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1、专题提升三特殊三角形的探究性问题类型一关于等腰三角形确定的探究1如图，在长方形ABCD 的对称轴l 上找点 P，使得 PAB、PBC、PDC、PAD 均为等腰三角形，则满足条件的点P 有（）A5 个B4 个C3 个D 1 个类型二关于直角三角形确定的探究2已知：如图，ABC 是边长为3cm 的等边三角形，动点P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点 P 到达点 B 时，P、Q 两点停止，当 t时，PBQ 是直角三角形类型三关于最值问题的探究3如图，四边形ABCD 中，BAD 100，B D 90，在 BC、CD 上分别找一点M、N，使
2、AMN 周长最小时，则AMN ANM 的度数为类型四关于规律问题的探究4（贵阳中考）如图，在第1 个 ABA1中，B20，AB A1B，在 A1B 上取一点C，延长 AA1到 A2，使得 A1A2A1C；在 A2C 上取一点 D，延长 A1A2到 A3，使得 A2A3A2D；，按此作法进行下去，第n 个三角形以An 为顶点的内角的度数为.类型五关于特殊到一般问题的探究5如图，ABC和 CDE 均为等腰三角形，AC BC，CDCE，ACCD，ACB DCE 且点 A、D、E 在同一直线上，连结BE.（1）若 ACB 60，则 AEB 的度数为；线段 AD、BE 之间的数量关系是；（2）若 ACB
3、 DCE 90，CM 为 DCE 中 DE边上的高精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 6 页求 AEB 的度数；若 AC2，BE1，试求 CM 的长6（1）学完全等三角形以后，老师布置了这样一道题：如图 1，点 M、N 分别在等边 ABC的 BC、CA 边上，且BM CN，AM、BN 交于点 Q.试说明：BQM 60；（2）小丽做完后，进行了反思，提出了许多问题，如：若将题中“BM CN”与“BQM 60”的位置交换，得到的是否仍是真命题？若将题中的点M、N 分别移动到BC、CA 的延长线上，是否仍能得到BQM 60？请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：；并对给出证明类型六
4、关于动态问题的探究7如图，已知ABC 中，ABAC10 厘米，BC8 厘米，点 D 为 AB 的中点（1）如果点P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1 秒后，BPD与 CQP 是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD 与 CQP 全等？（2）若点 Q 以中的运动速度从点C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点 Q 第一次在 ABC 的
5、哪条边上相遇？精选学习资料 -名师归纳总结-第 2 页，共 6 页类型七关于拓展问题的探究8勾股定理是世界上最伟大的定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带 周老师在上八年级从勾股定理到图形面积关系的拓展一节拓展课时，教学环节清晰，内容安排有序，问题设计合理（如下）作为课堂主人的你，请积极思考解决下列问题：【知识回顾】勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系：a2b2c2，而 a2，b2，c2又可以看成是以a，b，c 为边长的正方形面积，因此，勾股定理也可以表述为：分别以直角三角形两条直角边为边长的两个正方形的面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积（如图1）即 S1
6、S2S3.【问题探究】（1）如果以直角三角形三条边a，b，c 为直径，向形外分别作半圆（如图2），那么三个半圆的面积S1，S2，S3之间存在怎样的关系？请直接写出你认为正确的结论：；（2）类似地，上述结果是否适合其他图形？适合的，请你在图3 中以直角三角形的三条边a，b，c 为边，向形外画出图形（示意图），指出你所画的图形名称是：，并写出证明过程；不存在，请说明理由；【拓展应用】（1）如图 4，已知在 RtABC 中，ACB Rt，AB 4，分别以 AC、BC 为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则 S1S2的值等于；（2）在 RtABC 中，BAC Rt，分别以AB，AC 为直径作半圆，以
7、BC 为直径作半圆刚好经过点A（如图 5 所示），若 AB 4，AC 3，则两个月牙形（阴影部分）的面积之和即 S1S2精选学习资料 -名师归纳总结-第 3 页，共 6 页类型八关于经验积累问题的探究9（1）如图 1，已知 ABC，以 AB、AC 为边向 ABC 外作等边 ABD 和等边 ACE，连结 BE，CD.请你完成图形，并证明：BE CD（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图 2，已知 ABC，以 BAD、CAE 为直角向外作等腰RtBAD 和等腰 RtCAE.连结 BE，CD，BE 与 CD 有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成
8、下题：如图 3，要测量池塘两岸相对的两点B，E 的距离，已经测得 ABC 45，CAE 90，ABBC100 米，AC AE.求 BE 的长精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 6 页答案专题提升三特殊三角形的探究性问题1.A 2.1s 或 2s 3.1604.(21)n-1805.（1）60AD BE（2）ACB DCE，ACB DCB DCE DCB，ACD BCE，又AC BC，CDCE，ACD BCE（SAS），ADC BEC，AD BE，若 ACB90，则 ABC 和 CDE 均为等腰直角三角形，ADC 135，从而 BEC 135，AEB 135 45 90；在等腰直角AB
9、C 中，AC 2，由勾股定理知：AB 2，在直角 AEB 中，因为BE1，AB 2，由勾股定理知：AE2，又因为 AD BE 1，所以 DE31，因为CDE 为等腰直角三角形，CM 为 DCE 中 DE 边上的高，所以CM=21DE213.6.（1）ABC 为等边三角形，AB BCAC，BAC ABC ACB 60，在ABM 和 BCN 中，BM CN，ABM BCN，AB BC，ABM BCN（SAS），BAM CBN，BQM BAQ ABQ MBQ ABQ 60；（2）是是的证明如下：如图2，在 ACM 和 BAN 中，CMAN，ACM BAN 120，AC AB，ACM BAN（SAS）
10、，AMC BNA，NQA NBC BMQ NBC BNA 180 60 120，BQM 60.7.（1）BPD CQP（SAS），理由略vQ415厘米/秒（2）380秒，在 AB 边上8.【问题探究】（1）S1S2 S3（2）答案不唯一：图略，如正三角形，证明：S143a2，S243b2，S343c2.又 a2 b2c2，S1S243（a2 b2）43c2S3.【拓展应用】（1）2（2）6 9.（1）如图 1.证明：ABD 和 ACE 都是等边三角形AD AB，ACAE，BAD CAE 60，BAD BAC CAE BAC，即 CAD EAB，CAD EAB，BECD.（2）BECD，理由同（1）：BAD和 CAE 均为等腰直角三角形，AD AB，ACAE，BAD CAE90，CAD EAB，CAD EAB，BE CD.（3）由（1）（2）的解题经验可知，过A 作等腰直角三角形ABD，BAD 90，则 ADAB 100，ABD 45，BD 1002，连结 CD，则由（2）可得 BECD，ABC精选学习资料 -名师归纳总结-第 5 页，共 6 页 45，DBC 90 ，在Rt DBC中，BC 100，BD 1002，CD 22)2100(1001003，BE 的长为 1003米精选学习资料 -名师归纳总结-第 6 页，共 6 页
2022年浙教八上数学专题提升三特殊三角形的探究性问题
