材料力学扭转

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1、第三章第三章 扭转扭转 3.1 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3.3 3.3 纯剪切纯剪切3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形3.6 3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形3.7 3.7 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例实例实例 扭转受力简图扭转受力简图3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例2.扭转的变形特点扭转的变形特点：杆件的各任意两个横截面都发杆件的各任意两个横截面都发生

2、绕轴线的相对转动生绕轴线的相对转动。1.扭转的受力特点扭转的受力特点：杆件的两端作用两个大小相等、杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的一对力偶。方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的一对力偶。3.扭转角扭转角：任意两个横截面间相对转过的角度。任意两个横截面间相对转过的角度。扭转受力简图 扭转受力简图3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 本章主要研究圆截面等直杆的扭转，这是工程中本章主要研究圆截面等直杆的扭转，这是工程中最常见的情况，又是扭转中最简单的问题。最常见的情况，又是扭转中最简单的问题。以扭转变形为主的杆件常称为以扭转变形为主的杆件常称为轴轴。3.2 3.2

3、 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图1.1.外力偶矩的计算外力偶矩的计算直接计算直接计算3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 min/rKWm.NenP9549M1.1.外力偶矩的计算外力偶矩的计算按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算电机每秒输入功：电机每秒输入功：外力偶作功完成：外力偶作功完成：)N.m(1000kPW602nMWe已知：已知：轴转速轴转速n n 转转/分钟分钟输出功率输出功率P P 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩MMe e？3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图MeMe 在如图所示的传动

4、机构中，计算外力偶矩Me的公式为：min/rKWm.NenP9549M1.1.外力偶矩的计算外力偶矩的计算1 1马力马力735.5735.5瓦瓦 min/rm.NenP7024M马力2.2.扭矩扭矩3.23.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图0MxMeMeMeMe 在求出外力偶矩Me后，即可用截面法求横截面上的扭转内力扭矩。由平衡方程:求得：eMT T T称为称为A-AA-A截面上的扭矩，它是截面上的扭矩，它是，两部分在两部分在A-AA-A截面上相互作截面上相互作用的分布内力系的用的分布内力系的合力偶矩合力偶矩。扭矩扭矩T T的方向？的方向？3.2 外力偶矩的计算外力偶

5、矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图扭矩扭矩T的符号规定的符号规定mITImIITTmITImIITT右手螺旋法则：右手螺旋法则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3.3.扭矩图扭矩图扭转图扭转图当作用于轴上的外力偶多于两个时，为了表示各横截当作用于轴上的外力偶多于两个时，为了表示各横截面上扭矩沿轴线变化的情况，在图中以面上扭矩沿轴线变化的情况，在图中以横轴表示横截面的位置横轴表示横截面的位置，纵轴表示相应截面上的扭矩纵轴表示相应截面上的扭矩，这种图线称为

6、，这种图线称为扭矩图扭矩图。MeDABCDMeAMeBMeCn实例实例：一传动轴如图所示，其转速一传动轴如图所示，其转速 n=300 r/min，主动轮，主动轮A输入的功率为输入的功率为PA=500 kW。若不计轴承摩擦所耗的功率，三若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为个从动轮输出的功率分别为PB=PC=150 kW及及PD=200 kW。试做扭矩图。试做扭矩图。3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图ABCDMeAMeBMeCnMeDABCDMeAMeBMeCMeD解：1.计算外力偶矩 min/rKWm.NenP9549M计算公式3.2 外力偶矩的计算外

7、力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图m.kN9.15MeAm.kN78.4MMeCeBm.kN37.6MeD2.利用截面法计算各段内的扭转利用截面法计算各段内的扭转ABCD22BCxMeAMeBMeCMeDMeBMeCT2CACA段：段：假设T2为正，由平衡方程0MMTeCeB2m.kN56.9MMTeCeB2结果为负，说明T2为负值扭矩。3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图m.kN37.6T3ABCD1133MeAMeCMeDMeBT1MeBT3MeDBCBC段：段：ADAD段：段：m.kN78.4T13.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图

