2017年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

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1、2017年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月14日上午8: 30 11: 00）一、选择题（每小题6分，共36分）1.已知集合A x 2 0,x Z ,则集合A中所有元素的和为（）x 3A. 1B. 0C. 2D. 3【答案】Bx 2【解答】由0 ,得2 x 3。又x Z。因此A 2, 1,0, 1, 2 。 x 3所以，集合A中所有元素的和为002,已知正三棱锥A BCD的三条侧棱AB、AC、AD两两互相垂直，若三棱锥A BCD（第2题图）外接球的表面积为3 ,则三棱锥A BCD的体积为（）D.【解答】设AB ACAD a ,则三棱锥A BCD外接球的半C.由4 R2 3 ,

2、得R手a 1 ,三棱锥A BCD的体积V -a3 -663 .已知x为实数，若存在实数y ,使得2x y 0 ,且xy 2x 3y,则x的取值范围为()A. ( 4, 3) (0,)B. (0,2) (4,)C. (, 4) ( 3,0)D. (,0) (2,4)【答案】C【解答】由xy 2x 3y ,得y. x 3- 2x y 0,2x 三 0,即 x(x 4) 0,解得 x 4或 3 x 0。 x 3x 3x的取值范围为(，4) ( 3,0)。4 . m、n是两条不重合的直线，、 是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是()(1)对m、n外任意一点P,存在过点P且与m、n都相交

3、的直线;(2)若 m(3)若 m(4)若 m/A. 1n/ mnilB. 2【解答】(1)不正确。,且mi/,则 ；，则 m n ；,nH ，则 /C. 3D. 4如图，在正方体 ABCD AB1clD1中,取m为直线BD , n为直线ACi。过点A的直线l如果与直线BD 相交，则l在面ABCD内，此时l与直线AG不相交。(2)、(3)正确。(4)不正确。如图，正方体ABCD A1B1C1D1的面ABCD内取两条与BC平行的直线，如图中 的直线 AD 与 EF ,则有 AD/面 BCC1B , EF/面 BCC1B1, AD/面 A1B1clD1 , EF /面AB1CQ1 ,但面BCCB与面

4、AB1C1D1相交而不平行。5.已知函数 f(x) (x2 2x)(x2f (x)的最小值为()A.16B.14mx n),若对任意实数x均有f( 3 x)C.12D.10f( 3 x),则【答案】 A【解答】 依题意，f(x)的图像关于直线x 3对称。f( 6)f(0) 0, f( 4) f(于是24(36 6m n) 0解得8(16 4m n) 0m 10, n 24 时，f (x) (x2 2x)( x2 10x 24) x(x2) 0Om 10o n 242)(x 4)(x 6) (x2 6x)(x2 6x 8)。-2_2_2_f (x) (x 6x)8(x6x)222(x 3)98

5、(x 3)9 ,此时，f( 3 x) (x2 5)222(x 3)516。即 f (x) (x 3)4 10(x 3)2 916, f( 3 x) (x2 5)2 16,符合题意。(x 3)2 5 0 ,即 x3而时，f(x)取最小值166.已知aR,若 a2c2 1,且(a1)(b1)(c 1) abc,则a的最小值为A.1B.C.1D.D由(a1)(b1)(c1)abc ,得 abcabbccac 1 abc oab 设a b一 一 2 a2xbc cacb21。贝 ab bcca2(a b c) 2(ab bc ca)ab.2a由a , b2(x (a b21) 1 ,解得x 1 ,即a

6、 b)c 0 ,即 ab (a b)(1a b)abR知,a b 0 ,即 b2 (a 1)2 4(a2(aa)1)b a0 o1,1,02abbcca 00o3a22a 1因此，a又当a代入前面解得，b2-0符合题设要求。3一一 ，一.1a的最小值为13二、填空题(每小题6分，共36分)7.已知定义在 1,0上的函数f(x)log a(x m) ( a 0 ,且 a1)的值域也是1,0 ，则a m的值为1时，f(x)在1,0上为增函数，依题意有f( 1) f(0)当0 alOga( lOga(01时，1 m) 1),方程组无解。m) 0f(x)在1,0上为减函数，依题意有f( 1) f(0)

