2022年第四章不等式

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1、学习必备欢迎下载第四章不等式知识网络考纲要求1 不等关系了解现实世界和日常生活中存在大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。2 一元二次不等式（1）会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型；（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的联系；（3）会解一元二次不等式、对给定的一元二次不等式会设计求解程序框图。3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题（1）会从实际情景中抽象出二元一次不等式组；（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；（3）会从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。4 基本不等式：2abab(1)了解基本不等式

2、的证明过程(2)会用基本不等式解决简单的最值问题备考建议1 复习不等关系时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以不等式基本性质及实数运算法则为依据；2 复习一元二次不等式时，应了解一元二次不等式的实际背景，求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图像求出不等式的解，也可运用代数手段求解；3 不等式有丰富的实际背景，是刻画区域的重要工具，刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤，学习中可以从实际背景研究二元一次不等式组；4 线性规划是优化的具体模型之一，在本章的学习中，应注重体会线性规划的基本思想，借助几何图形的直观性解决一些简单的线性规划问题；5 在复习时应强化

3、不等式组的应用，提高应用意识，要总结不等式的应用规律，以便提高解决问题的能力，如在实际问题中，主要有构造不等式求解或构造函数求最值等方法，方程函数不等式数列不等关系与不等式一元二次不等式及解法二元一次不等式（组）及简单的线性规划基本不等式不等式应用函数定义域值域单调性最值问题取值范围问题应用题精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 18 页学习必备欢迎下载求最值时要注意等号成立的条件，另外利用函数()(0)af xxax的单调性解决最值问题是近几年高考命题的热点，应加强这方面的训练；6 注重不等式知识与其它知识的联系，从而提高知识的迁移能力及综合能力，这也是近几年高考对不等式知识考察的一

4、个特点。真题解析例 1.（2013年新课标 卷数学）已知0a,x y满足约束条件13(3)xxyya x,若2zxy的最小值为1,则a（）A14B12C1D2【答案】B 解：画出约束条件所表示的平面区域，当目标函数经过点1,2a时，z有最小值且min221za，因此12a思路点拨：本题主要考察线性规划知识及数形结合思想。例 2（1）（2009 天津卷）设0,0.ab若11333abab是与的等比中项，则的最小值为A 8 B 4 C 1 D 14解：因为333ba，所以1ba，4222)11)(11baabbaabbababa，当且仅当baab即21ba时“=”成立，故选择C（2）若实数,a b

5、 c满足222,2222,aba babca bc则c的最大值是.解：依题意得22222222,2ababa bab由此得224ab；由2222222abca b cabc，得221142112212214 1 3abcabab，所以224log2log 33c（当且仅当1ab时取等号），因此c的最大值是22log 3.思路点拨：本题主要考察数列知识与基本不等式的简单应用。例 3（2010 辽宁文卷）已知函数1ln)1()(2axxaxf（I）讨论函数)(xf的单调性；（II）设2a，证明：对任意),0(,21xx，1212()()4|f xf xxx。精选学习资料 -名师归纳总结-第 2 页

6、，共 18 页学习必备欢迎下载解：（）()f x的定义域为（0，+）.2121()2aaxafxaxxx.当0a时，()fx 0，故()f x在（0，+）单调增加；当1a时，()fx0，故()f x在（0，+）单调减少；当-1a0 时，令()fx=0，解得12axa.则当1(0,)2axa时，()fx0；1(,)2axa时，()fx0.故()f x在1(0,)2aa单调增加，在1(,)2aa单调减少.（）不妨假设12xx，而2a，由（）知在（0，+）单调减少，从而12,(0,)x x，1212()()4f xf xxx等价于12,(0,)x x，2211()4()4f xxf xx令()()4

7、g xfxx，则21241()24aaxxagxaxxx于是22441(21)()0 xxxgxxx从而()g x在（0，+）单调递减，故12()()g xg x即2211()4()4fxxf xx故对任意),0(,21xx，1212()()4|f xf xxx思路点拨：本题主要考察利用导数研究函数的单调性的基本方法以及通过构造函数，利用分类讨论思想，提高分析解决问题的能力。4.1 不等关系与一元二次不等式基础知识1设12,x x是一元二次方程20axbxc的两实根，且12xx。（）当0a时，一元二次不等式20axbxc解集为；（）当0a时，一元二次不等式20axbxc解集为；精选学习资料 -

