同济大学高等数学第七版_映射与函数

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1、第一章分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁函数与极限 第一章 二、映射二、映射 三、函数三、函数 一、集合一、集合第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 映射与函数四、四、初等函数初等函数元素 a 属于集合 M,记作元素 a 不属于集合 M,记作一、一、集合集合1.定义及表示法定义及表示法定义定义 1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合集合.组成集合的事物称为元素元素.不含任何元素的集合称为空集空集,记作 .Ma(或Ma).Ma机动 目录 上页 下页 返回 结束 表示法表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例例:有限集合naaaA,2

2、1自然数集,2,1,0Nn(2)描述法：xM x 所具有的特征例例:整数集合 ZxNx或Nx有理数集qpQ,N,Zqp p 与 q 互质实数集合 Rx x 为有理数或无理数机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注:M 为数集*M表示 M 中排除 0 的集;M表示 M 中排除 0 与负数的集.是 B 的子集子集,或称 B 包含 A,2.集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算定义定义2.则称 A.BA若BA,AB 且则称 A 与 B 相等相等,.BA 例如,ZNQZRQ显然有下列关系:;)1(AA;AA BA)2(CB 且CA,A若Ax,Bx设有集合,BA记作记作必有机动 目录 上页 下页 返回

3、 结束 AcABB定义定义 3.给定两个集合 A,B,并集 xBAAx交集 xBAAxBx且差集 xBAAxBx且定义下列运算:ABBA余集)(ABBABcA其中直积 ),(yxBA,AxBy特例:RR记2R为平面上的全体点集ABABBABA机动 目录 上页 下页 返回 结束 Bx或3.3.区间与领域区间与领域是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.,.a bRab对于任意且bxax 称为开区间称为开区间,),(ba记作记作bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记作记作oxaboxab机动 目录 上页 下页 返回 结束

4、区间区间:bxax bxax 称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,),ba记作记作,(ba记作记作),xaxa ),(bxxb oxaoxb以上是有限区间以上是有限区间无限区间无限区间机动 目录 上页 下页 返回 结束 邻域邻域:.0,且且是两个实数是两个实数与与设设a0(,).U a记作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径(,).U ax axaxa a a ,邻邻域域的的去去心心的的点点 a0(,)0.U axxa,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 绝对值绝对值设设 a 是一个实数，是一个实

5、数，数轴上数轴上 a 所对应的点到原点的距离所对应的点到原点的距离称为称为 a 的绝对值，记为：的绝对值，记为：a200aaaaaa一般：一般：aa0aaxaaxaxa0axaxax或xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 axxarraxaxxraxar xar数轴上点 x 到点 a 的距离为raxrxar arxarraxrax运算性质运算性质:;baab ;baba.bababa 机动 目录 上页 下页 返回 结束 逻辑量词逻辑量词全称量词全称量词任意任意AFor AllFor All存在量词存在量词E E存在存在There ExistThere Exist机动 目录 上页 下页 返回

6、 结束 解释以下命题解释以下命题对任意实数对任意实数x x，都存在比都存在比x x 更大的实数更大的实数y y。RxR()yyx 任意两个实数之间，都存在着一个实数。任意两个实数之间，都存在着一个实数。,()x yR xyR()zxzy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、映射映射1.映射的概念映射的概念 某校学生的集合某校学生的集合学号的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某班学生的集合某教室座位某教室座位的集合的集合按一定规则入座机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例引例定义定义4.设 X,Y 是两个非空集合,若存在一个对应规则 f,使得,Xx有唯一确定的Yy与之对应,则称

7、 f 为从 X 到 Y 的映射映射,记作.:YXf元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像像,记作).(xfy 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像原像.XYfxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义域定义域：Df =X Rf =)(XfXxxf)(值域值域：注意注意:1)映射的三要素 定义域,对应规则,值域.2)元素 x 的像 y 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一.机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应规则：对应规则：f几种映射的类型几种映射的类型满映射（满射）满映射（满射）单映射（单射）单映射（单射）一一映射（双射）一一映射（双射）机动 目录 上页 下页 返回 结束