8、ABCDMeAMeCMeDMeB3.作扭矩图+4.789.566.37xT/kN.mmkN56.9Tmax从图可见，最大扭矩从图可见，最大扭矩在在 CA段内。段内。与例与例3.13.1比较，并注比较，并注意传动轴上主动轮和从意传动轴上主动轮和从动轮安置的位置不同，动轮安置的位置不同，轴所承受的最大扭矩之轴所承受的最大扭矩之不同不同！3.3 纯剪切纯剪切薄壁圆筒的薄壁圆筒的扭转扭转目的：研究切应研究切应力和切应变的力和切应变的规律以及两者规律以及两者之间的关系之间的关系一、薄壁圆筒扭转时的切应力薄壁圆筒扭转时的切应力图 3.7图图3.7a3.7a所示为一等所示为一等厚薄壁圆筒，当空厚薄壁圆筒，当

9、空心圆筒的壁厚心圆筒的壁厚与与平均直径平均直径D D（即（即2 2r r）之比之比/D1/201/20时时称为称为薄壁圆筒薄壁圆筒.什么是薄壁圆筒？3.3 纯剪切纯剪切2 rr xM0eM2 rr 扭转实验扭转实验：受扭前在表面上用圆周线和纵向线画成方格，扭转受扭前在表面上用圆周线和纵向线画成方格，扭转变形后由于截面变形后由于截面q-q对截面对截面p-p的相对转动，使方格的左右两的相对转动，使方格的左右两边发生相对错动，但边发生相对错动，但圆筒沿轴线及周线的长度都没有改变圆筒沿轴线及周线的长度都没有改变。实验表明实验表明：圆筒圆筒横截面横截面和和包含轴线的纵向截面包含轴线的纵向截面上都没有正应

10、力上都没有正应力，横截面横截面上便只有切于截面的切应力上便只有切于截面的切应力，它组成与外加扭转力偶，它组成与外加扭转力偶矩矩Me相平衡的内力系。相平衡的内力系。横截面上内力系对横截面上内力系对x轴的轴的力矩应为力矩应为：由由q-q截面以左的部分圆筒的平衡方程截面以左的部分圆筒的平衡方程e2M2 r3.3 纯剪切纯剪切dy dxdx dy 二、切应力互等定理二、切应力互等定理如图如图3.7d所示，在由边长所示，在由边长dx,dy和和组成的单元体中，左组成的单元体中，左右侧面上数值相等、方向相反的一对切应力组成的力右侧面上数值相等、方向相反的一对切应力组成的力偶与上下两个侧面上的一对切应力组成的

11、力偶相平衡偶与上下两个侧面上的一对切应力组成的力偶相平衡，即，即：3.7(d)3.7(d)3.7(d)3.7(d)3.3 纯剪切纯剪切切应力互等切应力互等定理（或称定理（或称切应力双生切应力双生定理）定理）在相互垂直的两个平面上，切应力必在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且然成对出现，且数值相等数值相等；两者都垂直；两者都垂直于两个平面的交线，于两个平面的交线，方向则共同指向或方向则共同指向或共同背离这一交线共同背离这一交线。3.7(d)3.7(d)3.3 纯剪切纯剪切rl三、切应变三、切应变 剪切胡克定律剪切胡克定律 在图在图3.7d3.7d所示的单元体中，上、下、左、右所示的单元

12、体中，上、下、左、右四个侧面上，只有切应力并无正应力，这种情况四个侧面上，只有切应力并无正应力，这种情况称为称为纯剪切纯剪切。如图如图3.7e3.7e所示，纯剪切单元体的相对两侧面所示，纯剪切单元体的相对两侧面将发生微小的相对错动，原来互相垂直的两个棱将发生微小的相对错动，原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量边的夹角改变了一个微量，称为，称为切应变切应变。由图由图3.7b3.7b可知：可知：其中，为圆筒两端的相对扭转角为圆筒两端的相对扭转角。3.3 纯剪切纯剪切三、切应变三、切应变 剪切胡克定律剪切胡克定律1.由试验可知：在切应力低于材料的剪切比例极限时，扭转角 与扭转力偶矩Me成正比。

