多面体与球的接切问题课件

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1、简单多面体与球简单多面体与球的接切问题的接切问题 与定点的距离等于定长的点的集与定点的距离等于定长的点的集合，叫做合，叫做 。半圆以它的直径为旋转轴，旋半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做转所成的曲面叫做球面球面.球面所球面所围成的几何体叫做围成的几何体叫做球体球体.球的旋转定球的旋转定义义球的集合定义球的集合定义 与定点的距离等于或小于定长的与定点的距离等于或小于定长的 点的集合，叫做点的集合，叫做球体球体。球面球面 性质性质2:球心和截面圆心的连线垂球心和截面圆心的连线垂 直于截面直于截面22dRr性质性质1：用一个平面去截用一个平面去截球球，截面是，截面是圆面圆面；用一个平面去截用

2、一个平面去截球面球面，截线是截线是圆圆。大圆大圆-截面过球心，半径等于球半径；截面过球心，半径等于球半径；小圆小圆-截面不过球心截面不过球心性质性质3:球心到截面的距离球心到截面的距离d与球与球 的半径的半径R及截面的半径及截面的半径r 有下面的关系有下面的关系:A31.3ara结论：边长为 的正三角形的外接圆半径2.2ccr 斜边为 的直角三角形的外接圆半径223.2ababr长为，宽为 的矩形的外接圆半径正方体的内切球正方体的内切球,外接球外接球,棱切球棱切球正方体与球正方体与球切点：切点：各个面的中心各个面的中心。球心：球心：正方体的中心正方体的中心。直径：直径：相对两个面中心连线相对两

3、个面中心连线。o球的直径等于正方体棱长。aR 2一、正方体的内切球一、正方体的内切球二、球与正方体的棱相切二、球与正方体的棱相切球的直径等于正方体一个面上的对角线长aR22切点：切点：各棱的中点各棱的中点。球心：球心：正方体的中心正方体的中心。直径：直径：“对棱对棱”中点连线中点连线三、三、正方体的外接球正方体的外接球球直径等于球直径等于正方体的（体）对角线aR32正方体的内切球正方体的内切球,棱切棱切球球,外接球外接球三个球心合一三个球心合一1:2:3半径之比为半径之比为：长方体与球长方体与球一、长方体的外接球一、长方体的外接球长方体的（体）对角线等于球直径Rcbalcba2222，则、分别

4、为设长方体的长、宽、高 一般的长方体有内切球吗？一般的长方体有内切球吗？没有。没有。一个球在长方体内部，最多一个球在长方体内部，最多可以和该长方体的可以和该长方体的5个面相切。个面相切。如果一个长方体有内切球，如果一个长方体有内切球，那么它一定是那么它一定是正方体正方体？例：例：例：如图，半球内有一内接正方体，正方体例：如图，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球底面圆内。则这个半球的面的一个面在半球底面圆内。则这个半球的面积与正方体表面积的比为积与正方体表面积的比为（）将半球补成整球将半球补成整球aaaal6)2(222分析分析2222222,22,232OAaOBRABaaaRRaOA

5、BOAB设球心为设球心为O，则，则O亦为底面正方形的中心亦为底面正方形的中心。如图，连结如图，连结OA、OB，则得，则得RtOAB.设正方体棱长为设正方体棱长为a，易知：，易知：222223662SRaSaa半球正方体例例.已知球已知球O的表面上有的表面上有P、A、B、C四点，且四点，且PA、PB、PC两两互相垂直，两两互相垂直，若若PA=PB=PC=a，求这个球的表面积，求这个球的表面积和体积。和体积。变式：将上面的条件改为“PA=a,PB=b,PC=c”3VS表表内切球半径公式：r=，其中V为几何体的体积，S 为几何体的表面积例：如图为某几何体的三视图，该几何体的内切球体积为_334221

6、=34=12311=3+3 4 2+3 5 2=36223=1VSVS 四棱锥表表内切球半径r正四面体与球正四面体与球1.棱长为棱长为a的正四面体的正四面体的外接球的半径的外接球的半径为为_PABCMORR.正四面体的外接球可利用直角三角形勾股定理来求DPADO ME226.4Ra将正四面体放到正方体中，得正方体的棱长为a,且正四面体的外接球即正方体的外接球，所以 2.棱长为棱长为a的正四面体的棱切球的半径的正四面体的棱切球的半径_ 24Ra3.棱长为棱长为a的正四面体的内切球的半径的正四面体的内切球的半径_ rShSV全面积底面积3131ar126 ShSr 底面积全面积14SrSh底面积全

7、面积14rh？63haOPABCDKH正四面体的正四面体的内切球还可利用截面三角形来求ABEO O1Far126内切64Ra外 接24Ra棱切正四面体的内切球正四面体的内切球,棱切棱切球球,外接球外接球3:1:33半径之比为半径之比为：正四面体的四条高相交于同一点，这点叫做正四面体的中心。正四面体的外接球、内切球是同心球，球心即为正四面体的中心。正四面体常常补成正四面体常常补成正方体正方体求外接球的半径求外接球的半径三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体长方体小结小结:常见的补形常见的补形OPABCDHMOHPABCDM球心在高PH上，即在锥体内部球心在高PH的延长

8、线上，即在锥体外部球心与底面正中心H重合OPACDMHB正正三棱锥与球三棱锥与球正三棱锥的外接球的球心在它的高所在直线上正三棱锥的外接球的球心在它的高所在直线上度量关系：设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，高为h，外接圆半径为R，222)33(hbaRhaPMPHPA2,22即或在RtAHO中，222222)()33,RRhbAOHOAH（即正三棱锥P-ABC的侧棱长为1，底面边长为 ，它的四个顶点在同一个球面上，则球的体积为（）23622332AH339396122AHPAPHA解：设P在底面ABC上的射影为H，则H为正ABC的中心.延长PH交球面于M，则PM为球的一直径，PAM=90由Rt

9、中的射影定理得：232331,22RRPMPHPA，即2323343433）（球RV6.66.3.23.DCBAOPABCDMH法二由AHPH知：球心O在正三棱锥的高PH的延长线上。在RtAHO,有：23,)33()36(222RRR 题目：球与棱柱切接问题正三棱柱的外接球球心在上下底面中心连线的中点。AOB是等腰三角形，OA=OB=ROABCA1B1C1M222dr21d33r,tRhOMaAMROAAOMR，中在设球半径为R，球心到底面ABC的距离为d，ABC的外接圆半径为r.设正三棱柱高AA1=h，底面边长为a。正三棱柱的内切球如果一个正三棱柱有内切球，则球心为正三棱柱上下底面中心连线的中点，球直径等于正三棱柱的侧棱长。各面中心即为切点（共5个）。底面正三角形中心到一边的距离即为球半径r。rarlhrahl322:,)则正三棱柱内切球半径为边长为底面正（即为其高设正三棱柱侧棱长为（2009全国卷理）直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 ,，则此球的表面积等于 。111ABCABC12ABACAA120BAC 真题赏析真题赏析20解:在 中,可得由正弦定理,可得 外接圆半径r=2,设此圆圆心为 ，球心为 ，在 中，易得球半径 ，故此球的表面积为.2420RABC2ABAC120BAC2 3BC ABCOORT OBO5R ABCEOOBACB1A1C1OBOORr1