2022年高二数学寒假讲义

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1、1 第一讲圆锥曲线专题（一）题型一：面积问题1.设F是抛物线G:24xy的焦点，设AB、为抛物线G上异于原点的两点，且满足0FA FBuu u r uu u r,延长AFBF、分别交抛物线G于点CD、，求四边形ABCD面积的最小值.2.P、Q、M、N 四点都在椭圆2212yx上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点已知 PFuuu r与 FQuu u r共线，MFu uu u r与 FNuuu r共线，且0PFMFu uu ru uu u r求四边形PMQN 的面积的最值.yQ P N M F O x精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 45 页2 题型二：直线过定点问题3.A、B是抛物线24

2、yx上的两点，且满足OAOB（O为坐标原点），求证：直线AB经过一个定点.4.已知离心率为25的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点12FF、在x轴上，双曲线C的右支上一点A使021AFAF且12F AF的面积为1.（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线mkxyl:与双曲线C相交于EF、两点（EF、不是左右顶点），且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D,求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.精选学习资料 -名师归纳总结-第 2 页，共 45 页3 y P O x A B 5.已知点1,0,1,0,BCP是平面上一动点，且满足|.PCBCPB CBu uu ruuu ruu u r uuu

3、r（1）求点P的轨迹C对应的方程；（2）已知点(,2)A m在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且ADAE，判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论.题型三：直线斜率为定值问题6.如图，过抛物线24yx上一定点1,2P，作两条直线分别交抛物线于11,A x y，22,B xy，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明直线AB的斜率为定值.精选学习资料 -名师归纳总结-第 3 页，共 45 页4 7已知椭圆C过点31,2A，两个焦点为1,0,1,0.（1）求椭圆C的方程；（2）EF、是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定

4、值.精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 45 页5 第三讲圆锥曲线专题（二）【知识要点】熟练向量共线问题与坐标的转化【经典例题】1.已知抛物线2:8Cyx，F为C的焦点，过焦点F斜率为0k k的直线与抛物线交于AB、两点，若|2|FAFB，则k .2.给 定 抛 物 线2:4Cyx，过 定 点2,0M的 直 线l与 抛 物 线 交 于AB、两 点，若2AMBM，求直线l的方程.精选学习资料 -名师归纳总结-第 5 页，共 45 页6 3.已知椭圆22:12xCy，若过点2,0D的直线椭圆C交于不同的两点E、F（点E在D、F之间），试求ODE与ODF面积之比的取值范围（O为坐标原点）.

5、4.已知两定点1,0,1,0AB,动点P在y轴的射影为Q，若20PA PBPQuu u r uu u ruu u r.（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）直线l交y轴于点(0,)Cm，交轨迹E于MN、两点，且满足3MCCNuu u u ruu u r，求实数m的取值范围.精选学习资料 -名师归纳总结-第 6 页，共 45 页7 5.如图，已知点(1,0)F，直线:1,lxp为平面上的动点，过p作直线l的垂线，垂足为点Q，且有QP QFFP FQuuu r u uu ruu u r uu u r.(1)求动点 P的轨迹 C的方程；(2)过点 F 的直线交轨迹C于AB、两点，交直线l于点M，已知1

6、2,MAAF MBBFuuu ruuu r uuu ruuu r求12的值.精选学习资料 -名师归纳总结-第 7 页，共 45 页8 6.双曲线C与椭圆22184xy有相同的焦点，直线3yx为C的一条渐近线.（1）求双曲线C的方程；（2）过点0,4P的直线l，交双曲线C于AB、两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）,当12PQQAQBuuu ruu u ru uu r，且3821时，求Q点的坐标.精选学习资料 -名师归纳总结-第 8 页，共 45 页9 7.已知椭圆)0(1:2222babyaxC，通径长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.（1）求椭圆的方程；（2）过点1,0Q的直线l

7、交椭圆于AB、两点，交直线4x于点E，点Q分ABuuu r所成比为，点E分ABu uu r所成比为，求证为定值，并计算出该定值.精选学习资料 -名师归纳总结-第 9 页，共 45 页10 第四讲圆锥曲线专题（三）1.设1F、2F分别是椭圆1422yx的左、右焦点.（1）若P是该椭圆上的一个动点，求1PF2PF的最大值和最小值；（2）设过定点)2,0(M的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.2.设A、B分别为椭圆22221,0 xya bab的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4x为它的右准线.（1）求椭圆的方程；（2）设P为右准

