2022年高等数学线性代数概率考研公式大全奉献

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1、学习必备欢迎下载1、行 列 式1.n行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n行列式；2.代数余子式的性质：、ijA和ija的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；3.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijijijijijijMAAM4.设n行列式D：将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D，则(1)21(1)n nDD；将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D，则(1)22(1)n nDD；将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D，则3DD；将D主副角线翻转后，所得行列式为4D，则4D

2、D；5.行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n；、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；、和：副对角元素的乘积(1)2(1)n n；、拉普拉斯展开式：AOACA BCBOB、(1)m nCAOAA BBOBC、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6.对于n阶行列式A，恒有：1(1)nnknkkkEAS，其中kS 为 k 阶主子式；7.证明0A的方法：、AA；、反证法；、构造齐次方程组0Ax，证明其有非零解；、利用秩，证明()r An；、证明0 是其特征值；2、矩 阵1.A是n阶可逆矩阵：0A（是非奇异矩阵）；()r

3、 An（是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组0Ax有非零解；精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 27 页学习必备欢迎下载nbR，Axb总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特征值全不为0；TA A 是正定矩阵；A的行（列）向量组是nR 的一组基；A是nR 中某两组基的过渡矩阵；2.对于n阶矩阵A：*AAA AA E无条件恒 成立；3.1*111*()()()()()()TTTTAAAAAA*111()()()TTTABB AABB AABBA4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可

4、逆：若12sAAAA，则：、12sAAAA；、111121sAAAA；、111AOAOOBOB；（主对角分块）、111OAOBBOAO；（副对角分块）、11111ACAACBOBOB；（拉普拉斯）、11111AOAOCBB CAB；（拉普拉斯）3、矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组1.一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rmnEOFOO；等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若()()r Ar BAB；2.行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非0 元素必须为1；精选学

5、习资料 -名师归纳总结-第 2 页，共 27 页学习必备欢迎下载、每行首个非0 元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）a)若(,)(,)rA EEX，则A可逆，且1XA；、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A变为E时，B就变成1A B，即：1(,)(,)cA BE A B；、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程 Axb，如果(,)(,)rA bE x，则A可逆，且1xA b；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、12n，左乘矩阵A，i乘A的各行元素；右乘，i乘A

6、的各列元素；、对调两行或两列，符号(,)E i j，且1(,)(,)E i jE i j，例如：1111111；、倍乘某行或某列，符号()E i k，且11()()E i kE ik，例如：1111(0)11kkk；、倍加某行或某列，符号()E ij k,且1()()E ij kE ijk，如：11111(0)11kkk；5.矩阵秩的基本性质：、0()min(,)mnr Am n；、()()Tr Ar A；、若AB，则()()r Ar B；、若P、Q 可逆，则()()()()r Ar PAr AQr PAQ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）、max(),()(,)()()r A r Br A Br

7、Ar B；（）、()()()r ABr Ar B；（）、()min(),()r ABr A r B；（）、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且0AB，则：（）、B的列向量全部是齐次方程组0AX解（转置运算后的结论）；、()()r Ar Bn、若A、B均为n阶方阵，则()()()r ABr Ar Bn；6.三种特殊矩阵的方幂：、秩为1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；、型如101001acb的矩阵：利用二项展开式；精选学习资料 -名师归纳总结-第 3 页，共 27 页学习必备欢迎下载二项展开式：01111110()nnnnmnmmnnnnmmnmnnnnnn

8、mabC aC abC abCa bC bC a b；注：、()nab展开后有1n项；、0(1)(1)!11 2 3!()!mnnnnn nnmnCCCmm nm、组合的性质：111102nmnmmmmrnrrnnnnnnnnrCCCCCCrCnC；、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr Anr Ar Anr An；、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAXX AA AA XX；、*1AA A、1*nAA8.关于A矩阵秩的描述：、()r An，A中有n阶子式不为0，1n阶子式全部为0；（两句话）、()r An，A中有n阶子式全部为0；、()r An

9、，A中有n阶子式不为0；9.线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则：、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程；、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程；10.线性方程组Axb的求解：、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：、11112211211222221122nnnnmmnmnna xa xa xba xa xa xbaxaxaxb；、1112111212222212nnmmmnmmaaaxbaaaxbAxbaaaxb（向量方程，A为mn矩阵，m个

