2022年人教版新教材高二数学第七章教案全集rar人教版高二数学76圆的方程教案

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1、7.6 圆的方程（1）教学目的：1、使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据圆心、半径准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径2、能根据不同的条件，利用待定系数法求圆的标准方程3、能运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题教学重点：圆的标准方程的推导步骤；根据具体条件正确写出圆的标准方程教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题王新敞教具：幻灯教学过程：一、复习引入：1、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆2、求曲线方程的一般步骤为：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件 P的点 M的集合；(可以省略，直接列出

2、曲线方程)（3）用坐标表示条件P（M），列出方程0),(yxf;（4）化方程0),(yxf为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明)二、讲解新课：1、建立圆的标准方程的步骤：建系设点；写点集；列方程；化简方程王新敞2、圆的标准方程：222)()(rbyax已知圆心为),(baC，半径为 r，如何求的圆的方程？运用上节课求曲线方程的方法，从圆的定义出发，正确地推导出：222)()(rbyax这个方程叫做圆的标准方程若圆心在坐标原点上，这时0ba，则圆的方程就是222ryx3、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径圆心和半径

3、分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要rba,三个量确定了且 r 0，圆的方程就给定了。这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件，确定rba,，可以根据条件，利用待定系数法来解决三、讲解范例：例 1求以 C(1,3)为圆心，并且和直线0743yx相rMC(a,b)xOy3x-4y-7=0rMC(1,3)xOy精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 10 页切的圆的方程解：已知圆心坐标C(1,3)，故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程。因为圆 C和直线0743yx相切，所以半径 r 就等于圆心 C到这条直线的距离，根据点到直线的距离公式，得516)4(3|73413|

4、22r因此，所求的圆的方程是25256)3()1(22yx例 2 已知圆的方程222ryx，求经过圆上一点),(00yxM的切线方程解：如图，设切线的斜率为k，半径 OM 的斜率为1k，因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是11kk001xyk00yxk经过点 M的切线方程是)(0000 xxyxyy，整理得202000yxyyxx因为点),(00yxM在圆上，所以22020ryx，所求切线方程是200ryyxx点评：用斜率的知识来求切线方程，这就是“代数方程”：即设出圆的切线方程，将其代入到圆的方程，得到一个关于x或y的一元二次方程，利用判别式进行求解，但此法不如用几何方法简练实用，几何方法就

5、是利用圆心到直线的距离等于半径(本题利用了圆心到切点的距离为半径的知识)，由此确定了斜率的，从而得到点斜式的切线方程，以上两种方法只能求出存在斜率的切线，若斜率不存在，则要结合图形配补四、课堂练习：P77 T1、2、3、4 1、求下列各圆的标准方程：（1）圆心在xy上且过两点（2，0），（0，-4）；（2）圆心在直线02yx上，且与直线01yx切于点（2，-1）（3）圆心在直线835yx上，且与坐标轴相切分析：从圆的标准方程222)()(rbyax可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定rba,三个参数MrxOy精选学习资料 -名师归纳总结-第 2 页，共 10 页（1）所求圆的方程为10

6、)3()3(22yx（2）所求圆的方程为：2)2()1(22yx（3）所求圆的方程为：16)4()4(22yx或1)1()1(22yx2、已知圆2522yx，求：（1）过点 A（4，-3）的切线方程（2）过点 B（-5，2）的切线方程分析：求过一点的切线方程，当斜率存在时可设为点斜式，利用圆心到切线的距离等于圆的半径列出方程，求出斜率k的值，斜率不存在时，结合图形验证；当然若过圆上一点的切线方程，可利用公式200ryyxx求得解：（1）点A（4，-3）在圆2522yx上过点 A的切线方程为：02534yx（2）点 B（-5，2）不在圆2522yx上，当过点 B（-5，2）的切线的斜率存在时，设

7、所求切线方程为)5(2xky，即025kykx由51252kk，得2021k王新敞此时切线方程为：01452021yx当过点 B（-5，2）的切线斜率不存在时，结合图形可知x=-5，也是切线方程综上所述，所求切线方程为：01452021yx或 x=-5 五、小结：圆的标准方程的概念及推导；如何求圆的标准方程；待定系数法六、课后作业：P81 T1、2 精选学习资料 -名师归纳总结-第 3 页，共 10 页7.6 圆的方程（2）教学目的：1、掌握圆的一般方程及一般方程的特点；2、能将圆的一般方程化为圆的标准方程，进而求出圆心和半径；3、能用待定系数法由已知条件导出圆的方程；4、渗透数形结合、化归与