8、线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内.x y P A B M N O 精选学习资料 -名师归纳总结-第 10 页，共 45 页11 3.已知定点A(1，0)，F(2，0)，定直线l：x12，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N（1）求E的方程；（2）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.4.已知椭圆E的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为21，离心率为2e2（1）求椭圆E的方程；（

9、2）过点1,0 作直线L交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，MP MQu uu r uuu u r为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由精选学习资料 -名师归纳总结-第 11 页，共 45 页12 5.已知椭圆C的离心率为32，长轴的左右端点分别为12(2,0),(2,0)AA.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线1xmy与椭圆 C 交于,P Q两点，直线1A P与2A Q交于点S.试问：当m变化时，点 S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.精选学习资料 -名师归纳总结-第 12 页，共 45 页13 6.已

10、知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24xy的焦点，离心率25e，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点(,0)M m是线段OF上的一个动点，且()MAMBABuu u ruu u ruuu r，求m的取值范围；（3）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由.精选学习资料 -名师归纳总结-第 13 页，共 45 页14 第五讲导数的概念与切线问题【知识要点】导数的概念及其几何意义；你熟悉常用的导数公式吗？导数的运算法则：.两个函数四则运算的

11、导数；.复合函数的导数：xuxuyy.4.你会利用导数求曲线在某点处的切线方程吗?【经典例题】例 1.导数的概念题:1.一质点的运动方程为253St，则在一段时间1,1t内相应的平均速度为（）A.36t B.36t C.36t D.36t2.已知23f,则0222limxfxfxx .3.求导公式的应用（1）3()ln3fxxxx，则()fx=.（2）32()25fxxxx，若0()0fx，则0 x=.（3）2()(31)(23)fxxxx，则()fx=，(1)f=.（4）10()(23)fxx，则()fx=.4.已知3214fxfxxx，则fx=.精选学习资料 -名师归纳总结-第 14 页，

12、共 45 页15 例 2.切线问题:1.曲线24yxx上两点(4,0),(2,4)AB，若曲线上一点P处的切线恰好平行于弦AB，则点P的坐标为（）A.(1,3)B.(3,3)C.(6,12)D.(2,4)2.曲线32242yxxx在点(13)，处的切线方程是 .3.曲线3yx在点1,1处的切线与x轴、直线2x所围成的三角形的面积为_ _.4.曲线32364yxxx的所有切线中,斜率最小的切线的方程是 .例 3.曲线C：32yaxbxcxd在(0,1)点处的切线为1:1lyx在(3,4)点处的切线为2:210lyx，求曲线C的方程.例 4.已知两曲线axxy3和cbxxy2都经过点1,2P，且在

13、点P处有公切线，试求abc、的值.精选学习资料 -名师归纳总结-第 15 页，共 45 页16 例 5.切线问题的综合应用:1.（江 西 卷 理）设 函 数2()()f xg xx，曲 线()yg x在 点(1,(1)g处 的 切 线 方 程 为21yx，则曲线()yf x在点(1,(1)f处切线的方程为 .2.（安徽卷理）已知函数()f x在R上满足2()2(2)88f xfxxx，则曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程是()A.21yx B.yx C.32yx D.23yx3.（全国卷理）已知直线1yx与曲线lnyxa相切，则a的值为 ()A.1 B.2 C.-1 D.-2 4.

14、若曲线3()lnf xaxx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 _.5.曲线lnyx上的点到直线3yx的最短距离为 .*6.向高为8m，底面边长为8m 的倒置正四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟338m，则当水深为 5m时，水面上升的速度为 .精选学习资料 -名师归纳总结-第 16 页，共 45 页17【经典练习】1.设曲线2axy在点1,a处的切线与直线062yx平行，则a（）A.1 B.12 C.12 D.12.已知曲线24xy的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（）A.1 B.2 C.3 D.4 3.若曲线2yxaxb在点(0,)b处的切线方程是10 xy，则（）A.1,1

15、ab B.1,1abC.1,1ab D.1,1ab4.曲线313yxx在点413，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A.19 B.29 C.13 D.235.若42()f xaxbxc满足(1)2f，则(1)f（）A.4 B.2 C.2 D.4 6.已 知 函 数()yf x的 图 象 在 点(1(1)Mf，处 的 切 线 方 程 是122yx，则(1)(1)ff .7.曲线1yx和2yx在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 .8.过点(1,2)P且与曲线2342yxx在点(1,1)M处的切线平行的直线方程是 .9.已知23f，24f,则022246limxfxfxx .10.