13、2.切应力与Me成正比。3.切应变与 成正比。剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变比例极限时，切应变与切应力与切应力成正比。成正比。GG为比例常数，称为材料的切变模量。3.3 纯剪切纯剪切弹弹性性常常量量弹性模量E泊松比切变模量GEG2 1至此，已经引入了三个弹性常量：至此，已经引入了三个弹性常量：可见，三个常量中，只要知道其中两个，可见，三个常量中，只要知道其中两个，即可确定另一个。即可确定另一个。图 3.83.3 纯剪切纯剪切四、剪切应变能四、剪切应变能 如图如图3.83.8所示，从薄壁圆所示，从薄壁圆筒中取出受纯剪切的单元体筒中取出受纯剪切的单

14、元体，由于变形的相对性，可设，由于变形的相对性，可设单元体的左侧面固定单元体的左侧面固定。10dxddydzdW右侧面上的剪力为右侧面上的剪力为dydz，由于剪切变形，右侧面向下错由于剪切变形，右侧面向下错动的距离为动的距离为dx。于是，剪力。于是，剪力dydz在位移在位移ddxddx上完成的功应上完成的功应是是dydzdydz ddx ddx。在应力从零。在应力从零开始逐渐增加的过程，右侧面开始逐渐增加的过程，右侧面上剪力总共完成的功应为：上剪力总共完成的功应为：3.3 纯剪切纯剪切1100dVdWdydz d dxddV 10dVvddV 1v2单元体内储存的应变能等于切应力所完成的功，即

15、：单位体积内的剪切应变能密度为单位体积内的剪切应变能密度为：在图在图3.83.8所示的所示的-曲线中，当应曲线中，当应力小于剪切比例极限力小于剪切比例极限时，时，与与的关系的关系为斜直线为斜直线剪切胡克定律：G2211vG22G2补充实例补充实例解解:(1)(1)计算外力偶矩计算外力偶矩 传动轴传动轴,已知转速已知转速 n=300r/min,n=300r/min,主动轮主动轮A A输入功率输入功率P PA A=45kW,=45kW,三个从动轮输出功率分别为三个从动轮输出功率分别为 P PB B=10kW,P=10kW,PC C=15kW,=15kW,P PD D=20kW.=20kW.试绘轴的

16、扭矩图试绘轴的扭矩图.9549/eMP n由公式由公式补充练习补充练习(2)(2)计算扭矩计算扭矩(3)(3)扭矩图扭矩图补充练习补充练习max1432TN m 传动轴上主、从传动轴上主、从动轮安装的位置不动轮安装的位置不同，轴所承受的最同，轴所承受的最大扭矩也不同大扭矩也不同！BMCMA AB BC CD DAMDM31432ATMN m A AAM3T318N318N.m m795N795N.m m1432N1432N.m m3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力图 3.9 综合利用综合利用几几何何、物理物理和和静力静力等三方面的关系等三方面的关系，研究横截面为，研究横截面为圆形的直杆受

17、扭圆形的直杆受扭时的应力时的应力1.1.变形几何关系变形几何关系 在扭转力偶矩作用在扭转力偶矩作用下，得到与薄壁圆筒受下，得到与薄壁圆筒受扭时相似的现象，即扭时相似的现象，即：各圆周线绕轴线相对地旋转了一个角度，但圆周线的大小、形状以及相邻圆周线间的距离保持不变。在小变形的情况下，纵向线仍近似地是一条直线，只是倾斜了一个微小的角度。变形前表面上的方格，变形后错动成菱形。3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力aaRd 图图 3.93.9圆轴扭转的平面假设圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转变圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持

18、为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变。为直线；且相邻两截面间的距离不变。表示圆轴两端截面的相对转角，称为扭转角。（图3.9a）图3.9b表示用相邻横截面p-p和q-q从轴中取出长为dx的微段并放大。根据平面假设，横截面q-q像刚性平面一样，相对于p-p绕轴线旋转了一个角度d ，半径Oa转到了Oa。表面方格abcd的ab边相对于cd边发生了微小的错动aa直角adc改变量为aadRdxad（为圆截面边缘上a点的切应变）3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力ddxG同理，可以求得距圆心为同理，可以求得距圆心为 处的切应变为处的切应变为横截面上任意点的切应变与该点到圆横