8、名师归纳总结-第 3 页，共 18 页学习必备欢迎下载2不等式性质（1）对称性：ab；（2）传递性：,ab bc；（3）加法法则：ab；（4）乘法法则：,0ab c；,0ab c；0,0abcd；（5）乘方法则：0,ab；(,1)nN n（6）开方法则：0,ab；(,1)nN n基础训练1已知不等式：243xx0；268xx0；229xxm0,若同时满足的 x 也满足，则有（）A9mB9mC9mD09m2已知函数2,0()2,0 xxf xxx，则不等式2()f xx的解集为（）A1,1B2,2C2,1D1,23不等式2xaxb0的解集为|2xx3，则21bxax0的解集为（）A|2xx3B1

9、|32xx1C1|23xx1D|3xx2若1ab0，则1122,abab由大到小排序是。5不等式11axx0的解集为1,1,2，则 a的值是；典型例题例 1 已知关于x 的不等式()(23)ab xab0的解集为|3x x1，求关于x的不等式(3)(2)ab xba0的解集。精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 18 页学习必备欢迎下载例 2 解关于 x 的不等式：21axx0例 3 设不等式221(1)xm x对满足2m的一切 m 值都成立，求 x 的取值范围规律总结1 解一元二次不等式应注意如果不等式两边都乘以负数必须改变不等号方向，所得的不等式才和原不等式同解；2 解一元二次不等

10、式可利用图像，解不等式组要充分利用数轴；3 判定不等式是否成立，常利用不等式基本性质、函数的单调性和特殊值等方法；拓展训练一选择题1 如 果 不 等 式2axb xc 0的 解 集 为|2,4xxx或，那 么 对 于 函 数2()f xaxbxc应有（）A(5)(2)(1)fffB(2)(5)(1)fffC(1)(2)(5)fffD(2)(1)(5)fff若不等式22242mxmxx+4x对一切xR恒成立，则实数m 的取值范围是（）A(2,2)B2,2C,22,D,2若不等式4234x与不等式20 xpxq的解集相同，则pqA127B167C167D127二填空题已知关于x 的方程2221xa

11、xa的两根介于24和之间，则实数a 的取值范围是。精选学习资料 -名师归纳总结-第 5 页，共 18 页学习必备欢迎下载若关于x的方程2210 xaxa有一正根和一个负根，则a的取值范围是。已知a为正的常数，若不等式2112xxxa对一切非负实数x恒成立，则a的最大值为。三解答题若,xR比较61x与42xx的大小。解关于x的不等式222,axxaxaR 设()yf x是定义在,4上的增函数，如果2(sin)(2cos)f mxf mx恒成立，求m 的取值范围。10汽车行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫“刹车距离”，刹车距离是分析事故原因的一个重要参考

12、条件，在一个限速40 千米/小时以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况紧急，同时刹车，但两车还是相撞了，事后现场测得甲车的刹车距离略小于12m，乙车的刹车距离超过10m，又知甲乙两种车型的刹车距离S（m）与车速x（千米/小时）之间分别有如下关系：20.10.01Sxx甲，20.050.005Sxx乙问两车相撞的主要责任是谁？精选学习资料 -名师归纳总结-第 6 页，共 18 页学习必备欢迎下载4.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划基础知识1（）在平面直角坐标系中，直线0AxByC将平面所有的点分成三类，一类在直线上，另外两类分居直线0AxByC的两侧的两个半平面内，其中一个半平面

13、内的点的坐标适合不等式，而另一个半平面内的点的坐标适合不等式，因此半平面就是二元一次不等式的几何表示。（）判断不等式0AxByC所表示的平面区域，可在直线0AxByC的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证AxByC的符号的正负，当0C时，常选用；2（）(,)Zf x y是欲达到最大值或最小值所涉及变量x，y 的解析式，叫做；如果(,)Zf x y又是关于x，y 的一次式，则称(,)Zf x y为；（）求线性目标函数在线性约束条件下的问题，称为线性规划问题。基础训练1(21)(3)0 xyxy表示的平面区域为（）y O 3 3-1B x O 3 3-1A 精选学习资料 -

14、名师归纳总结-第 7 页，共 18 页学习必备欢迎下载2设 Z=x-y，x 和 y 满足条件3020 xyxy，则 Z 的最小值为（）A 1 B1C3 D33不在326xy表示的平面区域内的点是（）A(0,0)B(1,1)C(0,2)D(2,0)4已知变量,x y满足约束条件23033010 xyxyy，若za xy（其中0a）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为5已知正整数,a b满足430ab，11ab取最小值时，实数对,a b是。典型例题例 1 画出不等式组10230 xyxy表示的平面区域例 2 已知2040250 xyxyxy，求（1）24Zxy的最大值；（）221025Z