16、已知直线22yx为曲线3fxxax的一条切线，则a=.精选学习资料 -名师归纳总结-第 17 页，共 45 页18 第六讲导数的应用（一）【知识要点】导数的应用（1）求曲线的切线方程;（2）求单调区间;（3）求函数的极值（或函数最值）.【经典例题】1.已知曲线3:2Syxx.（1）求曲线S在点(1,1)A处的切线方程；（2）求过点(2,0)B并与曲线S相切的直线方程.2.（2009 北京文）设函数3()3(0)f xxaxb a.（1）若曲线()yf x在点(2,(2)f处与直线8y相切，求,a b的值；（2）求函数()f x的单调区间与极值.精选学习资料 -名师归纳总结-第 18 页，共 4

17、5 页19 3已知3211ln,32fxx g xxxmxn，直线l与函数,fxg x的图象都相切于点1,0.（1）求直线l的方程及()g x的解析式；（2）若h xfxgx（其中gx是g x的导函数），求函数h x的值域.4.设函数2()ln(23)f xxx.（1）讨论()f x的单调性；（2）求()f x在区间3 14 4，的最大值和最小值.精选学习资料 -名师归纳总结-第 19 页，共 45 页20 5.设函数32()2338f xxaxbxc在1x及2x时取得极值（1）求ab、的值；（2）若对于任意的0 3x，都有2()f xc成立，求c的取值范围.*6.（2009 安徽卷文）已知函

18、数21ln,0fxxax ax.（1）讨论fx的单调性；（2）设3a，求fx在区间21,e上的值域.精选学习资料 -名师归纳总结-第 20 页，共 45 页21【经典练习】1.如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数yfx的图象可能是（）2.在下列结论中，正确的结论有（）单调增函数的导函数也是单调增函数；单调减函数的导函数也是单调减函数；单调函数的导函数也是单调函数；导函数是单调的，则原函数也是单调的A.0 个 B.2个 C.3个 D.4个3.函数4282yxx在 1,3 上的最大值为()A11 B 2 C12 D.10 4.曲线xye在点2(2)e，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）

19、A.294e B.22e C.2e D.22e5.（全国卷）函数93)(23xaxxxf，已知)(xf在3x时取得极值，则a=（）A.2 B.3 C.4 D.5 6.(2009年广东卷文)函数xexxf)3()(的单调递增区间是（）A.)2,(B.(0,3)C.(1,4)D.),2(7.函数()ln(0)f xxx x的单调递增区间是 .8.曲线3()1f xxx过点 P(1,1)的切线方程为 .精选学习资料 -名师归纳总结-第 21 页，共 45 页22【经典作业】1.曲线324yxx在点(13)，处的切线的倾斜角为（）A.30 B.45 C.60 D.1202.如果质点A按规律32St运动

20、，则在2t秒时的瞬时速度为()A.6 B.8 C.16 D.24 3.经过原点且与曲线lnyx相切的直线的方程是_.4.已知函数3()128fxxx在区间3,3上的最大值与最小值分别为Mm、，则Mm.5.函数)0(3)(3abaxxxf的极大值为6,极小值为2,则)(xf的减区间是 .6.已知函数32()f xaxxbx（其中常数abR、），()()()g xf xfx是奇函数.（1）求()f x的表达式；（2）讨论()g x的单调性，并求()g x在区间1,2上的最大值与最小值.精选学习资料 -名师归纳总结-第 22 页，共 45 页23 第七讲导数的应用（二）【知识要点】（1）单调性问题（

21、2）极值的存在性问题【经典例题】题型一：单调性问题1.（2009 安徽卷理）已知函数2()(2ln),(0)f xxaxax，讨论()f x的单调性.2.（全国一19）已知函数32()1f xxaxx，aR（1）讨论函数()f x的单调区间；（2）设函数()f x在区间2133，内是减函数，求a的取值范围精选学习资料 -名师归纳总结-第 23 页，共 45 页24 3.（2009 北京理）设函数()(0)kxf xxek.（1）求曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程；（2）求函数()f x的单调区间；（3）若函数()f x在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围.*4已知函数2()

