2022年高三寒假数学综合卷一

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1、优秀学习资料欢迎下载高三寒假数学综合卷（一）一、填空题（每小题5 分，共 70 分）1、设复数122,2()zi zxi xR，若12zz为实数，则x为.2、*()RNNe3、半径为 1 的半球的表面积为.4、“cosyx是周期函数”写成三段论是：大前提：三角函数都是周期函数小前提：结论：函数cosyx是周期函数5、若某程序框图如所示，则该程序运作后输出的y等于 .6、在锐角ABC中，2,ABBC的对边长分别是,b c，则bbc的取值范围是.7、若双曲线22221(0,0)xyabab的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的渐近线方程是 .8、已知各项均为正数的等比数列765:

2、2,nmnaaaaaa满足若1192,amn则的最小值为 .9、已 知定 义 在R上 的 可导 函 数()yf x的 导 函 数为/()fx，满 足/()()fxfx且(1)yf x为偶函数，(2)1f，则不等式()xf xe的解集为.10、两圆22240()xyaxaaR和224140()xyb ybbR恰有三条共切线，则11ab的最小值为 .11、设定义在R 上的函数()fx满足对,x tR，且0t，都有()()0t f xtfx，则(,)|()(,)|x yyf xx yya的元素个数为12、设点()ab,在平面区域()|1|1Dabab,中按均匀分布出现，则椭圆开始结束输出y1x1y2

3、1yy1xx5?x否是精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载A B C P Q 22221xyab（ab0）的离心率e32的概率为13 已知ABC中，I为内心，2,3,4,ACBCABAIxAByAC且，则xy的值为 .14、已知数列na的各项都是正整数，且1352nnnkaaa1nnnaaa为奇数为偶数，k是使为奇数的正整数若存在*mN，当nm且na为奇数时，na恒为常数p，则p二、解答题15、(14 分)如图，正 ABC的边长为15，1235APABAC，1255BQABAC（1）求证：四边形APQB为梯形；（2）求梯形APQB的面积16、（14 分）如图

4、，已知正四面体ABCD的棱长为3cm（1）求证：ADBC；（2）已知点E是 CD的中点，点P在 ABC的内部及边界上运动，且满足EP 平面 ABD，试求点 P的轨迹；（3）有一个小虫从点A 开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，当它爬了12cm 之后，求恰好回到A 点的概率C D 精选学习资料 -名师归纳总结-第 2 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载17、（14 分）在海岸A处，发现北偏东045方向、距离A处13海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西075方向、距离A处2海里的C处的辑私船奉命以310海里/小时的速度追截走私船.同时，走

5、私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东030方向逃窜，问辑私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？18、（16 分）如图，在平面直角坐标系中，方程为220 xyDxEyF的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上 .（1）求证：0F；（2）若四边形ABCD的面积为8，对角线AC的长为 2，且0A B A D，求224DEF的值；（3）设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，OHAB且垂足为H.试用平面解析几何的研究方法判断点O、G、H是否共线，并说明理由.x y HGOAMCBDB A C D 精选学习资料 -名师归纳总结-第 3 页，共

6、 9 页优秀学习资料欢迎下载19、（16 分）定义：对于任意*nN，满足条件212nnnaaa且naM（M是与n无关的常数）的无穷数列na称为T数列（1）若2nan(*nN)，证明：数列na是T数列；（2）设数列nb的通项为243nnbn，且数列nb是T数列，求M的取值范围；（3）设数列1ncqnp(*nN)，问数列nc是否是T数列？请说明理由20、（16 分）对于正整数,a b，存在唯一一对整数qr和，使得,0abqrrq.特别地，当0r时，称b能整除a，记作|b a，已知1,2,3,23A.（1）存在qA，使得201191(091)qrr，试求,q r的值；（2）求证：不存在这样的函数:1

7、,2,3fA，使得对任意的整数12,x xA，若12|1,2,3xx，则12()()fxf x；（3）若,()12()BA card Bcard B指集合B中元素的个数），且存在,|a bB ba b a，则称B为“和谐集”.求最大的mA，使含m的集合A的有 12 个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由.精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载答案一、填空题1、4；2、0；3、53；4、cosyx是三角函数；5、63；6、1 1(,)3 2；7、30 xy；8、4；9、(0,)；10、1；11、或；12、116；13、23；14、1 或 5.二、解答题15、解

8、：（1）因PQPAABBQ=1235ABAC1255ABABAC=1315AB，4 分故PQAB，且|PQ|=13，|AB|=15，|PQ|AB|，于是四边形APQB为梯形 7 分（2）设直线PQ交 AC于点 M，则25AMAC，故梯形 APQB的高 h 为正 ABC的 AB边上高的25，即23153 352h 11 分从而，梯形APQB的面积为1(13 15)3 342 3214 分16、解：（1）取 BC中点 M，连 AM，DM因 ABC及 BCD均为正三角形，故BCAM，BCDM因 AM，DM 为平面 ADM 内的两条相交直线，故BC 平面 ADM，于是 BCAD 4 分（2）连接 EM

9、，并取 AC的中点 Q，连 QE，QM于是 EQAD，故 EQ平面 ABD同理 MQ平面 ABD因 EQ，MQ 为平面 QEM 内的两条相交直线，故平面 QEM平面 ABD，从而点 P的轨迹为线段 QM8 分（3）依题设小虫共走过了4 条棱，每次走某条棱均有3 种选择，故所有等可能基本事件总数为 34=8110 分走第 1 条棱时，有3 种选择，不妨设走了AB，然后走第2 条棱为：或BA 或 BC或 BD若第 2 条棱走的为BA，则第 3 条棱可以选择走AB，AC，AD，计 3 种可能；若第2 条棱走的为 BC，则第 3 条棱可以选择走CB，CD，计 2 种可能；同理第2 条棱走 BD 时，第