10、方程，n个未知数）、1212nnxxaaax（全部按列分块，其中12nbbb）；、1122nna xa xa x（线性表出）、有解的充要条件：()(,)r Ar An（n为未知数的个数或维数）精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 27 页学习必备欢迎下载4、向 量 组 的 线 性 相 关 性1.m个n维列向量所组成的向量组A：12,m构成nm矩阵12(,)mA；m个n维行向量所组成的向量组B：12,TTTm构成mn矩阵12TTTmB；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.、向量组的线性相关、无关0Ax有、无非零解；（齐次线性方程组）、向量的线性表出Axb是否有解；（线性方程组）

11、、向量组的相互线性表示AXB 是否有解；（矩阵方程）3.矩阵mnA与lnB行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax和0Bx同解；(101P例 14)4.()()Tr A Ar A；(101P例 15)5.n维向量线性相关的几何意义：、线性相关0；、,线性相关,坐标成比例或共线（平行）；、,线性相关,共面；6.线性相关与无关的两套定理：若12,s线性相关，则121,ss必线性相关；若12,s线性无关，则121,s必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B：若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的

12、维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7.向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs(二版74P定理 7)；向量组A能由向量组B线性表示，则()()r Ar B；（86P定理 3）向量组A能由向量组B线性表示AXB 有解；()(,)r Ar A B（85P定理 2）向量组A能由向量组B等价()()(,)r Ar Br A B（85P定理 2 推论）8.方阵A可逆存在有限个初等矩阵12,lP PP，使12lAP PP；、矩阵行等价：rABPAB（左乘，P可逆）0Ax与0Bx同解、矩阵列等价：cABAQB（右乘，Q 可逆）；、矩阵等价：ABPAQB

13、（P、Q 可逆）；9.对于矩阵m nA与lnB：精选学习资料 -名师归纳总结-第 5 页，共 27 页学习必备欢迎下载、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；、若A与B行等价，则0Ax与0Bx同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵A的行秩等于列秩；10.若mss nm nABC，则：、C 的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；、C 的行向量组能由B的行向量组线性表示，TA 为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx的解一定是0ABx的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；、0ABx只有零解0Bx只有零解；、0Bx有非零解0

14、ABx一定存在非零解；12.设向量组12:,n rrBb bb可由向量组12:,nssAa aa线性表示为：（110P题 19 结论）1212(,)(,)rsb bba aaK（BAK）其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关()r Kr；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()rr Br AKr Kr Krr Kr；充分性：反证法）注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用；13.、对矩阵mnA，存在n mQ，mAQE()r Am、Q 的列向量线性无关；（87P）、对矩阵mnA，存在n mP，nPAE()r An、P的行向量线性无关；14.12,s线性相关存在一

15、组不全为0 的数12,sk kk，使得11220sskkk成立；（定义）1212(,)0ssxxx有非零解，即0Ax有非零解；12(,)srs，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15.设mn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组0Ax的解集 S 的秩为：()r Snr；16.若*为 Axb的一个解，12,nr为0Ax的一个基础解系，则*12,nr线性无关；（111P题33 结论）5、相 似 矩 阵 和 二 次 型1.正交矩阵TA AE 或1TAA（定义），性质：、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0Tijija ai jnij；、若A为正交矩阵，则1TAA 也为正交阵，且1A；

16、、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化 和 单位化；2.施密特正交化：12(,)ra aa11ba；1222111,b ababb b精选学习资料 -名师归纳总结-第 6 页，共 27 页学习必备欢迎下载121121112211,rrrrrrrrrb ab abababbbb bb bbb;3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于 实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4.、A与B等价A经过初等变换得到B；PAQB，P、Q 可逆；()()r Ar B，A、B同型；、A与B合同TC ACB，其中可逆；Tx Ax 与Tx Bx有相同的正、负

