初选s2=3.08，检查模值得Kg=1.589，由于Kg1，故应增大s2，选s2=3.06，得Kg=1.162。经几次

19、试探后，得Kg=0.991时s2=3.052。设 运用多项式的长除法得解得例4-4 已知负反馈系统的开环传递函数试概略绘制闭环系统的根轨迹。解 按照基本法则依次确定根轨迹的参数：（1）系统无开环有限零点，开环极点有四个，分别为0，4，和2j4。（2）轴上的根轨迹区间为4，0。（3）根轨迹的渐近线有四条，与实轴的交点及夹角分别为a=2；a=45，135（4）复数开环极点p3,4=2j4处，根轨迹的起始角为p3.4=90（5）确定根轨迹的分离点。由分离点方程解得，因为 时，时，所以，d1、d2、d3皆为闭环系统根轨迹的分离点。（6）确定根轨迹与虚轴的交点。系统闭环特征方程为列写劳斯表如下 1 36

20、 8 80 26 Kg当Kg=260时，劳斯表出现全零行。求解辅助方程得根轨迹与虚轴的交点为。概略绘制系统根轨迹如图4-4所示。图4-4 例4-4系统的根轨迹jS平面第五章习题及答案例5-1 已知一控制系统结构图如图5-1所示，当输入r(t) = 2sint时，测得输出c(t)=4sin(t-45)，试确定系统的参数x ，wn。解 系统闭环传递函数为系统幅频特性为相频特性为由题设条件知c(t) = 4sin( t -45) =2 A(1) sin(t + j(1) 即整理得解得wn = 1.244x = 0.22例5-2 单位反馈控制系统开环传递函数试确定使相位裕度g = 45的a 值。解 w

21、c4 = a2wc 2 + 1awc = 1联立求解得 例5-3 最小相位系统对数幅频渐近特性如图5-65所示，请确定系统的传递函数。解 由图知在低频段渐近线斜率为0，故系统为0型系统。渐近特性为分段线性函数，在各交接频率处，渐近特性斜率发生变化。在w = 0.1处，斜率从0 dB/dec变为20dB/dec，属于一阶微分环节。在w = w1处，斜率从20 dB/dec 变为0 dB/dec，属于惯性环节。在w = w2处，斜率从0 dB/dec变为-20 dB/dec，属于惯性环节。在w = w3处，斜率从-20 dB/dec变为-40 dB/dec，属于惯性环节。在w = w4处，斜率从-

22、40 dB/dec变为-60 dB/dec，属于惯性环节。因此系统的传递函数具有下述形式式中K，w1，w2，w3，w4待定。 由20lgK = 30得K = 31.62。确定w1： 所以 w1 = 0.316确定w2： 所以 w2 =82.54确定w3： 所以 w3 =34.81确定w4： 所以 w4 =3.481于是，所求的传递函数为例5-4 某最小相位系统的开环对数幅频特性如图5-66所示。要求：(1) 写出系统开环传递函数；(2) 利用相位裕度判断系统稳定性；(3) 将其对数幅频特性向右平移十倍频程，试讨论对系统性能的影响。解 (1) 由系统开环对数幅频特性曲线可知，系统存在两个交接频率

23、0.1和20，故且 得 k = 10所以 (2) 系统开环对数幅频特性为 从而解得 wc = 1系统开环对数相频特性为j(wc) = -177.15g =180 + j(wc) = 2.85故系统稳定。(3) 将系统开环对数幅频特性向右平移十倍频程，可得系统新的开环传递函数其截止频率wc1 =10wc =10而g 1 =180+ j1(wc1) = 2.85g 1 = g系统的稳定性不变。由时域估计指标公式ts = kp /wc得 ts1 = 0.1ts即调节时间缩短，系统动态响应加快。由得 Mp1 = Mp即系统超调量不变。例5-5 系统开环传递函数为试用奈氏判据判断系统的稳定性。解 将传递

24、函数按典型环节分解幅相曲线的起点和终点 当w为有限值时，ImG(jw) 0，幅相曲线与负实轴无交点。由于惯性环节的时间常数T1 = 0.2，小于不稳定性环节的时间常数T2 = 1，故j(w)呈现先增大后减小的变化。作系统开环幅相曲线如图5-68所示。由于n =1，故需从幅相曲线上w = 0的对应点起，逆时针补画半径为无穷大的p/2圆弧。由系统开环传递函数知，s右半平面系统的开环极点数p =1，而幅相曲线起于负实轴，且当w 增大时间上离开负实轴，故为半次负穿越，N = -1/2。于是s右半平面的闭环极点数z = p -2N = 2表明系统闭环不稳定。例5-6 已知单位反馈系统的开环传递函数试求系