8、机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义.Dxg)()(Dgxgu1Duf)(ufy 则当则当1)(DDg由上述映射链可定义由由上述映射链可定义由 D 到到 Y 的的,)(xgfy.),(Dxxgf设有映射链设有映射链记作记作)(1DfY 复合映射复合映射,时时,或或)(1DfY)(ufy )(xgf1DD

9、x)(xgu gfgf)(Dg机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:构成复合映射的条件构成复合映射的条件 1)(DDg不可少不可少.复合映射复合映射三、函数三、函数1.函数的概念函数的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.反函数反函数 （教材（教材14页）页）机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 In Excel:abs(x)机动 目录 上页 下页 返回 结束 xysgn当当 x 0,1当当 x=0,0

10、当当 x 0,1xyo11In Excel:sign(x)奇函数奇函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8：取整函数：取整函数xy 当当Znnxn,1,nxyo134212In Excel:x=INT(x)3、函数的几种特性、函数的几种特性(1)有界性有界性(2)单调性单调性(3)奇偶性奇偶性(4)周期性周期性机动 目录 上页 下页 返回 结束 3、函数的几种特性、函数的几种特性定义定义：设函数：设函数xxfy,)(1)有界性有界性x,0M恒有恒有,)(Mxf则称则称)(xf在在 a,b 上为上为有界函数有界函数.否则称否则称)(xf在在 a,b 上为上为无界函数无界函数.Mxf)(Mx

11、fMxMy 0My有界函数必介于直线有界函数必介于直线My My与与之间。之间。,ba,bayba机动 目录 上页 下页 返回 结束 在在D上上有上有上(或下）界。或下）界。,xD)(xf如果存在常数如果存在常数M(N),有时还要用到有上界或有下界。上界或有下界。使得对任意的使得对任意的),)()(NxfMxf或总有总有则称则称函数函数函数在某个区间函数在某个区间D上有上有界时函数既有上界、也有下界，界时函数既有上界、也有下界，反之也成立。反之也成立。但当函数但当函数在在D上只有上界（或有下界）时，上只有上界（或有下界）时，函数在函数在D上无界。上无界。机动 目录 上页 下页 返回 结束 1)

12、(2 xxf当当3,4x时，时，151)(2 xxf则称则称)(xf当当3,4x时为有界函数。时为有界函数。当当0,)x 不存在正数不存在正数M使使(),fxM则称则称)(xf当当0,)x 时，为无界函数。时，为无界函数。说明：说明：一个函数是否有界与所给的实数集密切相关。一个函数是否有界与所给的实数集密切相关。同一个函数在不同的实数集是否有界的结论可能不一样。同一个函数在不同的实数集是否有界的结论可能不一样。例例1 设机动 目录 上页 下页 返回 结束 时，时，则称则称 f(x),(,21baxx21xx 12()(),fxfx 若,)()(21xfxf若则称则称)(xf上是单调增加的上是单

13、调增加的;上是单调减少的上是单调减少的.xy1x2x(2)单调性单调性定义定义：设函数：设函数,)(baxxfy且且在在,ba在在,ba单增和单减函数统称为单调函数。单增和单减函数统称为单调函数。机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1：证明：证明 3xxf内是单调增函数。，在的符号。的符号。),(,21baxx21xx)()(12xfxf证明函数证明函数,)(baxxfy且且的单调性，关键是看的单调性，关键是看看看机动 目录 上页 下页 返回 结束 1)(/)(12xfxf0)(xf时，判别时，判别()0)f x（或（或（或（或)1。或当 2xxf内是单调增函数。，在0内是单调减函数。，在