8、转化等数学思想方法，激励学生大胆创新、勇于探索教学重点：圆的一般方程022FEyDxyx的形式特征教学难点：对圆的一般方程022FEyDxyx的认识，直线与圆的位置关系教具：幻灯教学内容及过程：一、复习引入：1、圆的定义：2、求曲线方程的一般步骤为：3、建立圆的标准方程的步骤：建系设点；写点集；列方程；化简方程王新敞4、圆的标准方程：222)()(rbyax圆心为),(baC，半径为 r，圆心在坐标原点上，这时0ba，则圆的方程就是222ryx5、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要rba,三个量确定了且 r 0，圆的方程就给定

9、了。这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件，确定rba,，可以根据条件，利用待定系数法来解决二、讲解新课：圆的一般方程：将圆的标准方程222)()(rbyax的展开式为：0)(2222222rbaayaxyx取222,2,2rbaFbEaD得rMC(a,b)xOy精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 10 页022FEyDxyx再将上方程配方，得44)2()2(2222FEDEyDx不难看出，此方程与圆的标准方程的关系（1）当0422FED时，表示以（-2D，-2E）为圆心,FED42122为半径的圆；（2）当0422FED时，方程只有实数解2Dx，2Ey，即只表示一个点（-2

10、D，-2E）（3）当0422FED时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程022FEyDxyx表示的曲线不一定是圆只 有 当0422FED时，它 表 示 的 曲 线 才 是 圆，我 们 把 形 如022FEyDxyx的表示圆的方程称为圆的一般方程圆的一般方程与圆的标准方程比较，圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：（1）2x和2y 的系数相同，且不等于0；（2）没有xy这样的二次项但要注意：以上两点是二元二次方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的必要条件，但不是充分条看来，要想求出圆的一般方程，只要根据已知条件确定三个系数FED,就

11、可以了三、讲解范例：例 1 求过三点)2,4(),1,1(),0,0(NMO的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程解：设所求的圆的方程为：022FEyDxyx精选学习资料 -名师归纳总结-第 5 页，共 10 页得到关于FED,的三元一次方程组02024020FEDFEDF解此方程组，可得：0,6,8FED所求圆的方程为：06822yxyx542122FEDr；32,42FD得圆心坐标为（4，-3）例 2 已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为21的点

12、的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出解：在给定的坐标系里，设点),(yxM是曲线上的任意一点，也就是点),(yxM属于集合21|AMOMMP即21)3(2222yxyx,41)3(2222yxyx整理得：03222xyx所求曲线方程即为：03222xyx将其左边配方，得4)1(22yx此曲线是以点 C（-1，0）为圆心，2 为半径的圆.如右上图所示例3 求 圆 心 在 直 线x-y-4=0上，且 经 过 两 圆03422xyx和03422yyx的交点的圆的方程解：设经过两已知圆的交点的圆的方程为)1(0)3

13、4(342222yyxxyx则其圆心坐标为)12,12(所求圆的圆心在直线04yx上，31,041212所求圆的方程为032622yxyx说明：此题也可先求出两圆的交点，然后用待定系数法求出圆的方程四、课堂练习：A(3,0)MxOy精选学习资料 -名师归纳总结-第 6 页，共 10 页1、下列方程各表示什么图形？（1）022yx（表示一个点 O（0，0）（2）064222yxyx（表示以点（1，-2）为圆心，11为半径的圆）（3）02222baxyx（表示以(-a,0)为圆心，22ba为半径的圆）2、求下列各圆的半径和圆的坐标：(1)0622xyx（圆心为（3，0），半径为 3）(2)0222

14、bxyx（圆心为（0，-b），半径为 b|）（3）03322222aayaxyx（圆心为(a,3a),半径为 a）五、小结：1、对方程022FEyDxyx的讨论(什么时候可以表示圆)2、方程022FEyDxCyBxyAx表示一个圆的充要条件3、与标准方程的互化4、用待定系数法求圆的方程王新敞5、圆与圆的位置关系六、课后作业：P82 T5、6 7.6 圆的方程（3）教学目的：1、理解圆的参数方程2、熟练求出圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程3、理解圆心不在原点的圆的参数方程5、能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程6、可将圆的参数方程化为圆的普通方程教学重点：圆的参数方程(分圆心在原点与不

