2022年圆锥曲线方程知识点总结

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1、圆锥曲线方程一、椭圆方程.1.椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF椭圆的标准方程：i.中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12222babyax.ii.中心在原点，焦点在y轴上：)0(12222babxay.一般方程：)0,0(122BAByAx.椭圆的标准方程：12222byax的参数方程为sincosbyax（一象限应是属于20）.顶点：),0)(0,(ba或)0,)(,0(ba.轴：对称轴：x 轴，y轴；长轴长a2，短轴长b2.焦点：)0,)(0,(cc或),0)(,0(cc.焦距：2221

2、,2baccFF.准线：cax2或cay2.离心率：)10(eace.焦点半径：i.设),(00yxP为椭圆)0(12222babyax上的一点，21,FF为左、右焦点，则ii.设),(00yxP为椭圆)0(12222baaybx上的一点，21,FF为上、下焦点，则归结起来为“左加右减”.通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(2222abcabd和),(2abc共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222babyax的离心率是)(22bacace，方程0201,exaPFexaPF0201,eyaPFeyaPF精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 5 页ttbyax(2

3、222是大于 0 的参数，)0ba的离心率也是ace我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.若 P是椭圆：12222byax上的点.21,FF为焦点，若21PFF，则21FPF的面积为2tan2b（用余弦定理与aPFPF221可得）.若是双曲线，则面积为2cot2b.二、双曲线方程.1.双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF双曲线 标准方程：)0,(1),0,(122222222babxaybabyax.一般方程：)0(122ACCyAx.i.焦点在 x轴上：顶点：)0,(),0,(aa焦点：)0

4、,(),0,(cc准线方程cax2渐近线方程：0byax或02222byaxii.焦点在y轴上：顶点：),0(),0(aa.焦点：),0(),0(cc.准线方程：cay2.渐近线方程：0bxay或02222bxay，参数方程：tansecbyax或sectanaybx.轴yx,为对称轴，实轴长为2a,虚轴长为 2b，焦距 2c.离心率ace.准线距ca22（两准线的距离）；通径ab22.参数关系acebac,222.焦点半径公式：对于双曲线方程12222byax（21,FF分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不

5、带符号）asinacos,()bsinbcos(),NyxN的轨迹是椭圆精选学习资料 -名师归纳总结-第 2 页，共 5 页aexMFaexMF0201构成满足aMFMF221aexFMaexFM0201aeyFMaeyFMaeyMFaeyMF02010201等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2222byax与2222byax互为 共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222byax.共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果

6、双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax.直线与双曲线的位置关系：区域：无切线，2 条与渐近线平行的直线，合计2 条；区域：即定点在双曲线上，1 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计3 条；区域：2 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计4 条；区域：即定点在渐近线上且非原点，1 条切线，1 条与渐近线平行的直线，合计2 条；区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：1.过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4 条.2.若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“法与渐近线求交和两根之和与两

7、根之积同号.若 P在双曲线12222byax，则常用结论1：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.2：P 到焦点的距离为 m,n，则 P 到两准线的距离比为mn.简证：ePFePFdd2121=nm.三、抛物线方程.yxMMF1F2yxMMF1F2yxF1F21234533精选学习资料 -名师归纳总结-第 3 页，共 5 页3.设0p，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：pxy22pxy22pyx22pyx22图形yxOyxOyxOyxO焦点)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线2px2px2py2py范围Ryx,0Ryx,00,yRx0,yRx对称轴x轴y轴顶点（

8、0，0）离心率1e焦点12xpPF12xpPF12ypPF12ypPF注：xcbyay2顶点)244(2ababac.)0(22ppxy则焦点半径2PxPF;)0(22ppyx则焦点半径为2PyPF.通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的.pxy22（或pyx22）的参数方程为ptyptx222（或222ptyptx）（t为参数）.四、圆锥曲线的统一定义.4.圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹.当10e时，轨迹为椭圆；当1e时，轨迹为抛物线；当1e时，轨迹为双曲线；当0e时，轨迹为圆（ace，当bac,0时）.5.圆锥曲线方程具有对称性.例如：椭圆的标

9、准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证 AB=CD,即证 AD 与 BC 的中点重合即可.注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义1到两定点 F1,F2的距离之和为定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹1到两定点 F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值 e的点的轨迹.（0e1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 5 页方程标准方程12222byax(ba0)12222byax(a0,b0)y2=2px 参数方程为离心角）参数

10、(sincosbyax为离心角）参数(tansecbyaxptyptx222(t 为参数)范围ax a，by b|x|a，y R x 0 中心原点 O（0，0）原点 O（0，0）顶点(a,0),(a,0),(0,b),(0,b)(a,0),(a,0)(0,0)对称轴x 轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长2b x 轴，y 轴;实轴长 2a,虚轴长 2b.x 轴焦点F1(c,0),F2(c,0)F1(c,0),F2(c,0)0,2(pF焦距2c（c=22ba）2c（c=22ba）离心率)10(eace)1(eacee=1 准线x=ca2x=ca22px渐近线y=abx 焦半径exar)(aexr2pxr通径ab22ab222p 焦参数ca2ca2P 1.方程 y2=ax 与 x2=ay 的焦点坐标及准线方程.2.共渐近线的双曲线系方程.精选学习资料 -名师归纳总结-第 5 页，共 5 页