22、lnxfxaxxe.（1）任取两个不等的正数12xx、，12120fxfxxx恒成立，求a的取值范围；（2）当0a时，求证：()0fx没有实数解精选学习资料 -名师归纳总结-第 24 页，共 45 页25 题型二：极值的存在性问题5.已知aR，讨论函数2()1xf xexaxa的极值点的个数.*6.（海南理 21）设函数2()ln()f xxax.（1）若当1x时，()f x取得极值，求a的值，并讨论()f x的单调性；（2）若()f x存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln2e精选学习资料 -名师归纳总结-第 25 页，共 45 页26【经典练习】1.（辽宁卷6）设P为曲线:C

23、223yxx上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为04，则点P横坐标的取值范围为（）A.112，B.10，C.01，D.112，2.（2009 福建卷理）下列函数()f x中，满足对任意120 xx、，当12xx时，都有12fxfx的是（）A.()f x=1x B.()fx=2(1)x C.()f x=xe D.()ln(1)f xx3若函数343yxbx有三个单调区间，则b的取值范围是（）A.0b B.0b C.0b D.0b4.设函数3443)(xxxf则下列结论中，正确的是（）A.)(xf有一个极大值点和一个极小值点B.)(xf只有一个极大值点C.)(xf只有一个极小值点D.)(

24、xf有二个极小值点5.函数32()1f xxaxbx，当1x时，有极值1，则函数32()g xxaxbx的单调减区间为6已知曲线313yx上一点8(2,)3P，则点P处的切线方程是；过点P的切线方程是7.已知21fxxax在1,上为减函数，则a的取值范围为精选学习资料 -名师归纳总结-第 26 页，共 45 页27【经典作业】1设0t,点(,0)P t是函数3()f xxax2()g xbxc与的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线.(1)用t表示abc、.(2)若函数()()yfxg x在)3,1(上单调递减，求t的取值范围.2.（北京卷文18）设定函数32()(0)3af x

25、xbxcxd a，且方程()90fxx的两个根分别为1，4.（1）当3a且曲线()yf x过原点时，求()f x的解析式；（2）若()f x在(,)无极值点，求a的取值范围.精选学习资料 -名师归纳总结-第 27 页，共 45 页28 第八讲导数的应用（三）【知识要点】（1）不等式证明问题（2）恒成立问题求范围【经典例题】题型一：不等式证明问题1.证明不等式(1)1xex；(2)2lnxxxe.2.已知定义在正实数集上的函数21()22f xxax，2()3lng xaxb，其中0a设两曲线()yf x，()yg x有公共点，且在该点处的切线相同.（1）用a表示b，并求b的最大值；（2）求证：

26、()()f xg x（0 x）精选学习资料 -名师归纳总结-第 28 页，共 45 页29 题型二：恒成立问题3.已知函数44()ln0f xaxxbxc x在1x处取得极值c3，其中abc、为常数.（1）试确定ab、的值；（2）讨论函数fx的单调区间；（3）若对任意0 x，不等式22)(cxf恒成立，求c的取值范围.4.设函数22()21(0)f xtxt xtxRt，（1）求()f x的最小值()h t；（2）若()2h ttm对(0 2)t，恒成立，求实数m的取值范围.精选学习资料 -名师归纳总结-第 29 页，共 45 页30 5.（安徽卷20）设函数1()(01)lnf xxxxx且

27、.（1）求函数()f x的单调区间；（2）已知12axx对任意(0,1)x成立，求实数a的取值范围.*6设函数3()31fxaxx，若对于任意的1,1x都有0)(xf成立，求实数a.精选学习资料 -名师归纳总结-第 30 页，共 45 页31【经典练习】1.已知对任意实数x，有()()()()fxf xgxg x，且0 x时，()0()0fxg x，则0 x时（）A.()0()0fxg x，B.()0()0fxgx，C.()0()0fxg x，D.()0()0fxg x，2.已知)(),(xgxf是定义在,a b上的函数，且fxgx,则当axb时,有（）A.fxg x B.+fxg ag xf