25、统的相角裕度和幅值裕度。 解 由题给传递函数知，系统的交接频率依次为1，2，10，20。低频段渐近线斜率为-20，且过(1，40dB)点。系统相频特性按下式计算作系统开环对数频率特性于图5-71。由对数幅频渐近特性A(wc) = 1求得wc的近似值为wc = 21.5再用试探法求j(wg) = -180时的相角穿越频率wg，得 wg = 13.1系统的相角裕度和幅值裕度分别为例5-7 已知单位反馈系统的开环传递函数试判断系统的闭环稳定性。解 开环系统有虚极点s = j2。 系统开环幅相曲线如图5-72所示。由于n =1，从幅相曲线上对应w = 0的点起逆时针补作90且半径为无穷大的虚圆弧。因为

26、存在一对虚极点s = j2，故从w =2- 的对应点起，顺时针补作180且半径为无穷大的虚圆弧。作虚圆弧如图5-72所示。因为p = 0，由开环幅相曲线知N = -1，s右半平面闭环极点的个数z = p -2N = 2闭环系统不稳定。第六章习题及答案例6-1 设火炮指挥系统如图6-1所示，其开环传递函数系统最大输出速度为2r/min ，输出位置的容许误差小于2。(1) 确定满足上述指标的最小k值，计算该k值下的相位裕度和幅值裕度。(2) 前向通路中串联超前校正网络Gc (s)=(1+0.4s)/(1+0.08s)，试计算相位裕度。解 (1) 故 令L(w)=0，可得wc =3.5所以系统不稳定

27、。(2) 串联超前校正网络Gc (s) = (1+0.4s) / (1+0.08s) 令L(w)=0，可得wc = 4.8可见串入超前校正网络后，g 增大，系统变为稳定。 例6-2 设开环传递函数单位斜坡输入R(t)= t，输入产生稳态误差e 0.0625。若使校正后相位裕度g*不低于45，截止频率wc* 2(rad/s)，试设计校正系统。解 令L(w)=0 ，可得 wc = 4不满足性能要求，需加以校正。系统中频段以斜率-40dB/dec穿越0dB线，故选用超前网络校正。设超前网络相角为jm，则中频段 所以 验算 = 48 45 所以超前校正网络后开环传递函数为例6-3 设单位反馈系统的开环

28、传递函数试设计一串联校正装置，使校正后开环增益等于5，相位裕度g * 40，幅值裕度h* 10(dB)。解 选 k = 5对于校正前的系统 令L(w)=0 ，可得 wc = 2.9 g = 180 - 90 - arctanwc - arctan(0.5wc) = -36.5 -180满足幅值裕度条件，所以例6-4 在图6-28所示系统中，当k =10，T =0.1时，截止频率wc = 5。若要求wc不变，如何选择k ，T值，才能使系统相位裕度提高45。解 当k =10，T =0.1时，系统截止频率wc = 5，可知因而 j(wc) = - arctan(wc) 若要重新选择k ，T值，使g

29、提高45。设 当wc = 5时，jc1(wc) = arctan(T1wc) - arctan(wc) 由 jc1(wc)= j(wc) + 45 可得 arctan(T1wc)= arctan(0.1wc) + 45即 T1 = 0.6另外，在增大g 的同时，要Gc (s)|s=jw 保持的幅值不变，才能不改变系统截止频率，因此 Lc1(wc) = Lc (wc) 从而解出 k1 = 3.54。例6-5 设复合控制系统如图6-29所示，图中Gn(s)为顺馈传递函数，Gc(s)=kts为测速电机及分压器的传递函数，G1(s)和G2(s)为前向通路中环节的传递函数，N(s)为可测量的干扰。若G1

30、(s)= k，G2(s)=1/s2，试确定Gn(s)，Gc(s)和k1，使系统输出量完全不受干扰n(t)的影响，且单位阶跃响应的超调量等于25%，峰值时间为2s。解 当R(s) = 0时，令C(s) = 0得 所以 已知G1(s)= k，G2(s)=1/s2，闭环传递函数特征方程由Mp% = 25%，tp = 2，求得理想闭环极点由系统特征方程得用长除法可得k1=2.93，kt = 0.47所以 G c = 0.47s Gn = -s2 -1.37s k1 = 2.93第七章习题及答案例7-1 具有饱和非线性的控制系统如图7-1所示，试求。(1) K=15时系统的自由运动状态。(2) 欲使系统

31、稳定地工作，不出现自振荡，K的临界稳定值是多少。图7-1 例7-1非线性系统的结构图解 查表7-1可知饱和非线性特性的描述函数为其中k=2，a=1，于是起点A=1时，-1/N(A)=-0.5。当A时，-1/N(A)= -，因此-1/N(A)曲线位于-0.5 -这段负实轴上。图7-1 例7-1系统的G(jw)和-1/N(A)曲线系统线性部分的频率特性为： 令ImG(jw)=0即1-0.02w2=0，得G(jw)曲线与负实轴交点的频率为：代ReG(jw)，可求得G(jw)曲线与负实轴的交点为：(1) 将K=15代入上式，得ReG(jw)= -1。图7-1绘出了K=15时的G(jw)曲线与-1/N(