14、0内不是单调函数。，在例例2这说明：有时一个函数在整个区间这说明：有时一个函数在整个区间D不是单调的，不是单调的，而将而将D分成几个小区间，分成几个小区间，却在每个小区间上是单调的，却在每个小区间上是单调的，这需要分别讨论。这需要分别讨论。机动 目录 上页 下页 返回 结束(3)奇偶性奇偶性,aax若若,)()(xfxf则称则称 f(x)为为偶函数偶函数;若若,)()(xfxf则称则称 f(x)为为奇函数奇函数.定义：定义：设函数设函数)(xfy 在对称区间在对称区间,aa上有定义。上有定义。且满足且满足其图形对称于其图形对称于 y 轴。轴。其图形对称于原点。其图形对称于原点。机动 目录 上页

15、 下页 返回 结束 xyoxx(3)奇偶性奇偶性说明说明:若若)(xf在在 x=0 有定义有定义,.0)0(f为奇函数时为奇函数时,则当则当必有必有为奇函数为偶函数)()(0)(2)()(xfxfxfxfxf偶倍奇零偶倍奇零机动 目录 上页 下页 返回 结束 则此函数在为偶函数。则此函数在为偶函数。例例2 判断函数判断函数1)(2xxf的奇偶性。的奇偶性。解解12xxxxfcos,)(2,x 是偶函数是偶函数xxxfsin,)(3 是奇函数是奇函数 xfxf122x例例1：12x xf2).,()(xxf机动 目录 上页 下页 返回 结束()f x是定义在是定义在,xa a 上的任意函数，证明

16、上的任意函数，证明()()()(,)g xf xfxxa a 是偶函数，是偶函数，是奇函数。是奇函数。证明证明 对于任意的对于任意的(,)xa a()g x()()()(,)h xf xfxxa a()()()gxfxf x()h x()()()hxfxf x()g x是偶函数，是偶函数，是奇函数。是奇函数。()h x例例3 设一个奇函数与一个偶函数之积是奇函数。一个奇函数与一个偶函数之积是奇函数。补充：补充：两个奇（偶）函数之和仍是奇（偶）函数；两个奇（偶）函数之和仍是奇（偶）函数；之积是偶函数之积是偶函数;机动 目录 上页 下页 返回 结束(4)周期性周期性,0,lDx且且,Dlx)()(

17、xflxf则称则称)(xf为为周期函数周期函数,to)(tf22xo2y2若若称称 l 为为周期周期(一般指一般指最小正周期最小正周期).周期为周期为 周期为周期为2注注:周期函数不一定存在最小正周期周期函数不一定存在最小正周期.例如例如,常量函数常量函数Cxf)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 求周期函数的周期的方法求周期函数的周期的方法：)()(xflxf0)()(xflxf由此等式中解出由此等式中解出 l .例：例：求函数求函数 xxf3cos的周期的周期 l .解：解：2coslx中 23cosxxf323cosx32xf32l机动 目录 上页 下页 返回 结束 4、复合函数、复合

18、函数 xuufy设定义：x 的值全部落 的复合函数。为则称xxfy的定义域内，的定义域内，1),(Duufy,),(Dxxu1)(DD 且则则Dxxfy,)(即：即：设有函数链设有函数链称为由称为由,确定的确定的复合函数复合函数,u 称为称为中间变量中间变量.注意注意:构成复合函数的条件构成复合函数的条件 1)(DD 不可少不可少.uf在机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个以上函数也可构成复合函数两个以上函数也可构成复合函数.例如例如,0yuu可定义复合函数可定义复合函数:,2ln2xy 2x1lnvvu)2,(,22xxv或或,2x机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1：设 2111

19、0 xxxexfx求求1.f x解：211)1(111011xxxexfx即：即：1020111xxxexfx机动 目录 上页 下页 返回 结束 1101lnxxxxf求求 f(x).解：lnux 令 100uuf ueu xexxfx001例例2：已知机动 目录 上页 下页 返回 结束 uxe 四四.初等函数初等函数1、基本初等函数基本初等函数幂函数、幂函数、指数函数、指数函数、对数函数、对数函数、三角函数、三角函数、反三角函数反三角函数2、初等函数初等函数由常数及基本初等函数由常数及基本初等函数否则称为否则称为非初等函数非初等函数.例如例如,2xy y 0,xx0,xx并可用并可用一个式子

