2022年中考几何综合复习

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1、几何综合同类图形组合第一类等腰三角形1、（2008 北京 25）请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点ABE，在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PGPC，若60ABCBEF，探究PG与PC的位置关系及PGPC的值小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及PGPC的值；（2）将图 1 中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（1）中得到的两个结

2、论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（3）若图 1 中2(090)ABCBEF，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值（用含的式子表示）分析：（1）根据题意可知 小聪 的思 路为，通过判定DHP和FFP 为全等 三角 形来得 出证 明HCG为 等腰 三角 形且 P 为底 边中 点的 条件；（2）思路 同上，延 长 GP交 AD于 点 H，连 接 CH，CG，本 题中 除了 如（1）中证明 GFP HDP（得到 P 是 HG中点）外还 需证 明 HDC GBC（得出 三角形 CHG是 等腰 三角 形）（3）ABC=BEF=2（0 90），那么

3、PCG=90-，由（1）可知：PG：PC=tan（90-）解：（1）线段PG与PC的位置关系是；PGPC（2）2、（2010 河 北 唐 山 路 南 区）如 图 ，在 菱 形 ABCD和 菱 形 BEFG 中，点 A、B、E 在 同 一条 直 线 上，P 是 线 段 DF 的 中 点，连 接 PG，PC 若3BDGEACB F（1）请 写 出 线 段 PG与 PC 所 满 足 的 关 系；并 加 以 证 明（2）若 将 图 中 的 菱 形 BEFG饶 点 B 顺 时 针 旋 转，使 菱 形 BEFG 的 对 角 线 BF 恰 好 与 菱 形ABCD 的 边 AB 在 同 一 条 直 线 上，原

4、 问 题 中 的 其 他 条 件 不 变，如 图 那 么 你 在（1）中得 到 的 结 论 是 否 发 生 变 化？若 没 变 化，直 接 写 出 结 论，若 有 变 化，写 出 变 化 的 结 果（3）若 将 图 中 的 菱 形 BEFG饶 点 B 顺 时 针 旋 转 任 意 角 度，原 问 题 中 的 其 他 条 件 不 变，请 猜 想（1）中 的 结 论 有 没 有 变 化？D A B E F C P G 图 1 DCGPABEF图 2 精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 7 页3、（2007?北京）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形类似地，我们定义：至少有一组对边相

5、等的四边形叫做等对边四边形（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在 ABC 中，点D，E 分别在AB，AC 上，设CD，BE 相交于点O，若 A=60，DCB=EBC=A 请你写出图中一个与A 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在 ABC中，如 果 A 是 不 等 于60 的 锐 角，点D，E 分 别 在AB，AC上，且DCB=EBC=A探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论等腰直角三角形组合1、已知：等腰直角ABC 和等腰直角 DCE，F 为 BE 中点，求证：BD=2AF，且 BD 与 AF 垂直2、平面内有两

6、个等腰直角三角形ABC 和 DBE(ABC=DBE=90,AB=BC,BD=BE),连接 AD,CE,F 为 CE 中点,连接 BF（1）AB=BD 时，写出FB 和 AD 的位置关系（2）AB BD 时，写出FB 和 AD 的位置关系，并证明结论（3）当 AB BD，BD 位于 BC 和 BA 之间时写出FB 和 AD 的位置关系，并证明等边三角形1、（2005 海淀）25.已知 ABC，分别以AB、BC、CA 为边向形外作等边三角形ABD、等边三角形 BCE、等边三角形ACF.如图 2，当 ABC 中只有 ACB=60时，请你证明SABC与 SABD的和等于SBCE与 SACF的和.小明记

7、起自己看过古希腊数学家欧几里得在他的几何原本第一卷命题47 中给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明，其证明的梗概如下：图 2 精选学习资料 -名师归纳总结-第 2 页，共 7 页如图，Rt ABC中，分别以三边为边作正方形，要证222ABACBC，即要证明两直角边上的正方形面积等于斜边上正方形面积，连结FC，AD，过 A 作ALDE交 BC 于 I，可证得_FBC，从而两个三角形面积相等1/C2BCFABFBAGFBFGSSS正1/2BDABDIBDLIBDALSSS矩AGFB12BDLISS正矩同理可得：_ 从而：_ 所以222ABACBC请你仿照上述方法，帮助小明证明他遇到的问题2、（200