32、A)曲线，两曲线交于（-1，j0）点。显然，交点对应的是下一个稳定的自振荡，根据交点处的幅值相等，即：求得与交点对应的振幅A=2.5。因此当K=15时系统的自由运动状态为自振荡状态，其振幅和频率为A=2.5，w=7.07rad/s。（2）欲使系统稳定地工作，不出现自振荡，由于G(s)极点均在左半s平面，故根据奈氏判据知，应使G(jw)曲线不包围-1/N(A)曲线，即故K的临界稳定值为：例7-2 非线性系统如图7-2 所示，试用描述函数法分析周期运动的稳定性，并确定自振荡的振幅和频率。图7-2 例7-2非线性系统的结构图解： 由图7-2可知，系统的结构图不是描述函数应用时的典型结构，因此首先变换

33、成典型结构。由于在用描述函数分析稳定性和自振荡时，不考虑r(t)的作用，故设r(t)=0。再根据结构图中信号间的相互关系，故图7-2可变换成图7-3的典型结构。（a） （b）图7-3 例7-1结构图变换由结构图知，非线性特性是滞环继电特性：M=1，h=0.2,故画出-1/N(A)曲线与G(jw)曲线如图7-4所示，-1/N(A)曲线是一条虚部为-jph/4M=-j0.157的直线。显然两曲线的交点处决定了一个稳定的自振荡。 图7-4 例7-1系统的G(jw)和-1/N(A)曲线令，试探法解下列方程：0.0157w(1+w2)=1得 w 4（rad/s）将w=4代入ReG(jw)： 令 ReG(

34、jw) = Re-1/N(A)-0.588 = -得 A=0.775故自振荡的振幅A=0.775，频率w =4rad/s。例7-3 典型阶线性系统如图7-5所示，试用相平法求系统的阶跃响应和斜坡响应。图7-5 典型二阶系统的结构图解 由于是用相平法求r(t)作用下的系统的响应，故相平面取为e平面，由结构图可写出系统的微分方程为：因e=r-c，有1阶跃响应此时r(t)=R1(t)，则当t0时，有r(t)=R ，。代入上式，得阶跃输入下系统的误差方程：由此绘制相轨迹曲线，奇点为（0，0）。设系统的初始状态为c(0)=0，(0)=0，则误差的初始条件为e(0)=R，(0)=0。若参数T、K使系统具有

35、一对负实部的共轭复数极点（欠阻尼），则其相轨迹如图7-6(a)所示。若具有两个负实数极点（过阻尼），则其相轨迹如图7-6(b)，分析相平面图即可了解系统响应的性质。例如稳态误差为零，当R=1时，超调量如图所示等。（a）欠阻尼 （b）过阻尼图7-6 阶跃输入时的相平面图2斜坡响应设输入信号为r(t)=vt，t 0时， ，代入系统的误差方程，得斜坡输入下的误差方程为它可以写成作变量置换e=e-v/K则误差e的方程为与阶跃输入的误差方程相同。所以，只须把阶跃输入时的相平面图右移v/K即可得出。由此可知此时相轨迹的奇点为（v/K，0）。图7-7(a)、(b)分别对于欠阻尼和过阻尼情况，给出了系统在初始

36、状态c(0)=0，(0)=0下斜坡响应的相平面图。由于(0)=(0) -(0)=v，故相轨迹的起点为（0，v）。显然由相平面图可知系统稳态误差是v/K。（a）欠阻尼 （b）过阻尼图7-7 斜坡输入时的相平面图 应当特别指出，由于在非线性系统中，其非线性特性往往可以分段加以线性化，而在每一个分段中，系统都可以用线性微分方程描述，因此线性系统在相平面分析是非线性系统相平面分析的基础。例7-4 采用非线性反馈校正的二阶随动系统如图7-8所示，试分析线性反馈校正在改善系统动态性能方面的作用。图7-8 采用非线性反馈校正的二阶随动系统解 由图可知，非线性反馈校正装置为死区特性即在输出c(t)信号较小时没

37、有局部反馈，只在输出c(t)较大时才接入局部。系统存在局部反馈时，随动系统的开环传递函数是相应的闭环传递函数为其中，。这时的阻尼比x 较大，系统的阶跃响应曲线如图7-9中的曲线2，无超调，但响应速度很慢。当系统没有局部反馈时，阻尼比显然较小，阶跃响应曲线如图7-9中的曲线1，超调量很大。接入非线性反馈校正之后，它的阶跃响应曲线如图7-9中的曲线3，响应快，又没有超调。这是因为：当输出信号较小时（|c|），局部反馈投入，c(t)按曲线2的规律继续上升，从而形成响应曲线3，即快速又平稳的响应。该例题中的死区特性可以用如图7-10所示的线路来实现。 图7-9 例7-4系统的阶跃响应曲线图7-10 死区非线性特性的实现综上所述，在多数情况下，控制系统中存在的非线性因素，对系统的控制性能会产生不利的影响。但在控制系统中恰当地加入特定的非线性特性，却能使控制性能得到改善，这种人为地加入系统内的非线性特性称为非线性校正装置。