20、一个式子表示的函数表示的函数,经过经过有限次有限次四则运算和复合步四则运算和复合步骤所构成骤所构成,称为称为初等函数初等函数.可表为可表为故为初等函数故为初等函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、幂函数、幂函数01kxky,00,x),0 x,21xy,21 xy),0(x无论无论为何值，为何值，幂函数在幂函数在),0(x内总是有定义。内总是有定义。反比例函数：反比例函数：定义域为：定义域为：)(是常数xy 机动 目录 上页 下页 返回 结束)(是常数xy oxy)1,1(112xy xy xy1xy 幂函数的图形和性质幂函数的图形和性质1、图形都通过点（、图形都通过点（1，1）。）。

21、2、0时，图形过原点，时，图形过原点，且在且在),0(内单调增加。内单调增加。3、0时，图形在时，图形在),0(内单调减少。内单调减少。图像特点及性质：机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、指数函数、指数函数xy2xy21xy10此类函数的特点是：此类函数的特点是：底数均为常数，底数均为常数，指数是变量指数是变量.x定义 xay 1,0aa称为称为指数函数，.,x用描点法在同一坐标系中用描点法在同一坐标系中引例三个函数的图形分别为三个函数的图形分别为:它的定义域是整个实数它的定义域是整个实数1,0 x0yxy2xy10 xy21),(10aaayx指数函数指数函数（3）)1(a曲线从左到右逐

22、渐上升。曲线从左到右逐渐上升。)110(a曲线从左到右逐渐下降。曲线从左到右逐渐下降。但与但与 x 轴不相交轴不相交.(4)xay xay)(1与与的图形对称于的图形对称于 y 轴轴.0 xy)1,0(1aayxxay)1(（1）图形在）图形在 x 轴的上方轴的上方0y.,x（2）图形均过点）图形均过点1,0性质：110a(,)x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3、对数函数的定义对数函数的定义1,0 x0yxy2xy10 xy21)1,0(logaaxyaxay 的反函数记为的反函数记为称为称为对数函数,.,0 xxy21logxy2logxylgxy 0,1指数函数指数函数xay 与对

23、数函数与对数函数xyalog互为反函数。互为反函数。机动 目录 上页 下页 返回 结束)0,1(对数函数的性质对数函数的性质2、图形在、图形在 y 轴的右方轴的右方0 x1、图形均过点、图形均过点1,0.(4)xyalogxya1log与与的图形对称于的图形对称于 x轴轴.1a10 a不与不与 y 轴相交。轴相交。曲线从左到右逐渐上升。曲线从左到右逐渐上升。曲线从左到右逐渐下降。曲线从左到右逐渐下降。3、10 x0y1x,0 yxyalog10logaxya1a机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别：自然对数函数特别：自然对数函数1,0 xey xylnxey 的反函数记为的反函数记为称为称

24、为自然对数函数,.,0 xx0yxylnxy 0,1xey xyln互为反函数。互为反函数。与与机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1：验证函数验证函数，在 0lnxxxf是单调增加的。是单调增加的。证：,0,21xx且且21xx 12xfxf)(ln)(ln1122xxxx)(ln1212xxxx012xfxf，在 0lnxxxf是单调增加的。是单调增加的。机动 目录 上页 下页 返回 结束 则此函数为奇函数则此函数为奇函数判断函数判断函数)1(ln)(2xxxf的奇偶性的奇偶性.解1ln2xx xfxf01ln 12xx例例2机动 目录 上页 下页 返回 结束 4、三角函数、三角函数x

25、ysinxysin1、1sinx,x是有界函数；是有界函数；xxsinsin.2是奇函数，是奇函数，4、周期、周期2T3、2,2x是单增函数；是单增函数；此为最小周期。此为最小周期。图形关于原点对称；图形关于原点对称；值域值域:-1,1（1）正弦函数的性质机动 目录 上页 下页 返回 结束（2）余弦函数的性质）余弦函数的性质xycos,xxycos1、1cosx是有界函数；是有界函数；xxcoscos.2是偶函数对称于是偶函数对称于y 轴；轴；4、周期、周期2.T3、,0 x是单减函数；。是单减函数；。值域值域:-1,1机动 目录 上页 下页 返回 结束 tanyx（3）正切函数）正切函数,x