10、 3 棱的走法亦有 2 种选择12 分故小虫走 12cm 后仍回到A 点的选择有3(3+2+2)=21 种可能于是，所求的概率为217812714 分17、解：设辑私船t小时后在D处追上走私船，则有tBDtCD10,310.在ABC中，0120,2,13ABCACAB.利用余弦定理可得6BC.4 分精选学习资料 -名师归纳总结-第 5 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载由正弦定理，222362sinsinBACBCACABC,得045ABC，即BC与正北方向垂直.于是0120CBD.8 分在BCD中，由正弦定理得，21310120sin10sinsin0ttCDCBDBDBCD得030BCD,

11、又0030sin120sinBCCD，63310t，得106t.12 分答：当辑私船沿东偏北30的方向能最快追上走私船，最少要花的时间为610小时.14 分18、解:（1）证法一：由题意，原点O必定在圆M内，即点(0,0)代入方程220 xyDxEyF的左边后的值小于0，于是有0F，即证.4 分证法二：由题意，不难发现A、C两点分别在x轴正负半轴上.设两点坐标分别为,0A a，,0C c，则有0ac.对于圆方程220 xyDxEyF，当0y时，可得20 xDxF，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，于是有ACx xacF.因 为0ac，故0F.4 分（2）不难发现，对角线互相垂直的四边形A

12、BCD面积2ACBDS，因为8S，2AC，可得8BD.6 分又因为0AB AD，所以A为直角，而因为四边形是圆M的内接四边形，故284BDrr.8 分对于方程220 xyDxEyF所表示的圆，可知22244DEFr，所以2224464DEFr.10 分精选学习资料 -名师归纳总结-第 6 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载（3）证：设四边形四个顶点的坐标分别为,0A a，0,Bb，,0C c，0,Dd.则可得点G的坐标为,2 2c d，即,2 2c dOG.12 分又,ABa b，且ABOH，故要使G、O、H三点共线，只需证0AB OG即可.而2bdacAB OG，且对于圆M的一般方程220

13、xyDxEyF，当0y时可得20 xDxF，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，于是有ACx xacF.14 分同理，当0 x时，可得20yEyF，其中方程的两根分别为点B和点D的纵坐标，于是有BDy ybdF.所以，02bdacAB OG，即ABOG.故O、G、H必定三点共线.16 分19、解：(1)由2nan得222212(2)2(1)20nnnaaannn所以数列na满足212nnnaaa.2nan(*nN)单调递减,所以当 n=1 时，na取得最大值-1，即1na.所以，数列na是T数列.4 分(2)由243nnbn得112413243242 3nnnnnbbnn，当242 30n

14、,即2n时，10nnbb，此时数列nb单调递增；6 分而当3n时，10nnbb，此时数列nb单调递减；因此数列nb中的最大项是3b，所以，M的取值范围是3494Mb.9 分（3）假设数列nc是T数列，依题意有：2111222(2)(1)()(1)(2)nnncccpnpnpnpn pnpn11 分因为*nN,所以当且仅当p小于n的最小值时,2102nnnccc对任意n恒成立，精选学习资料 -名师归纳总结-第 7 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载即可得1p.14 分又当1p时，0np,1ncqqnp，故Mq综上所述：当1p且Mq时，数列nc是T数列 16 分20、（1）解：因为201191 2

15、29，所以22,9qr.3 分（2）证 明：假 设 存 在 这 样 的 函 数:1,2,3fA，使 得 对 任 意 的 整 数,x y，若12|1,2,3xx，则12()()fxf x.设(1),1,2,3,(2),1,2,3fa afb b，由已知ab.由于|31|2,|32|1，所以(3)(1),(3)(2)ffff.6 分不妨令(3),1,2,3fc c，这里,ca且cb，同理，(4),(4)fbfc且,因为1,2,3只有三个元素，所以(4)fa.即(1)(4)ff，但|41|3，与已知矛盾.因此，假设不成立，即不存在这样的函数:1,2,3fA，使得对任意的整数12,xxA，若12|1,

16、2,3xx，则12()()f xf x.9 分（3）解：当8m时，记7|1,2,16,2(7)|1,2,3MiiNii，记MPNe，则()1 2c a r dP，显 然 对 任 意116ij，不 存 在3n，使 得7(7)jni成立.故P是非“和谐集”，此时，8,9,10,11,12,13,14,15,17,19,21,23P.同理，当9,10,11,12m时，存在含m的集合A的有 12 个元素的子集为“和谐集”.因此7m.12 分下面证明：含7 的任意集合A的有 12 个元素的子集为“和谐集”.设1211,7Ba aa.若 1，14，21 都不属于集合B，构造集合1232,4,8,16,3,6,12,5,10,20BBB，/459,18,11,22,13,15,17,19,23BBB.以上12345,BBBBB每个集合中的元素都是倍数关系.考虑/BB的情况，也即/B中 5精选学习资料 -名师归纳总结-第 8 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载个元素全都是B的元素，B中剩下 6 个元素必须从12345,B BBBB这 5 个集合中选取6 个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B中至少有两个元素存在倍数关系.综上所述，含 7 的任意集合A的有 12 个元素的子集B为“和谐集”，即m的最大值为7.16 分精选学习资料 -名师归纳总结-第 9 页，共 9 页