17、惯性指数；、A与B相似1PAPB；5.相似一定合同、合同未必相似；若 C 为正交矩阵，则TC ACBAB，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6.A为对称阵，则A为二次型矩阵；7.n元二次型Tx Ax 为正定：A 的正惯性指数为n；A 与E合同，即存在可逆矩阵C，使TC ACE；A 的所有特征值均为正数；A 的各阶顺序主子式均大于0；0,0iiaA；(必要条件)概率公式整理1随机事件及其概率吸收律：AABAAAA)(ABAAAAA)()(ABABABA反演律：BABABAABniiniiAA11niiniiAA112概率的定义及其计算)(1)(APAP精选学习资料 -名师归纳总结-第

18、7 页，共 27 页学习必备欢迎下载若BA)()()(APBPABP对任意两个事件A,B,有)()()(ABPBPABP加法公式：对任意两个事件A,B,有)()()()(ABPBPAPBAP)()()(BPAPBAP)()1()()()()(2111111nnnnkjikjinjijiniiniiAAAPAAAPAAPAPAP3条件概率ABP)()(APABP乘法公式)0)()()(APABPAPABP)0)()()(12112112121nnnnAAAPAAAAPAAPAPAAAP全概率公式niiABPAP1)()()()(1iniiBAPBPBayes 公式)(ABPk)()(APABPk

19、niiikkBAPBPBAPBP1)()()()(4随机变量及其分布分布函数计算精选学习资料 -名师归纳总结-第 8 页，共 27 页学习必备欢迎下载)()()()()(aFbFaXPbXPbXaP5离散型随机变量(1)0 1 分布1,0,)1()(1kppkXPkk(2)二项分布),(pnB若 P(A)=p nkppCkXPknkkn,1,0,)1()(*Possion 定理0limnnnp有,2,1,0!)1(limkkeppCkknnknknn(3)Poisson 分布)(P,2,1,0,!)(kkekXPk6连续型随机变量(1)均匀分布),(baU其他,0,1)(bxaabxf1,0)

20、(abaxxF精选学习资料 -名师归纳总结-第 9 页，共 27 页学习必备欢迎下载(2)指数分布)(E其他,00,)(xexfx0,10,0)(xexxFx(3)正态分布N(,2)xexfx222)(21)(xttexFd21)(222)(*N(0,1)标准正态分布xexx2221)(xtexxtd21)(227.多维随机变量及其分布二维随机变量(X,Y)的分布函数xydvduvufyxF),(),(边缘分布函数与边缘密度函数xXdvduvufxF),()(dvvxfxfX),()(yYdudvvufyF),()(duyufyfY),()(8.连续型二维随机变量(1)区域 G 上的均匀分布，

21、U(G)精选学习资料 -名师归纳总结-第 10 页，共 27 页学习必备欢迎下载其他,0),(,1),(GyxAyxf(2)二维正态分布yxeyxfyyxx,121),(2222212121212)()(2)()1(212219.二维随机变量的条件分布0)()()(),(xfxyfxfyxfXXYX0)()()(yfyxfyfYYXYdyyfyxfdyyxfxfYYXX)()(),()(dxxfxyfdxyxfyfXXYY)()(),()()(yxfYX)(),(yfyxfY)()()(yfxfxyfYXXY)(xyfXY)(),(xfyxfX)()()(xfyfyxfXYYX10.随机变量的

22、数字特征数学期望1)(kkkpxXEdxxxfXE)()(随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩精选学习资料 -名师归纳总结-第 11 页，共 27 页学习必备欢迎下载)(kXEX 的 k 阶绝对原点矩)|(|kXEX 的 k 阶中心矩)(kXEXEX 的 方差)()(2XDXEXEX,Y 的 k+l阶混合原点矩)(lkYXEX,Y 的 k+l阶混合中心矩lkYEYXEXE)()(X,Y 的 二阶混合原点矩)(XYEX,Y 的二阶混合中心矩X,Y 的协方差)()(YEYXEXEX,Y 的相关系数XYYDXDYEYXEXE)()()()(X 的方差D(X)=E(X-E(X)2)()()(22

23、XEXEXD协方差)()(),cov(YEYXEXEYX精选学习资料 -名师归纳总结-第 12 页，共 27 页学习必备欢迎下载)()()(YEXEXYE)()()(21YDXDYXD相关系数)()(),cov(YDXDYXXY高等数学公式导数公式：axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxxCaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxx

