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1、课 时 教 案授课章节及题目第四章 曲线的凹凸性授课时间第15 周 周二第1、2 节课 次1学 时2教学目标与要求(分掌握、熟悉、了解三个层次)曲线的凹凸性的判定定理，会求曲线的凹凸区间。教学重点与难点教学重点：利用二阶导数判断曲线的凹凸性的方法教学难点：导数不存在的连续点、也可能是曲线的凹凸区间的分界点。教学用具无教学过程环节、时间授课内容教学方法课程导入（10分钟）中值定理提问新课讲解（70分钟）新课讲解（70分钟）钟）一、曲线的凹凸与拐点1. 凹凸性的概念: x1 x 2 yx O f(x2) f(x1) x1 x 2 yx O f(x2) f(x1) 定义 设在区间I上连续, 如果对I
2、上任意两点 , 恒有, 那么称在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有, 那么称在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧). 定义 设函数在区间I上连续, 如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的.2.曲线凹凸性的判定 定理 设在上连续, 在(a, b)内具有一阶和二阶导数, 那么 (1)若在内, 则在上的图形是凹的; (2)若在内 , 则在上的图形是凸的. 证明 只证(1)(2)的证明类似). 设, 记. 由拉格朗日中值公式, 得 , , , , 两式相加并应用拉格朗日中值公式得 , ,
3、即, 所以在上的图形是凹的. 拐点: 连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点. 确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求出在二阶导数 ; (3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点; (4)判断或列表判断, 确定出曲线凹凸区间和拐点; 注: 根据具体情况（1）、（3）步有时省略. 例1. 判断曲线的凹凸性. 解: , . 因为在函数的定义域内, , 所以曲线是凸的. 例2. 判断曲线的凹凸性. 解: 因为 , . 令 得. 当时, , 所以曲线在内为凸的; 当时, 所以曲线在内为凹的. 例3. 求曲线的拐点. 解: , ，令, 得. 因为当时,; 当时,
4、 , 所以点(, )是曲线的拐点. 例4. 求曲线的拐点及凹、凸的区间. 解: (1)函数的定义域为; (2) ,; (3)解方程, 得, ; (4)列表判断: (-, 0) 0 (0, 2/3) 2/3 (2/3, +) f (x) + 0 - 0 + 1 11/27 在区间和上曲线是凹的, 在区间上曲线是凸的. 点 和是曲线的拐点. 例5 问曲线是否有拐点？ 解 , . 当时, , 在区间内曲线是凹的, 因此曲线无拐点. 例6. 求曲线的拐点. 解 (1)函数的定义域为; (2) , ; (3)函数无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为 ; (4)判断: 当时,; 当时, . 因此, 点是曲线的拐点. 讲解讲解启发环节、时间授课内容教学方法课后作业（10分钟）课堂小结：曲线的弯曲方向曲线的凹凸性;凹凸性的判定.改变弯曲方向的点拐点;拐点的求法1, 2.布置作业：P75 1、（2）（4）；2、（2）（4）；教学反思板书设计课程导入：单调性、极值、最值新课讲解介绍本次课程的主要内容课堂讲解作业单调性、极值、最值
曲线的凹凸性