19、截面上任意点的切应变与该点到圆心的距离心的距离成正比。成正比。2.物理关系物理关系由剪切胡克定律求得横截面上距圆心由剪切胡克定律求得横截面上距圆心为为处的切应力为处的切应力为dGdx横截面上任意点的切横截面上任意点的切应力与该点到圆心的应力与该点到圆心的距离距离成正比成正比。图 3.10由切应力互等定理可知，在纵向截面和横截面上，沿半径方向的切应力分布情况如图3.10所示。3.静力关系静力关系3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力ATdA2AAdTdAGdAdx2pAIdA3.113.11OrdAdA 在如图在如图3.113.11所示的横截面内所示的横截面内，微分面积，微分面积dAdA=dd

20、dd上的微上的微内力对圆心的力矩为内力对圆心的力矩为dA，对，对其进行积分得到横截面上的内力其进行积分得到横截面上的内力系对圆心的力矩，即截面上的扭系对圆心的力矩，即截面上的扭矩：矩：（T由截面左侧或右侧的外由截面左侧或右侧的外力偶矩计算得到力偶矩计算得到截面法截面法）以（3.7）式代入,得dGdxpTI横截面对圆心横截面对圆心O O点的极惯点的极惯性矩（截面二次极矩）性矩（截面二次极矩）横截面上距圆心为横截面上距圆心为的任意点的切应力的任意点的切应力3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力maxpTRImaxtTW在圆截面边缘上在圆截面边缘上，为最大值为最大值R，得最大切应力，得最大切应力p

21、tIWR抗扭截面系数公式适用公式适用条件条件1.等直圆杆只有横截面不变的圆轴，才满足平面假设的要求。2.最大切应力低于剪切比例极限满足胡克定律的要求。如何计算截面极惯性矩和抗扭截面系数？maxD/2OTp442R23A00RDIdAdd232 t33pIRDWR216p2D/223A0d/24444IdAddDDd13232 t3p4IDW(1)d/DR16maxD/2OTd/23.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力实心轴计算截面极惯性矩和计算截面极惯性矩和抗扭截面系数抗扭截面系数空心轴3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力圆轴扭转的圆轴扭转的强度条件强度条件？maxmaxtTW1.对于等

22、截面杆，根据轴的受力情况或由扭转图，求出对于等截面杆，根据轴的受力情况或由扭转图，求出最大截面扭矩及最大切应力，限制最大切应力不超过许最大截面扭矩及最大切应力，限制最大切应力不超过许用应力，即为用应力，即为强度条件强度条件。2.对于变截面杆，如阶梯轴、圆锥形杆等，需综合考虑截面上的对于变截面杆，如阶梯轴、圆锥形杆等，需综合考虑截面上的扭矩和抗扭截面系数，求出最大的切应力。扭矩和抗扭截面系数，求出最大的切应力。3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力实例实例补补充充实实例例 实心圆轴和空心圆轴的材料、扭转力偶矩实心圆轴和空心圆轴的材料、扭转力偶矩Me e和长度和长度l均相等，最大剪应力也相等。若

23、空心圆轴的内外径之比为均相等，最大剪应力也相等。若空心圆轴的内外径之比为 =0.8=0.8 ，试求空心圆截面的外径，试求空心圆截面的外径D2和实心圆截面直径和实心圆截面直径d1之之比及两轴的重量比。比及两轴的重量比。ld2D2ld1(1)(2)解：1.求求D2/d1=?2max1max已知：已知：em ax 1t 1em ax 2t 2MWMWt 1t 2WW3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力实例实例31t1dW16342t2DW11633412dD11616抗扭截面系数抗扭截面系数的计算公式的计算公式实心轴空心轴194.18.0113412dD2.求求重量之比？重量之比？3.4 圆轴扭

24、转时的应力圆轴扭转时的应力实例实例 因两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴因两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴的横截面积之比的横截面积之比512.0)8.01(194.1)1(4)(4222122221222212dDddDAA 由于由于实心轴实心轴横截面上的切应力沿半径方向按线性规横截面上的切应力沿半径方向按线性规律分布，圆心附近的应力很小，材料没有充分发挥作用。律分布，圆心附近的应力很小，材料没有充分发挥作用。如果将轴心附近的材料向边缘移置，使其成为如果将轴心附近的材料向边缘移置，使其成为空心轴空心轴，就会增大横截面的极惯性矩和抗扭截面系数，提高轴的就会增大横截面的极