24、dxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222222020精选学习资料 -名师归纳总结-第 13 页，共 27

25、 页学习必备欢迎下载基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos12sinududxxtguuuxuux，一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式：诱导公式：函数角 A sin cos tg ctg-sin cos-tg-ctg 90-cos sin ctg tg 90+cos-sin -ctg -tg 180-sin-cos -tg-ctg 180+-sin -cos tg ctg 270-cos -sin ctg tg 270+-cos sin-ctg -tg 360-sin cos-tg-ctg 360+sin cos tg ctg 和差角公式：和差化积公式：2sin2si

26、n2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsinctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg1)(1)(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(xxarthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxxxxxxxx11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦.590457182818284.2)11(lim1sinlim0exxxxxx精选学习资料 -名师归纳总结-第 14 页，共 27 页学习必备欢迎下载精选学习资料 -名师归纳总结-第 15

27、 页，共 27 页学习必备欢迎下载倍角公式：半角公式：cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos122cos12cos2cos12sinctgtg正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin余弦定理：Cabbaccos2222反三角函数性质：arcctgxarctgxxx2arccos2arcsin高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(nkknnnnnkkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当柯西

28、中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf)(F)()()()()()()()()(曲率：.1;0.)1(limMsMM:.,13202aKaKyydsdsKMMsKtgydxydss的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg222222122212sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg精选学习资料 -名师归纳总结-第 16 页，共 27 页学习必备欢迎下载定积分的近似计算：bannnb

29、annbanyyyyyyyynabxfyyyynabxfyyynabxf)(4)(2)(3)()(21)()()(1312420110110抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式：babadttfabdxxfabykrmmkFApFsFW)(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数：。代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影：点的距离：空间,cos)(.sin,cos,cosPrPr)(Pr,cosPr)()()(2222222212121221221221cbac

30、ccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaakjibacbbbaaababababababababaajajaajuABABABjzzyyxxMMdzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxxzzyyxxuu精选学习资料 -名师归纳总结-第 17 页，共 27 页学习必备欢迎下载（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,22211;,1302),(,0)()()(122222222222222222222000000

31、2220000000000czbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxptzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA多元函数微分法及应用zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz，隐函数，隐函数隐函数的求导公式：时，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算

32、：全微分：0),()()(0),(),(),(),(),()(),(),(),(22精选学习资料 -名师归纳总结-第 18 页，共 27 页学习必备欢迎下载),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),(0),(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),(),(),(30)(,()(,()(,(2),(),(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()()(),()()()(0000000000000000000000000000000

33、00000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线方程：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线方向导数与梯度：上的投影。在是单位向量。方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数ly

34、xflfljieeyxflfjyfixfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(多元函数的极值及其求法：不确定时值时，无极为极小值为极大值时，则：，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx精选学习资料 -名师归纳总结-第 19 页，共 27 页学习必备欢迎下载重积分及其应用：DzDyDxzyxDyDxDDyDxDDDayxxdyxfaFayxydyx

35、fFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxMMxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf23222232222322222D22)(),()(),()(),(,)0(),0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴对于轴对于平面薄片的转动惯量：平面薄片的重心：的面积曲面柱面坐标和球面坐标：dvyxIdvzxIdvzyIdvxMdvzMzdvyMydvxMxdrrrFddddrdrrFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzryr

36、xzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzzyxfzzryrxzyxr)()()(1,1,1sin),(sin),(),(sinsincossinsincossin),sin,cos(),(,),(),(,sincos222222200),(0222，转动惯量：，其中重心：，球面坐标：其中：柱面坐标：曲线积分：)()()()()(),(),(),(,)()(),(22tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL特殊情况：则：的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧精选学习资料 -名师归纳总结-第 20 页，共 27 页学习必备欢迎下载。，通常设的全微分，其中

37、：才是二元函数时，在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，应。注意奇点，如，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),()0,0(),(),(21212,)()()coscos()()(),()()(),(),(),()()(00),(),(00yxdyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxyPxQyPxQGyxQyxPGydxxdydxdyADy