15、xyy的最小值；O 3 3-1D O 3 3-1C 精选学习资料 -名师归纳总结-第 8 页，共 18 页学习必备欢迎下载（）211yZx的范围。例 3 预算用 2000 元购买单价为50 元的桌子和20 元的椅子，希望使桌子的总数尽可能的多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5 倍，问桌子和椅子各买多少合适？规律总结1 画二元一次不等式表示的平面区域一般是“线定界，点定域”，注意不等式中不等号有无等号，无等号时画虚线，有等号时画实线，点通常选原点；2 画二元一次不等式组表示的平面区域是求各个不等式表示平面点集的交集，即各个不等式所表示平面区域的公共部分；3 线性目标函数Zaxby取

16、最大值的最优解与b 的正负有关，若0b，最优解是将直线向上平移到端点的位置得到，若0b，则是向下平移4 解线性规划的关键是作图尽可能精确，图上操作尽可能规范，假若最优点并不明显易辨时，不妨将几个有可能的最优点的坐标逐一检验。拓展训练一选择题1 ABC 中，三顶点坐标分别为(2,4),(1,2),(1,0)ABC，点(,)P x y在 ABC 内部及边界运动，则Zxy的最大值和最小值分别为（）A3,1B1,3C1,3D3,1设实数,x y满足不等式组21036020 xyxyxy，则22xy的取值范围是5.,)5A.2,B3 5.,345C3 5.,345D精选学习资料 -名师归纳总结-第 9

17、页，共 18 页学习必备欢迎下载已知 x，y 满足条件5030 xyxxyk，k 为常数，若24Zxy的最小值为6，则 k 的值为（）A2 B9 C3 10D0 二填空题4若正数,x y满足230 xy，则2xyxy的最小值为；5实数 x，y 满足不等式组00220 xxyxy则11ywx的取值范围是；6已知10101xyxyy，且22448xyxy，则的最小值为。三解答题设变量x，y 满足条件30023xyxyx，求目标函数2Zxy的最小值求22Zxy的最大值和最小值，使式中x，y 满足约束条件27043120230 xyxyxy某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大

18、盈利率分别为 100%和 50%，可能最大的亏损率分别为30%和 10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8 万元，问投资人对甲、乙两项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？精选学习资料 -名师归纳总结-第 10 页，共 18 页学习必备欢迎下载10已知一元二次方程220 xaxb有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：（1）点(,)a b对应的区域的面积；（）21ba的取值范围；（）22(1)(2)ab的值域。4.3 基本不等式基础知识1 如果,a bR，那么2abab，当且仅当时，式中等号成立；2 若,a bR，且abp（p

19、为常数），则ab存在值为；若,a bR，且abs（s为常数），则ab存在值为；基础训练1 设lnln2ab，则ab的最小值为（）.2A e2.2Be.Ce2.D e2已知0,0ab，且2ab，则（）A12abB12abC222abD223ab3已知12x，则函数1221yxx的最大值是（）A2 B1 C1D24若正数,a b满足3abab，则ab的取值范围是。5设,x y z是正实数，满足230 xyz，则2yxz的最小值为。精选学习资料 -名师归纳总结-第 11 页，共 18 页学习必备欢迎下载典型例题例 1（1）已知0,0 xy，且191xy，求xy的最小值；（）已知xy、（0,+），且2

20、80 xyxy，求xy的最小值；例 2 已知0,0ab，1ab，求证：11222ab例 3（1）求函数422212xxyx的最小值（）求函数2254xyx的最小值规律总结1使用基本不等式要明确各式成立的前提条件；2.利用基本不等式求最值，一定要注意使用的条件：一正（各数为正），二定（和或积为定值），三相等（等号在允许取值范围内能取到）3.利用基本不等式证明或求最值要熟悉基本不等式的各种变式：22abab，222abab，22222abab拓展训练一选择题1已知向量(1,2),(4,)axby，若ab，则93xy的最小值为（）A2 3B 6 C12 D3 2精选学习资料 -名师归纳总结-第 12

21、 页，共 18 页学习必备欢迎下载某工厂年产量第二年增长率为a，第三年增长率为b，则这两年的平均增长率x 满足（）A2abxB2abxC2abxD2abx设111(1)(1)(1)Mabc，且1(,)abca b cR，则M 的取值范围是（）A10,8B1,18C1,18D8,二填空题4设正数,x y满足122xy，则12xy的最小值为；5设正数,a b满足3ab，则直线0ab xaby的斜率的取值范围是；6设变量 x，y 满足条件360200,0 xyxyxy，若目标函数(0,0)Zaxby ab的最大值为 12，则23ab的最小值为；三解答题求函数2sin5sin73siny的值域；已知,