26、2 kx2,1,0kxy0222323机动 目录 上页 下页 返回 结束 sincosxx xytan正切函数的性质正切函数的性质,x2,1,02kkx（1）在定义域中是无界函数；）在定义域中是无界函数；（2）是奇函数；）是奇函数；（3）在）在2,2内是单调增函数；内是单调增函数；（4）周期为）周期为.Txy0222323xycot（4）余切函数）余切函数,x2,1,0kkx性质：（1）在定义域）在定义域（2）是奇函数；）是奇函数；（3）在）在,0内是单调减函数；内是单调减函数；（4）周期为）周期为.l中是无界函数；中是无界函数；xy02cossinxx xysecxysec（5）正割函数）正

27、割函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 1cos x xycscxycsc（6）余割函数）余割函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 1sin x 5、反三角函数、反三角函数三角函数的对应关系在其定义域内是单值的，三角函数的对应关系在其定义域内是单值的，但是，但是，它们的反对应关系是多值的。它们的反对应关系是多值的。根据反函数的根据反函数的定义，定义，三角函数在其定义域内是没有反函数的。三角函数在其定义域内是没有反函数的。如果把三角函数的定义域划分成若干个区间，如果把三角函数的定义域划分成若干个区间，使在每个区间函数的反对应关系是单值的。使在每个区间函数的反对应关系是单值的。那么，那么，三角

28、函数在这些区间内都分别存在反函数。三角函数在这些区间内都分别存在反函数。机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyarcsin（1 1）反正弦函数的定义）反正弦函数的定义xysin正弦函数正弦函数2,2x 1,1yx0y1122反正弦函数反正弦函数 1,1x2,2yx0y1122定义 正弦函数正弦函数xysin2,2在在上的反函数，称为上的反函数，称为反正弦函数，记为反正弦函数，记为xyarcsin 1,1x2,2y机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyarcsin反正弦函数的性质反正弦函数的性质 1,1x（1）在）在-1,1 上有界函数。上有界函数。（2）是奇函数）是奇函数（3）在）在 1,

29、1上是单调增函数。上是单调增函数。2arcsinx2,2yx0y1122)arcsin(xxarcsin机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyarccos（2 2）反余弦函数的定义）反余弦函数的定义xycos余弦函数余弦函数,0 x 1,1yx0y112反余弦函数反余弦函数 1,1x,0yx0y11定义 余弦函数余弦函数xycos,0在在上的反函数，称为上的反函数，称为反余弦函数，记为反余弦函数，记为xyarccos 1,1x,0y机动 目录 上页 下页 返回 结束 反余弦函数的性质反余弦函数的性质xyarccos 1,1x（1）在）在-1,1 是有界函数。是有界函数。（2）是非奇非偶函数；

30、）是非奇非偶函数；（3）在）在 1,1上是单调减函数。上是单调减函数。x0y11,0yxarccos0机动 目录 上页 下页 返回 结束（3）反正切函数）反正切函数,xxy02y2y2,2y定义正切函数正切函数xytan在在内的反函数，内的反函数，称为称为反正切函数，记为，记为xyarctan)2,2(定义域：定义域：值域：值域：其图形：其图形：0 xy22机动 目录 上页 下页 返回 结束 反正切函数的性质反正切函数的性质（1）在）在（2）是奇函数）是奇函数（3）在）在,上是单调增函数。上是单调增函数。2arctanx,内是有界函数内是有界函数)arctan(xxarctanxy02y2y机动 目录 上页 下页 返回 结束 xarcycot,xxy0y2性质（1）在）在（2）是非奇非偶函数；）是非奇非偶函数；（3）在）在,内是单调减函数。内是单调减函数。xarccot0,内是有界函数内是有界函数（4）反余切函数）反余切函数0 xyx2xycot机动 目录 上页 下页 返回 结束