7、lOga( lOga(01m)m) 10，解得所以,5a m 一。28 .如图，在三棱锥P ABC中，PA PC BA BC 5, ACPB 4。设PA与面ABC所成的角为,则sin 的B【答案】75【解答】如图，取AC中点O ,连接OP , OB。PA PC BA BC 5 , AC 6,AC OP , AC OB , OP OB 4。 AC 面 POB ,面 ABC 面 POB。又由PB 4,知APOB是等边三角形。作 PH OB 于 H,则 PH 面 ABC,且 PH 2PP PAH是PA与面ABC所称的角。sinsin PAHPH 2 3PA 5（第8题图）（第8题图）9.已知 A（

8、9,12）, B（ 16, 12） , O（0 ,0）,点 D 在线段 OB 内，且 AD 平分 OAB ,则 点D的坐标为。【答案】（6,9）2【解答】如图，OB方程为y3-x ,设 D(4t ,3t) ( 4 t4又直线AO方程为4x 3y 0 ,24x 7y 300 0 , AD 平分 OAB。点D到直线AO、AB距离相等。16t 9t | 196t 21t 300 o25解得，t 6 （舍去）或AB方因此，点D坐标为（6,92)010.设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，且在区间0,1上单调递减。若f( ) 1,1 x 2一.f(2 ) 2,则不等式组的解集为1 f (x) 2【

9、答案】2,8 2【解答】: f(x)是偶函数，且在区间0,1上单调递减。f (x)在区间1,0上为增函数。又f(x)是以2为周期的周期函数，f(x)在区间1,2上为增函数。又f( ) 1, f(2 ) 2,以及f(x)是以2为周期的偶函数。f (2) f ( ) 1 , f (8 2 )f(28) f (2 ) 2。又 12 8 22 ,不等式组的解集为2,8 2 。11 .已知 f (x)定义f1(x)f(x), fn(x)f (fn(x) , n2,3,4,，则f2017 (3)2 2019 3【解答】依题意，有吊3) 3 -33523 3f23133A ，24 3f3329_525 3，

10、3般地有fn(3)2所以,f2017 (3)3入2019 02312.已知 x 0, y 0 , z 0 ,且 x2 5y2 z21 ,则2xy yz的最大值为【解答】由12222222x 5y z (x 4y ) (y z )4xy 2yz 2(2 xy yz),知2xy yz11 ,当且仅当x 2y ,且y21.一一f= , y z 时，等方成立。、10. 10一一.一一 ,，一 1所以，2xy yz的取大值为。2三、解答题(第13、14、113.已知 f (x) ax (3(1)求f(x)的解析式;(2)已知 A(x1, y1)、B(x2x1、x2为整数,为x215、16题每题16分，第

11、17题14分，满分78分)a)x c,且当 1 x 1时,f(x)1 , -恒成立。6y2)是函数y f(x)图像上不同的两点,3时，求直线AB的方程。P(1),且 PA 6PB 。(1)f(0)f(1)此时,f(0)1 一一 -,可见f(x)在区间61,1上的最小值为f(0) of(x)的对称轴为0,0,f (x) - x2 3(2)由(D知,y1J 2 1(EX1 A)x1 ( 1)x1-6迎。同理kPB殳33PAPB,kpAkpBx-31。(X1)d 1)9。12分又X、x2为整数,x2 ，x 1x2 1结合x2 3,Kx2Kx28, x2A、B坐标分别为A( 81276)、B(276)

12、直线AB的方程为12x 6y 31 0。16分14 .过直线l: x y 10 0上一点P作圆C:(x 4)2 (y 2)2 4 的两条切线 PA、PB ,A、B为切点。?若存在，求出点P的坐标；若不存在,(1)在l上是否存在点P ,使得 APB 120 请说明理由；(2)若直线AB过原点O ,求点P的坐标。【解答】(1)假设符合条件的点P存在。贝U 由 APB 120 ,知 APC 60 。CA 2, CA PA,PC 土、3另一方面，由圆心C(4,2)到直线l的距离d4 2 1022衣，知 PC 272 0432也,矛盾。因此，假设不成立。.符合条件的点P不存在。(2)设P(x0 , y)