8、8 广东）（1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以AO 和 DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD，连结 AC 和 BD，相交于点E，连结 BC求 AEB 的大小；（2）如图 8，OAB 固定不动，保持OCD 的形状和大小不变，将OCD 绕着点 O 旋转（OAB 和OCD 不能重叠)，求 AEB 的大小.3、(2009.6 顺义)已知：ABC 中，以 AC、BC 为边分别向形外作等边三角形ACD 和 BCE，M 为CD 中点，N 为 CE 中点，P 为 AB 中点（1）如图 1，当 ACB=120 时，MPN 的度数为 _；（2）如图 2，当 ACB=（

9、0180）时,MPN 的度数是否变化？给出你的证明DENMPCBAEDNMPABCB O D 图 7 A B A O D C E 图 8 精选学习资料 -名师归纳总结-第 3 页，共 7 页正方形组合1、已知两个全等的含30角的直角三角形放置如图，B、C、D 三点在同一条直线上，点M 是 AE的中点，确定BM 与 DM 的关系一般讲我们在寻求到解题方法后就结束了还可以找到不同的解法，例如过点 M做 BD的垂线；再例如，也可以过点 M做 BD的平行线等实际上这个题就是我们在研究的图形的组合问题我们换个角度研究这个问题，就可以发现，本题中实际是三个正方形的组合问题，因此，就这个问题我们较深入的研究

10、发现其中的研究价值在这个图形中正方形ACEG 与正方形 MBND 正好形成了两个正方形的顶点在对角线上的两种状态在这个问题中可证 BF=DH、CF=EH、AF=CH 对于两个正方形而言可以形成的关系中还有一种可能,即一个正方形的顶点在另一个正方形的边上的情况当点 P在 AB上运动且 PC过点 C时，就形成了一类性的问题，可以有全等形或相似形的应用问题2、（2009 河北）在图 1 至图 3 中，点 B 是线段 AC 的中点，点D 是线段 CE 的中点四边形BCGF和 CDHN 都是正方形 AE 的中点是M（1）如图 1，点 E 在 AC 的延长线上，点N 与点 G 重合时，点M 与点 C 重合

11、，求证：FM=MH，FM MH；（2）将图 1 中的 CE 绕点 C 顺时针旋转一个锐角，得到图14-2，求证：FMH 是等腰直角三角形；（3）将图 2 中的 CE 缩短到图3 的情况，FMH 还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）第二类（2013 北京）24在 ABC 中，AB=AC，BAC=（600），将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60得到线段BD（1）如图 1，直接写出 ABD 的大小（用含的式子表示）；（2）如图 2，BCE=150，ABE=60，判断 ABE 的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若 DEC=45，求的值ABCDEMFHGNABCDEMABCDPQ

12、精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 7 页不同类图形组合第一类在几何命题的构成上，如果不是同类图形而形成的，这些应该是基本问题，但是由于相比同类图形的问题，就显得难度大些从图形关系的角度说，不是同类的情况是一般情况，因此应属于基本问题只是我们平时研究的少，使这个问题显得难了些不同类图形组合在一起，对一般模式化的东西是一种冲击，因为它的规律性隐藏的比较好，所以需要我们认真的对待这类问题从往届中考题考察，就会发现，凡是当年考察了这个问题，那么这年的题目就显得难，考试的结果就不是很好，但是考察的数据却很好，说明它的功能性好 1、（2010 京）25.问题：已知 ABC 中，BAC=2ACB

13、，点 D 是 ABC 内的一点，且AD=CD，BD=BA探究DBC 与ABC 度数的比值请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明(1)当BAC=90 时，依问题中的条件补全右图观察图形，AB 与 AC 的数量关系为；当推出DAC=15 时，可进一步推出DBC 的度数为；可得到DBC 与ABC 度数的比值为；(2)当BAC 90 时，请你画出图形，研究DBC 与ABC 度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明分析：这个题目就是典型的不同类图形的组合问题，对这样的问题而言，我们持有的分析方法似乎不能解决它我们谈同类和不同类的图形问题，实际上想