28、a C.fxg x D.+fxg ag xf a3.设)(),(xgxf分别是定义在R上的奇函数和偶函数，()0,g x当0 x时()()()()0fx g xf x g x,且(3)0,f则不等式()0()f xg x的解集是（）A.),3()0,3(B.)3,0()0,3(C.),3()3,(D.)3,0()3,(4.函数yxx133有（）A.极小值-2，极大值2 B.极小值-2，极大值3 C.极小值-1，极大值1 D.极小值-1，极大值3 5.（2009 天津卷理）设函数1()ln(0),3f xxx x则()yf x（）A在区间1(,1),(1,)ee内均有零点B在区间1(,1),(1

29、,)ee内均无零点C在区间1(,1)e内有零点，在区间(1,)e内无零点D在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e内有零点精选学习资料 -名师归纳总结-第 31 页，共 45 页32【经典作业】1函数3()1f xaxx有极值的充要条件是（）A.0a B.0a C.0a D.0a2.（2009 江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线3yx和21594yaxx都相切，则a等于（）A.1或25-64 B.1或214 C.74或25-64 D.74或73.对于 R上可导的任意函数fx，若满足10 xfx，则必有（）A.(0)(2)2(1)fff B.(0)(2)2(1)fffC.(0)(2)

30、2(1)fff D.(0)(2)2(1)fff4.设a为实数，函数22,xfxexa xR.(1)求fx的单调区间与极值；(2)求证：当ln 21a且0 x时，221xexax.精选学习资料 -名师归纳总结-第 32 页，共 45 页33 第九讲导数的应用（四）【知识要点】图像的交点问题【典型例题】1.（2009 陕西卷文）已知函数3()31,0f xxaxa（1）求()f x的单调区间；（2）若()f x在1x处取得极值，直线y=m 与()yf x的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.2设函数axxxxf2331)(，bxxg2)(，当21x时，)(xf取得极值.（1）求a的值，并判断)2

31、1(f是函数)(xf的极大值还是极小值；（2）当4,3x时，函数)(xf与)(xg的图象有两个公共点，求b的取值范围.精选学习资料 -名师归纳总结-第 33 页，共 45 页34 3.已知函数3()+31,f xxaxg(x)()5,fxax其中()fx是fx的的导函数（1）对满足11a的一切a的值，都有g()0,x求实数x的取值范围（2）设2am(0m)，当实数在什么范围内变化时，函数()yf x的图像与直线3y只有一个公共点.4.设函数321axxbxc32f（x）=，其中 a0，曲线xyf（）在点 P（0，0f（）处的切线方程为y=1（1）确定 b、c 的值；（2）设曲线xyf（）在点（

32、11xxf，（）及（22xxf，（）处的切线都过点（0,2）证明：当12xx时，12()()fxfx；（3）若过点（0,2）可作曲线xyf（）的三条不同切线，求a 的取值范围.精选学习资料 -名师归纳总结-第 34 页，共 45 页35【课堂练习】1.设()fx是函数()fx的导函数，将()yf x和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）2方程5436151010 xxx的实数解的集合是（）A.至少有 2 个元素 B.至少有 3 个元素C.恰有 1 个元素 D.恰好有 5 个元素3.直线12yxb是曲线ln0yx x的一条切线，则实数b .4.若21()ln(2)2f xx

33、bx在(-1,+)上是减函数，则b的取值范围是_.5.已知函数2()8,()6ln.f xxx g xxm(1)求()f x在区间,1t t上的最大值();h t(2)是否存在实数,m使得()yfx的图象与()yg x的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.精选学习资料 -名师归纳总结-第 35 页，共 45 页36【课后作业】1.函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点（）A.1 个 B.2个C.3 个 D.4个2.曲线)50).(2)(1(xxxxy在原点处的切线方程

34、为（）A.xy1275 B.xy250 C.xy100 D.xy!503.设aR，若函数3axyex，xR有大于零的极值点，则（）A.3a B.3a C.13a D.13a4.已知3x是函数2ln 110fxaxxx的一个极值点.(1)求a；(2)求函数fx的单调区间；(3)若直线yb与函数yfx的图象有 3 个交点，求b的取值范围.x?abxy)(fyO精选学习资料 -名师归纳总结-第 36 页，共 45 页37 第十讲导数专题（一）【知识要点】1.证明不等式2.恒成立问题【典型例题】1.证明：211(0)2xexxx.2.设函数2()ln(1)f xxbx，其中0b（1）当12b时，判断函