22、a b是正常数，,x yR，且10ab，1abxy，xy的最小值为18，求,a b精选学习资料 -名师归纳总结-第 13 页，共 18 页学习必备欢迎下载 函 数1(0,1)xyaaa且的 图 像 恒 经 过 定 点A，点A在 直 线10(0)m xn ymn、上，求11mn的最小值；10如图：动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成。（1）现有可围成36m 长的网的材料，每间虎笼长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（）若是每间虎笼面积为242m，则每间虎笼长、宽各设计为多少时，可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小？本章综合测试一选择题1若0ab，则

23、下列不等式不成立的是（）AabB11abaC11abD22ab2设奇函数)(xf在),0(上是增函数，且0)1(f，则不等式0)()(xfxfx的解集为()A 1,01|xxx或B 10,1|xxx或C 1,1|xxx或D 10,01|xxx或3设实数,x y满足221xy，则()xy的最大值为（）A2B2C2 2D22精选学习资料 -名师归纳总结-第 14 页，共 18 页学习必备欢迎下载4已知等比数列na的各项均为正数，公比1q，设3957,2aaPQaa，则、Q 大小关系是（）APQBPQCPQD不能确定5下面给出四个点中，到直线10 xy的距离为22，且位于1010 xyxy，表示的平

24、面区域内的点是（）A(1,1)B(1,1)C(1,1)D(1,1)60ab是2abab的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7设)(xfRxxx,3，当02时，0)1()sin(mfmf恒成立，则实数m的取值范围是()A（0,1）B)0,(C)21,(D)1,(8若不等式(1)lg0a naa对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A|1a aB1|02aaC1|01 2aaa或D1|013aaa或9若不等式210 xax对一切1(0,2x成立，则a的最小值是（）A0 B2C52D310 ABC满足32ACAB，BAC=30，设M是 ABC内的一点(

25、不在边界上)，定义f(M)=(x,y,z)，其 中x,y,z分 别 表 示 MBC，MCA,MAB 的 面 积，若f(M)=(x,y,21)，则yx41的最小值为()A9 B8 C18 D16 11 定义在(0,)上的函数221()()()(0)f xaxbxaxbxab，则()fx（）A有最大值2()ab，无最小值B有最小值2()ab，无最大值C有最大值2()ab，有最小值2()abD无最大值也无最小值12()f x是偶函数，且()f x在(0,)上是增函数，如果1,12x时，不等式(1)(2)f axf x恒成立，则实数a 取值范围是（）精选学习资料 -名师归纳总结-第 15 页，共 18

26、 页学习必备欢迎下载A 2,0B 5,0C 5,1D 2,1二填空题13不等式lg(2)lg(2)xxx的解集是；14某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案任选其一：（1）按使用面积缴纳，每平方米40 元；（2）按建筑面积缴纳，每平方米30 元李华家使用面积为60 平方米，如果她选择方案（2）缴纳供暖费较少，那么她家的建筑面积最多不超过平方米；15若关于x的不等式2220 xaxxa恰有 3 个正整数解，则实数a的取值范围是；16已知,是方程220 xaxb的两根，且0,1,1,2,abR、，则31ba的最大值是，最小值是；三解答题17已知关于x 的不等式(1)22a xx

27、的解集为A，且3A（1）求实数a的取值范围；（）求集合A；18 已 知21()f xxbxca，不 等 式()0f x的 解 集 是(1,3)，若2(7|)(1)ftft，求实数t 的取值范围19已知()f xx，()(0)g xxa a（1）当 a 4 时，求()()()f xag xf x的最小值；（2）当14x时，不等式()()1()f xag xf x恒成立，求a 的取值范围。精选学习资料 -名师归纳总结-第 16 页，共 18 页学习必备欢迎下载20 已知函数()f xkxb的图像与x、y轴分别相交A、B两点，22ABij（,i j分别是x、y轴正半轴同方向的单位向量）函数2()6g

28、 xxx（1）求 k，b 的值；（）当 x 满足()()f xg x时，求函数()1()g xf x最小值。21已知二次函数()yf x的图像过坐标原点，其导函数()62fxx，数列na前n 项和为nS，点(,)(*)nn SnN均在()yfx的图像上。（1）求数列na的通项公式；（）设13nnnba a，nT是数列nb的前 n 项和，求使得20nmT对所有*nN都成立的最小正整数m。22已知二次函数2()1(,0)fxaxbxa bR a，设方程()fxx的两实根为12,x x，（1）如果1224xx，设()f x的对称轴是0 xx，求证01x；精选学习资料 -名师归纳总结-第 17 页，共 18 页学习必备欢迎下载（）如果12x，122xx，求 b 的取值范围。精选学习资料 -名师归纳总结-第 18 页，共 18 页