25、惯性矩和抗扭截面系数，提高轴的强度并节省材料用量强度并节省材料用量！结结论论！3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形pdTGIdxll0pTddxGIpTddxGI图图 3.93.91.1.扭转角扭转角扭转变形扭转变形的标志是两个横截面间绕的标志是两个横截面间绕轴线的相对转角，亦即扭转角轴线的相对转角，亦即扭转角。pTlGI由公式（由公式（3.83.8）表示相距为表示相距为dx的两个横截的两个横截面之间的相对转角面之间的相对转角沿轴线沿轴线x积分积分简化！简化！条件条件：在两截面之间在两截面之间T的的值不变，且轴为值不变，且轴为等直杆等直杆GIp称为圆轴的称为圆轴的抗扭刚度抗扭刚度3

26、.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形ni ii 1piTlGIpdTdxGI 如果轴在各段内的如果轴在各段内的T不相同，或各段内的不相同，或各段内的Ip不相同，如阶梯不相同，如阶梯轴。如何计算轴两端截面之间的相对扭转角？轴。如何计算轴两端截面之间的相对扭转角？分段计算，分段计算，代数相加！代数相加！2.2.单位长度扭转角单位长度扭转角 轴类零件过大的扭转变形会降低加工精度，引起扭转振动轴类零件过大的扭转变形会降低加工精度，引起扭转振动等，影响正常的加工，因此，对轴类零件除要求有足够的强度等，影响正常的加工，因此，对轴类零件除要求有足够的强度外，一般还要限制它的扭转变形。外，一般还要限

27、制它的扭转变形。为消除长度的影为消除长度的影响，用扭转角对长度响，用扭转角对长度的变化率来表示扭转的变化率来表示扭转变形的程度：变形的程度：pTGIl 轴长轴长l范围范围内内T为常量为常量且圆轴的横且圆轴的横截面不变截面不变单位：单位：rad/m3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 maxpT180mGI maxpTGI3.3.扭转刚度条件扭转刚度条件工程应用中工程应用中圆轴扭转的圆轴扭转的强度条件强度条件？maxmaxtTW3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形-补充实例补充实例补充实例补充实例：如右图所示的传：如右图所示的传动轴，动轴，n=500r/minn=500r

28、/min，N1=500=500马力，马力，N2=200=200马力，马力，N3=300=300马力，已知马力，已知=70MPa=70MPa，=1=1/m/m，G=80GPa=80GPa。试。试确定确定ABAB和和BCBC段直径。段直径。解解：一、计算外力偶矩一、计算外力偶矩（单位：（单位：NmNm）1eANM70247024n2eBNM70242809.6n3eCNM70244214.4n补充实例补充实例3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形-补充实补充实例例补充实例补充实例二、二、计算直径计算直径AB段：段：maxmaxmax3t1T16TWd强度条件强度条件 max331616T

29、16 7024d8070 10(mm)max41T180dG32刚度条件刚度条件max44129232T18032 7024 180d84.6G80 101(mm)AB段直径段直径d1取取84.684.6mmmm3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形-补充实例补充实例补充实例补充实例 同理，对于同理，对于BC段：段：由扭转强度条件得由扭转强度条件得由扭转刚度条件得由扭转刚度条件得BC段直径段直径d2取取74.574.5mmmm672d5.742d(mm)(mm)3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形-补充实例补充实例补充实例补充实例：两端固定的圆截面杆，在截面：两端固定的圆

30、截面杆，在截面 处受一个扭处受一个扭转力偶矩转力偶矩m 的作用，如图所示。已知杆的抗扭刚度的作用，如图所示。已知杆的抗扭刚度 GIP，试求，试求杆两端的支反力偶矩。杆两端的支反力偶矩。CmabABl123.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形-补充实例补充实例ACB12mmAmB解：解：一、拆除直杆两端的约束，代之以一、拆除直杆两端的约束，代之以支反力偶，并建立平衡方程支反力偶，并建立平衡方程0mmmBA为一次超静定问题，须建立一个为一次超静定问题，须建立一个补充方程补充方程。0mx3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形-补充实例补充实例二、二、补充方程补充方程CmabABl