35、数()f x在定义域上的单调性；（2）求函数()f x的极值点；（3）证明对任意的正整数n，不等式23111ln1nnn都成立精选学习资料 -名师归纳总结-第 37 页，共 45 页38 3.设()lnf xx，()()()g xf xfx（1）求()g x的单调区间和最小值；（2）讨论()g x与1()gx的大小关系；（3）求a的取值范围，使得()()g ag x1a对任意x0 成立4.已知lnfxxx,322g xxaxx.(1)求函数的单调区间；(2)求函数fx 在t,t+2(t0)上的最小值；(3)对一切的0,x,22fxgx恒成立，求实数a的取值范围.精选学习资料 -名师归纳总结-第

36、 38 页，共 45 页39 5.设函数2()1xf xx eax.（1）若a=12，求()f x的单调区间；（2）若当0 x时()0f x，求a的取值范围.6设函数f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围.精选学习资料 -名师归纳总结-第 39 页，共 45 页40 第十一讲导数专题（二）【知识要点】双变量的不等式证明（或恒成立问题）【典型例题】1.证明：当mn0时，(1)(1)nmmn.2.已知函数ln12fxxmx.（1）fx为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围;（2）当1m时，求函数fx的最大值;（3）当1m时，且10ab，证明：423

37、fafbab.精选学习资料 -名师归纳总结-第 40 页，共 45 页41 3.已知函数21()(1)ln,12f xxaxax a.(1)讨论函数()f x的单调性；(2)证明：若5a，则对任意x1，x2(0,)，x1x2，有1212()()1f xf xxx.4.已知函数32()(,)yf xxaxba bR.(1)若函数 y=f(x)的图象切x 轴于点（2，0），求 a、b 的值；(2)设函数 y=f(x)(0,1)x的图象上任意一点的切线斜率为k，试求1k的充要条件；(3)若函数 y=f(x)的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证3a.精选学习资料 -名师归纳总结-第 41 页

38、，共 45 页42 5.已知函数1ln)1()(2axxaxf.（1）讨论函数)(xf的单调性；（2）设1a.如果对任意),0(,21xx，1212()()4|f xf xxx，求a的取值范围.6已知函数0 xbxaxxf，其中Rba,.（1）若曲线xfy在点2,2 fP处的切线方程为13xy，求函数xf的解析式；（2）讨论函数xf的单调性；（3）若对于任意的2,21a，不等式10 xf对1,14x上恒成立，求b的取值范围.精选学习资料 -名师归纳总结-第 42 页，共 45 页43 第十二讲导数专题（三）【知识要点】双自变量的不等式证明与恒成立问题【典型例题】1.已知函数)0()(3adcx

39、axxf是R上的奇函数，当1x时)(xf取得极值2.（1）求)(xf的单调区间和极大值；（2）证明对任意1,1,21xx，不等式421xfxf恒成立.2.设21xfxeaxx，且曲线yfx在1x处的切线与x轴平行.（1）求a的值，并讨论fx的单调性；（2）证明：当0,2时，cossin2ff.精选学习资料 -名师归纳总结-第 43 页，共 45 页44 3.设2lnqfxpxxx，且2pfeqee（e为自然对数的底数）.（1）求p与q的关系；（2）若fx在其定义域内为单调递增函数，求p的取值范围；（3）设2eg xx且0p，若在1,e上至少存在一点0 x，使得00fxg x成立，求实数p的取值

40、范围.4.已知函数2472xfxx，01x，.（1）求fx的单调区间和值域；（2）设1a，函 数223201g xxa xax，.若 对 于 任 意101x，总 存 在001x，使得01g xfx成立，求a的取值范围.精选学习资料 -名师归纳总结-第 44 页，共 45 页45 5.已知函数1()ln1()af xxaxaRx.（1）当12a时，讨论()fx的单调性；（2）设g x=224xbx，当a=14时，若 对 任 意10,2x，存 在21,2x，使12()()f xg x，求实数b的取值范围.6.设3x是函数Rxebaxxxfx32的一个极值点.（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求xf的单调区间；（2）设0a，xeaxg4252.若存在4,0,21，使得121gf成立，求a的取值范围.精选学习资料 -名师归纳总结-第 45 页，共 45 页