14、表达的是，几何问题的形成就是因为图形之间的内在的联系才形成的，那么原始的图形可形成的关系就是问题产生的根本原因2、（2011.6 平谷 24）.已知：如图，正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过 E 点作 EFBD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中 BEF 绕 B 点逆时针旋转45o，如图所示，取DF 中点 G，连接 EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）将图中 BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出

15、什么结论？（均不要求证明）精选学习资料 -名师归纳总结-第 5 页，共 7 页不同类图形第二类 2.（2012 北京）24.在ABC中，BABCBAC，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ（1）若且点P与点M重合（如图1），线段 CQ 的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出CDB的度数；（2）在图 2 中，点P不与点 BM，重合，线段 CQ 的延长线与射线BM交于点D，猜想CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到 某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM交于点D，且 P

16、QQD，请直接写出的范围分析：这也是不同类图形的组合问题，区别在于它是先运动后分析的问题换句话说，它只告诉你运动状态的结果，那么运动后可能产生什么，就需要分析运动是什么运动，这个运动可能会形成什么问题等由于同学本身就不习惯从两个图形的角度认识我们，再加上是先运动后分析的情况，因此，本身就形成了难度除此之外，还因为此问题中实质上是四点共圆的问题，超出课标要求，那就更难了根据综合题的构成的基本情况，可以总结出问题的实质就是需要很好的研究两个或两个以上的图形组合问题，把握几何综合题形成的基本规律在前面我们提到过一个问题，即最终呈现的是一个题目的相应的图形，也就是一个图形，为了研究的需要我们可能在一些

17、问题上呈现图形变化的过程1、已知点P 是正方形 ABCD外一点，连结PA、PD，且满足 BPD=90，连结PA、PC。问PA+PC 与 PB的关系是什么？2、四边形ABCD 中，ABC与 DCB都是锐角，若AB=CD，确定 AD与 BC 的关系分析：今天我们重提这个话题，就是想说明，考题的出发点就是两个图形的组合问题，那么怎么理解呢？四边形的特征是没有关于边的性质，一般讲四边形也不具备边相等的条件那么当存在这样一个条件时，只能说明它是由两个图形组合后去掉连接线而形成的几何问题。我们只需要根据题目条件还原那些连接的线就可以了。因为图形中给出的条件不能直接使用，那么就需要移动其中一条边的位置，即把

18、 AB或者 CD移动位置，为了使用的方便，显然需要移动到与另一个线段共顶点的位置，形成等腰三角形。精选学习资料 -名师归纳总结-第 6 页，共 7 页3、已知正方形ABCD 和正方形CEFG 共顶点于C，M 是 BG 的中点求证：CMDE最初把问题易想为是旋转型问题，原因在于有两个正方形共点，就认为有旋转型全等的图形关系如果这么看问题就使问题不可解了原因是因为后面的条件破坏了旋转型的关系，需要考虑是否还原旋转型关系，有就是说先要使用中点条件形成可利用旋转型条件后才可解4、在梯形ABCD 中，AD BC，ABC=90，AB=BC=AP，若 BAP=30 求证：BP=CP 分析：对于这个题目而言，

19、它有几个变式应用的形式，对于这个题目怎样求解有很多的方法，我们就其中一种同学容易忽视的方法进行分析与求解在题目的条件中等腰直角三角形和有直角与一个三十度的角，我们不难求解出 ABP=75,而这个度数告诉我们一种现象，即它与等边三角形中的角有关，因此，我们可以利用构造一个与等腰直角三角形不同类的三角形，形成新的关系5、已知 RtABC中，BCA=90，AC=3，BC=5，以 AB为边向外作正方形 ABEF，求正方形中心O与点 C的连线长分析：从题目的条件出发，可以理解到它是正方形与直角三角形的组合问题题目的条件中只给了直角三角形的两条直角边的长，没有给出角度，因此，不能利用直接求解的方法得到结论因此，解决问题的基本思路就确定了，要研究两条直角边与所求线段之间的关系所以，我们可以利用前面讲的问题解决它，即还原两个全等三角形与正方形的关系，或直接还原两个正方形之间的关系ADBCPMEFDPCBADBCPAABCEFONMOBEFDCAABCEFOD精选学习资料 -名师归纳总结-第 7 页，共 7 页