31、12ACBC变形协调条件变形协调条件:C截面分别截面分别相对于两固定端相对于两固定端A和和B的扭转的扭转角相等。角相等。a变形协调方程变形协调方程ACBCb物理方程物理方程PBPBCGIbmGIbT 2PAPACGIamGIaT 13.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形-补充实补充实例例ABm am bABm am b0mmmBAc由变形协调方程和物理方程，得到补充方程由变形协调方程和物理方程，得到补充方程三、三、联立静力平衡方程和联立静力平衡方程和补充方程求解补充方程求解AmbmlBmaml3.6 3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形(a)PRdF如

32、何分析螺旋弹簧如何分析螺旋弹簧的应力和变形的应力和变形？1.1.当螺旋角很小时，如当螺旋角很小时，如5 5，便可，便可省略其影响，近似认为，簧丝的横截面省略其影响，近似认为，簧丝的横截面与弹簧轴线（与弹簧轴线（F F方向）在同一平面内方向）在同一平面内（这种弹簧一般称为（这种弹簧一般称为密圈螺旋弹簧密圈螺旋弹簧）-便于计算横截面上的内力系便于计算横截面上的内力系。螺旋弹簧簧丝的轴线是一条空间螺旋线，螺旋弹簧簧丝的轴线是一条空间螺旋线，应力和变形的精确计算比较复杂应力和变形的精确计算比较复杂！问题的简化问题的简化：2.2.当簧丝横截面的直径当簧丝横截面的直径d远小于弹簧圈的平均直径远小于弹簧圈的

33、平均直径D时，可以略时，可以略去簧丝曲率的影响，近似地看成直杆去簧丝曲率的影响，近似地看成直杆便于利用直杆的扭转公式便于利用直杆的扭转公式计算应力计算应力。3.6 3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形FsFFDT212Fs4FAd一、弹簧横截面上的应力一、弹簧横截面上的应力(a)RdPPQT(b)FsTFPFD/21).1).简化横截面上的内力系并计算切应力简化横截面上的内力系并计算切应力简化为通过截面形心的剪简化为通过截面形心的剪力力Fs和扭矩和扭矩T。由平衡方。由平衡方程得：程得：2max3tT8FDWd与剪力与剪力Fs对应的切应力，均对应的切应力，均布于横

34、截面上（布于横截面上（如图如图3.16c3.16c）与扭矩与扭矩T对应的切应力，等同于轴线为直对应的切应力，等同于轴线为直线的圆轴，求得最大值（图线的圆轴，求得最大值（图3.16d3.16d）3.6 3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形1max12max2334F8FD8FDd1ddd2Dmax38FDdmax334c10.615 8FD8FDk4c4cdd2).2).横截面上的最大切应力横截面上的最大切应力簧丝横截面上任意点处的总应力是簧丝横截面上任意点处的总应力是剪切剪切和和扭转扭转两种切应力的矢量两种切应力的矢量和。总应力的最大值位于靠近轴线的内侧点和。总

35、应力的最大值位于靠近轴线的内侧点A处，其值为处，其值为：当当D/d=10D/d=10时时不考虑剪切，只不考虑剪切，只考虑扭转的影响考虑扭转的影响3).3).修正公式修正公式a.a.簧丝曲率较大时簧丝曲率较大时非直杆非直杆的非均匀分布的非均匀分布b.b.3.6 3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形Dcd4c10.615k4c4c maxmax334c10.615 8FD8FDk4c4cdd4).4).簧丝的强度条件簧丝的强度条件式中式中c称为弹簧指数称为弹簧指数K是一个修正系数，称为曲是一个修正系数，称为曲度系数，按照度系数，按照c的值查表的值查表弹簧材料一般是弹

36、簧钢，其许用弹簧材料一般是弹簧钢，其许用切应力的数值很高。切应力的数值很高。1WF23.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形二、弹簧的变形二、弹簧的变形FFo弹簧的变形是指弹簧在轴向压力（或弹簧的变形是指弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，轴线方向的总缩短拉力）作用下，轴线方向的总缩短（或伸长）量（或伸长）量。试验表明：试验表明：在弹性范围内，压力在弹性范围内，压力F与与变形变形成正比，即成正比，即F与与的关系是一条的关系是一条斜直线，如右图所示。斜直线，如右图所示。当外力从零增加到最终值时，它所当外力从零增加到最终值时，它所作的功等于斜直线下的面积，即：作的功等于斜直线下的面积，即：外力做功外力做