15、在原点的两种情形)教学难点：参数方程，参数的概念教具：幻灯教学内容及过程：一、复习引入：1、圆的定义：2、求曲线方程的一般步骤为：3、圆的标准方程：222)()(rbyax圆心为),(baC，半径为 r，若圆心在坐标原点上，这时0ba，则圆的方程就是222ryx王新敞4、圆的一般方程：只有当0422FED时，形如022FEyDxyx精选学习资料 -名师归纳总结-第 7 页，共 10 页的方程称为圆的一般方程（1）当0422FED时，表示以（-2D，-2E）为圆心,FED42122为半径的圆；（2）当0422FED时，方程只表示一个点（-2D，-2E）（3）当0422FED时，方程没有实数解，因

16、而它不表示任何图形二、讲解新课：1、圆心为原点半径为r 的圆的参数方程如图所示在圆222ryx上，对于的每一个允许值，由方程组sincosryrx，所确定的点P(yx,)都在圆222ryx上方程组叫做圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程，为参数2、圆心为),(ba原点半径为 r 的圆的参数方程把圆心为原点 O，半径为 r 的圆按向量),(bav平移，可得到圆心为),(1baO，半径为 r 的圆如图，设圆1O 上任意一点 P(x,y)，它是圆 O 上一点),(111yxP按平移向量),(bav平移后得到的，则根据平移公式，有byyaxx11，由于sin,cos11ryrx，故sincosrbyr

17、ax这就是圆心为),(1baO，半径为 r 的圆的参数方程3、参数方程的意义：一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某个变数 t 的函数，即),(),(tgytfx并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M（yx,)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，其中联系yx,之间关系的变数叫做参变数，简称参数，它可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数点评：参数方程的特点是在于没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关PxyrxOyvbaPxyrxOy精选学习资料 -名师归纳总结-第 8 页，共 10 页系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之

18、间的关系三、讲解范例：例如图所示，已知点 P是圆1622yx上的一个动点，点 A是 x轴上的定点，坐标为（12，0）.点 P在圆上运动时，线段 PA的中点 M的轨迹是什么？分析：应先根据线段中点坐标公式特点M的横、纵坐标表示出来，然后判断其关系，从而确定其曲线类型解：设点 M的坐标是(yx,)圆1622yx的参数方程为：,sin4,cos4yx又点 P在圆上，设 P的坐标为(4cos,4sin)由线段中点坐标公式可得点M的轨迹的参数方程为：.sin2,cos26yx从而判断线段 PA的中点 M的轨迹是以点（6，0）为圆心、2 为半径的圆四、课堂练习：课本 P81练习1，21、填空：已知圆 O的

19、参数方程是.sin5,cos5yx(0 2）(1)如果圆上点 P所对应的参数=35，则点 P的坐标是（235,25）（2）如果圆上点 Q的坐标是（-235,25），则点 Q所对应的参数 等于322、把圆的参数方程化成普通方程：（1）;sin23,cos21yx (2)sin2,cos2yx3、经过圆422yx上任一点 P作 x 轴的垂线，垂足为Q，求线段 PQ中点轨迹的方程解：设 M（yx,)为线段 PQ的中点，圆422yx的参数方程为sin2cos2yx又点 P为圆上任一点可设点P的坐标为(2cos,2sin)则Q点的坐标为（2cos,)由线段中点坐标公式，得点M的轨迹的参数方程为：sinc

20、os2yxMQ(2cos,0)P(2cos,2sin)xOyMA(12,0)P(4cos,4sin)xOy精选学习资料 -名师归纳总结-第 9 页，共 10 页消去参数,可得：1)2(22yx即1422yx五、小结：圆的参数方程(分圆心在原点与不在原点的两种情形)；参数方程，参数的概念；参数方程与普通方程的互化；参数方程的意义及实际应用六、课后作业：P82T9、10 1、填空题（1）已知圆的参数方程是sin8cos8yx(0 2）若圆上一点 M的坐标为(4,-43)，则 M所对应的参数 的值为35(2)已 知 圆 的 参 数 方 程 为sin33cos35yx,则 它 的 普 通 方 程 为9

21、)3()5(22yx2、已知点 M是圆0422xyx上的一个动点，点N（2，6）为定点，当点 M在圆上运动时，求线段MN的中点 P的轨迹方程，并说明轨迹的图形sin3cos2yx它表示圆心在（2，3），半径为 1 的圆3、若实数yx,满足04222yxyx，求yx的最大值（3+10）4、已知对于圆1)1(22yx上任意一点 P（yx,），不等式0myx恒成立，求实数 m 的取值范围（m2-1）5、已知圆122yx,定点A(1,0),B、C是圆上两个动点，保持A、B、C在圆上逆时针排列，且BOC=3（O为坐标原点），求ABC重心G的轨迹方程（31)31(22yx）精选学习资料 -名师归纳总结-第 10 页，共 10 页