13、为直线l上一点则 PA PB (x0 4)2 (y22)2 4 点A、B在以P为圆心，半径为 J(% 4)2 (y0 2)2 4的圆上,即点 A、B 在圆(x刈)2(yy0)2 (x0 4)2 (y02)2 4 上，即圆 x2 y2 2x0x 2y0y 8x0 4y0 16 0上。又点 A、B 在圆C:(x4)2(y 2)2 4上，即圆x2 y2 8x4y 16 0 上。将上述两圆方程联立，消二次项，得 (x0 4)x (y0 2)y 4x0 2y0 16 0。直线 AB 方程为(x0 4)x (y0 2)y 4x0 2y0 16 0。 12 分由直线AB过原点。知，4x0 2y0 16 0。

14、联立 x y0 10 0,解得 x02 , y0 12。点P的坐标为(2,12)。 16分AN15.如图，zABC为锐角三角形，CF AB于F , H为4ABC的垂心，M为AH的中点G在线段CM上，且CG GB。(1)求证： MFGGCF ;(2)求证： MCA HAG。【解答】(1)由条件知，BF FC , BG GC , B、C、G、F四点共圆。AFG BCG。 4分: M为AH的中点，MF MA MH , AFM FAM 。延长AH交BC于点N。由H为4ABC的垂心知，BC。BAN FCB。AFM BAN FCB。又 MFG AFG AFM , GCF BCG FCB,MFG GCF 。

15、 8(2)由(1)知， MFG GCF。又 FMG CMF ,AMFG S& MCF 。MF MGMC MF 又 MF MA,12分(第15题图)MA MGMC MA又 CMA AMG , MCA s& MAG 。MCAMAGHAGo16分16 .已知f (x)为定义在(，0) (0 ,)上的奇函数，且当x 0时，2x 2,0x2f (x)。g(x) f (x) a。x 51 , x 2(1)若函数g(x)恰有两个不相同的零点，求实数a的值；(2)记S(a)为函数g(x)的所有零点之和。当 1 a 0时，求S(a)的取值范围。【解答】(1)如图，作出函数f(x)的草图。(第16题图)由图像可知

16、，当且仅当a 2或a 2时，直线y a与函数y f (x)的图像有两个不同的交点。所以，当且仅当a 2或a 2时，函数g(x)恰有两个不相同的零点。因此，a 2或a 2。 4分(2)由f(x)的图像可知，当1 a 0时，g(x)有6个不同的零点。 8分设这6个零点从左到右依次设为x1 , x2 , x3, x4 , x5 , x6 o则x x210,% x6 10 , x3是方程 2 x 2 a 0的解，人是方程2x 2 a 0的解2 a S(a) 10 log2(2 a) log2(2 a) 10 log2。 12 分2 a.1 a 0时，3 1 (1,1),2 a 2 a 3S(a)(1

17、alog23,0)。16分0时,S(a)的取值范围为(log2 3,0)。17.设集合S是一个由正整数组成的集合，且具有如下性质： 对任意x S ,在S中去掉x后，剩下的数的算术平均数都是正整数； 1 S, 901 S,且901是S中最大的数。求| S|的最大值。(符号| S表示集合S中元素的个数)【解答】 依题意，设 Sx1 , x2 , x3, L, xn，且1x1x2x3Lxn901。、一X x记 X x1 x2 x3 L xn, ai L ,则 ai N ,其中 i 1, 2, 3,，n。n 1对任意2 k n,有& akk 阻力 迎N*。 5分n 1 n 1 n 1 n 1对任意 2 k n, (n 1) (xk 1)。又 xk xk 1 (xk 1) (xk 1 1),任意 2kn ,(n 1) (xkxk1)。任意 2kn ,(xk xk 1)n1 o于是，xnx(xnxn 1)(xn1xn2)L(x2x1)(n 1) (n 1) L (n 1) (n1)2。即 901 1 (n 1)2, (n 1)2 900。 n 31。 10 分另一方面，令 xi 30| 29, i 1, 2, 3,，31,则 Sx1 , x2 , 天 ,L , x 符合要求。一. n的最大值为31,即| S|的最大值为31。 14分