37、功 3.6 3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形44p1FDT16FD2dId32222228128F Dv2GGdVVv dV弹簧内的应变能弹簧内的应变能在簧丝横截面上，距圆心为在簧丝横截面上，距圆心为的任意点（的任意点（图图3.17c3.17c）的）的扭转切应力为：扭转切应力为：（直杆截面扭转切（直杆截面扭转切应力公式！）应力公式！）单位体积内的应变能单位体积内的应变能:弹簧的应变能：弹簧的应变能：3.6 3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形23414F D nF2Gd33448FD n64FR nGdGd4433GdGdC8

38、D n64R nFC22232d/2n D3284V000128F D4F D nVv dVd ddsGdGd W=V引入记号：引入记号：C代表弹簧抵抗变形的能力，称为弹簧刚度。代表弹簧抵抗变形的能力，称为弹簧刚度。3.7 3.7 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念一、试验现象：一、试验现象：横横截面为矩形的杆，截面为矩形的杆，在扭转变形后在扭转变形后横向横向周界线周界线变成了变成了空间空间曲线曲线。表明变形后杆件的横截面表明变形后杆件的横截面已不再保持为平面，这种已不再保持为平面，这种现象称为现象称为翘曲翘曲。平面假设平面假设对对非圆截面杆非圆截面杆的扭转已不再适用的扭转已不再适用！3

39、.7 3.7 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念二、非圆截面杆件的扭转分类二、非圆截面杆件的扭转分类1 1）.自由扭转自由扭转等直杆两端受扭转力偶等直杆两端受扭转力偶作用，且翘曲不受任何限制的情况。杆作用，且翘曲不受任何限制的情况。杆件各横截面的翘曲程度相同，纵向纤维件各横截面的翘曲程度相同，纵向纤维的长度无变化，故横截面上的长度无变化，故横截面上没有正应力没有正应力而只有切应力而只有切应力。2 2）.约束扭转约束扭转由于约束条件或由于约束条件或受力条件的限制，受扭杆件各横受力条件的限制，受扭杆件各横截面的翘曲程度不同，相邻两截截面的翘曲程度不同，相邻两截面间纵向纤维的长度发生改变，面间

40、纵向纤维的长度发生改变，于是横截面上于是横截面上既有切应力还有正既有切应力还有正应力应力的作用。的作用。自由扭转自由扭转约束扭转约束扭转 3.7 3.7 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念max2Thb三、两个结论三、两个结论四、矩形截面杆的扭转四、矩形截面杆的扭转根据切应力互等定理，可以证明根据切应力互等定理，可以证明：a.a.横截面上边缘各点的切应力都与截面边界相切横截面上边缘各点的切应力都与截面边界相切（图（图3.203.20）。b.b.横截面上凸角处的切应力等于零（图横截面上凸角处的切应力等于零（图3.213.21）。）。弹性力弹性力学的相学的相关结论关结论矩形截面杆受扭后横截面

41、边缘各点的切应矩形截面杆受扭后横截面边缘各点的切应力形成与边界相切的顺流；四个角点上切力形成与边界相切的顺流；四个角点上切应力等于零；最大切应力发生于矩形长边应力等于零；最大切应力发生于矩形长边的中点，且由下式计算：的中点，且由下式计算：式中，式中，是与比值是与比值h h/b b有关的系数，由表中查出。有关的系数，由表中查出。3.7 3.7 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念3Tl1Gh31max3tTlTlG hbGI3tGIG hbmax2T1h3五、狭长矩形截面杆的扭转五、狭长矩形截面杆的扭转-(-(h h/b b)10)10短边中点的切应力是短边上的最大短边中点的切应力是短边上的最大切应力，由下式计算：切应力，由下式计算：杆件两端相对扭转角的计算公式杆件两端相对扭转角的计算公式：-也称为杆件的抗扭刚度也称为杆件的抗扭刚度作业作业习题：习题：3.13.1，3.43.4，3.83.83.113.11，3.253.25