圆的参数方程

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1、第二讲第二讲 参参 数数 方方 程程1、参数方程的概念、参数方程的概念（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标标x、y都是某个变数都是某个变数t的函数，即的函数，即并且对于并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的的每一个允许值，由上述方程组所确定的点点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的做这条曲线的参数方程参数方程，联系，联系x、y之间关系的变数之间关系的变数叫做叫做参变数参变数，简称，简称参数参数。参数方程的参数可以是有。参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明

2、显意义的物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。变数。)()(tgytfx（2）相对于参数方程来说，前面学过的直接给出相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程普通方程。（3）参数方程与普通方程的互化）参数方程与普通方程的互化sincosryrxx x2 2+y+y2 2=r=r2 2222)()(rbyaxsincosrbyrax注：注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之坐标之间的关系，而是分别体

3、现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。间的关系。2、参数方程的应用往往是在、参数方程的应用往往是在x与与y直接关系很难或不可直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。能体现时，通过参数建立间接的联系。sincosrbyrax1.1.圆的参数方程圆的参数方程（1 1）轨迹问题轨迹问题（2 2）求最值）求最值4.4.应用应用5.5.小结小结2.2.参数方程与普通方程的概念参数方程与普通方程的概念3.3.参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化（1 1）圆心在原点的圆参数方程）圆心在原点的圆参数方程（2 2）圆心不在原点的圆的参数方程）圆心不在原点的圆的参数方程观察观察1即的函数都是

4、纵坐标、的横坐标点根据三角函数定义圆半径为的坐标为如果点,),(0yxPOPPryxPsincosryrx并且对于并且对于 的每一个允许值的每一个允许值,由方程组由方程组所所确定的点确定的点P(x,y),都在圆都在圆O上上.o思考思考1：圆心为原点，半径为圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程是什么呢的圆的参数方程是什么呢？-555-5rp0P(x,y)我们把方程组我们把方程组叫做圆心在原点、半径为叫做圆心在原点、半径为r的圆的参数方程，的圆的参数方程，是参数是参数.sincos11ryrx?,)()(),(:22221那么参数方程是什么呢为的圆的标准方程、半径为圆心为思考rbyaxrbaO观察

5、观察25-5-55v(a,b)oP(x,y)O1),(111yxP(a,b)r11111(,),(,)(,),O a brOrOP x yOP x y圆心为、半径为 的圆可以看作由圆心为原点、半径为 的圆平移得到 设圆上任意一点是圆 上的点平移得到的由平移公式 有又又所以所以sincosrbyraxbyyaxx11例例1 1、已知圆方程已知圆方程x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0，将它，将它化为参数方程。化为参数方程。解：解：x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化为标准方程，化为标准方程，（x+1x+1）2 2+（y-3y-3）2

6、2=1=1，参数方程为参数方程为sin3cos1yx(为参数为参数)练习：练习：1.填空：已知圆填空：已知圆O的参数方程是的参数方程是sin5cos5yx(0 2 )如果圆上点P所对应的参数 ，则点P的坐标是 35 5 5 32,22QQ如果圆上点 所对应的坐标是则点 对应的参数 等于235,25322cos2.()2sin.,2.,2.xyABCD 选择题：参数方程为参数 表示的曲线是圆心在原点 半径为 的圆圆心不在原点 但半径为 的圆不是圆以上都有可能A半径为表示圆心为参数方程、填空题sin2cos2)1(:3yx的圆，化为标准方程为化为参数方程为把圆方程0142)2(22yxyx（2，-

7、2）112222yxsin22cos21yx例3例例2.如图如图,已知点已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动点上的一个动点,点点A是是x轴上的定点轴上的定点,坐标为坐标为(12,0).当点当点P在圆在圆 上运动时上运动时,线段线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?xMPAyO解解:设设M的坐标为的坐标为(x,y),可设点可设点P坐标为坐标为(4cos,4sin)点点M的轨迹是以的轨迹是以(6,0)为圆心、为圆心、2为半径的圆。为半径的圆。由中点公式得由中点公式得:点点M的轨迹方程为的轨迹方程为x=6+2cosy=2sinx=4cosy=4sin 圆圆x2+y2=16的参数方程为的参

8、数方程为例例2.如图如图,已知点已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动点上的一个动点,点点A是是x轴上的定点轴上的定点,坐标为坐标为(12,0).当点当点P在圆在圆 上运动时上运动时,线段线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?解解:设设M的坐标为的坐标为(x,y),点点M的轨迹是以的轨迹是以(6,0)为圆心、为圆心、2为半径的圆。为半径的圆。由中点坐标公式得由中点坐标公式得:点点P的坐标为的坐标为(2x-12,2y)(2x-12)2+(2y)2=16即即 M的轨迹方程为的轨迹方程为(x-6)2+y2=4点点P在圆在圆x2+y2=16上上xMPAyO例例2.如图如图,已知点已知点P是圆

9、是圆x2+y2=16上的一个动点上的一个动点,点点A是是x轴上的定点轴上的定点,坐标为坐标为(12,0).当点当点P在圆在圆 上运动时上运动时,线段线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?例例3、已知点已知点P（x，y）是圆）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动上动点，求（点，求（1）x2+y2 的最值，的最值，（2）x+y的最值，的最值，（3）P到直线到直线x+y-1=0的距离的距离d的最值。的最值。解：圆解：圆x2+y2-6x-4y+12=0即（即（x-3）2+（y-2）2=1，用参数方程表示为用参数方程表示为sin2cos3yx由于点由于点P在圆上，所以可设在圆上，所以可设P（3

10、+cos，2+sin），），（1）x2+y2=(3+cos)2+(2+sin)2=14+4 sin+6cos=14+2 sin(+).13(其中其中tan =3/2)x2+y2 的最大值为的最大值为14+2 ，最小值为，最小值为14-2 。1313(2)x+y=3+cos+2+sin=5+sin（+）24 x+y的最大值为的最大值为5+，最小值为，最小值为5-。22(3)2)4sin(2421sin2cos3d显然当显然当sin（+）=1时，时，d取最大值，最取最大值，最小值，分别为小值，分别为 ，。4122221小小 结结:1、圆的参数方程、圆的参数方程2、参数方程与普通方程的概念、参数方程与普通方程的概念3、圆的参数方程与普通方程的互化、圆的参数方程与普通方程的互化4、求轨迹方程的三种方法：、求轨迹方程的三种方法：相关点点问相关点点问题（代入法）；题（代入法）；参数法；参数法；定义法定义法5、求最值、求最值例例4、将下列参数方程化为普通方程：将下列参数方程化为普通方程：sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2（1）（）（x-2）2+y2=9（2）y=1-2x2（-1x1）（3）x2-y=2（X2或或x-2）步骤：步骤：（1）消参；）消参；（2）求定义域。）求定义域。