38、PxQxQyPQdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxDLDLDLLLL曲面积分：dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdzdxzxzyxQdzdxzyxQdydzzyzyxPdydzzyxPdxdyyxzyxRdxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPdxdyyxzyxzyxzyxfdszyxfzxyzxyxyDDDDyx)coscoscos(),(,),(,),(),(),(,),(),(),(),(),(),(1),(,),(22系：两类曲面积分之间的关号。，取曲面的右

39、侧时取正号；，取曲面的前侧时取正号；，取曲面的上侧时取正，其中：对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：高斯公式：精选学习资料 -名师归纳总结-第 21 页，共 27 页学习必备欢迎下载dsAdvAdsRQPdsAdsnAzRyQxPdsRQPRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxPnndiv)coscoscos(.,0div,div)coscoscos()(成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：通量与散度：高斯公式的物理意义斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：dstARdzQdyPdxARQPzyxAyPxQxRzPzQyRRQPzyxRQPzy

40、xdxdydzdxdydzRdzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：，关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：kjirotcoscoscos)()()(常数项级数：是发散的调和级数：等差数列：等比数列：nnnnqqqqqnn1312112)1(32111112级数审敛法：精选学习资料 -名师归纳总结-第 22 页，共 27 页学习必备欢迎下载散。存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛法nnnnnnn

41、nnnsuuusUUulim;3111lim2111lim1211。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理：的审敛法或交错级数1113214321,0lim)0,(nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu绝对收敛与条件收敛：时收敛时发散级数：收敛；级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn幂级数：精选学习资料 -名师归纳总结-第 23 页，共 27 页学习必备欢迎下载001

42、0)3(lim)3(1111111221032RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时，时，时，的系数，则是，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点对于级数时，发散时，收敛于函数展开成幂级数：nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!)0(!2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(!2)()()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成

43、泰勒级数：一些函数展开成幂级数：)()!12()1(!5!3sin)11(!)1()1(!2)1(1)1(121532xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxnnnm欧拉公式：2sin2cossincosixixixixixeexeexxixe或三角级数：。上的积分在任意两个不同项的乘积正交性：。，其中，0,cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1cossin)sincos(2)sin()(001010nxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnnnnnnnnnnn傅立叶级数：精选学习资料 -名师归纳总结-第 24 页，共 27 页学习必备欢迎下载是偶函数，余弦

44、级数：是奇函数，正弦级数：（相减）（相加）其中，周期nxaaxfnnxdxxfabnxbxfnxdxxfbannxdxxfbnnxdxxfanxbnxaaxfnnnnnnnnnnncos2)(2,1,0cos)(20sin)(3,2,1nsin)(201241312116413121124614121851311)3,2,1(sin)(1)2,1,0(cos)(12)sincos(2)(00022222222222222210周期为l 2的周期函数的傅立叶级数：精选学习资料 -名师归纳总结-第 25 页，共 27 页学习必备欢迎下载llnllnnnnndxlxnxflbndxlxnxflall

45、xnblxnaaxf)3,2,1(sin)(1)2,1,0(cos)(12)sincos(2)(10其中，周期微分方程的相关概念：即得齐次方程通解。，代替分离变量，积分后将，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。得：的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程或一阶微分方程：uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy)()(),(),()()()()()()(0),(),(),(一阶线性微分方程：)1,0()()(2)(0)(,0)()()(1

46、)()()(nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：全微分方程：通解。应该是该全微分方程的，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP),(),(),(0),(),(),(0),(),(二阶微分方程：时为非齐次时为齐次，0)(0)()()()(22xfxfxfyxQdxdyxPdxyd二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：2122,)(2,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyy

47、py式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中精选学习资料 -名师归纳总结-第 26 页，共 27 页学习必备欢迎下载式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321rr的形式，21rr(*)式的通解两个不相等实根)04(2qpxrxrececy2121两个相等实根)04(2qpxrexccy1)(21一对共轭复根)04(2qp242221pqpirir，)sincos(21xcxceyx二阶常系数非齐次线性微分方程型为常数；型，为常数，sin)(cos)()()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx精选学习资料 -名师归纳总结-第 27 页，共 27 页