新高一2022年暑假讲义第10讲 全称量词与存在量词（解析版）

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1、第10讲：全称量词与存在量词【学习目标】1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假【基础知识】知识点：全称量词和存在量词全称量词存在量词量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号命题含有全称量词的命题是全称量词命题含有存在量词的命题是存在量词命题命题形式“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“xM，p(x)”“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“xM，p(x)”【考点剖析】考点一：全称量词与存在量词命题的识别例1用符号“”“”表达下列命题.（1）实数都能写成小数的形

2、式；（2）存在一实数对，使成立；（3）任意实数乘，都等于它的相反数；（4）存在实数，使得.答案见解析.【详解】解：（1），能写成小数形式；（2），使；（3）；（4）.变式训练1：下列命题中，存在量词命题的个数是（ ）实数的绝对值是非负数；正方形的四条边相等；存在整数，使能被11整除.A1B2C3D0A【详解】可改写为，任意实数的绝对值是非负数，故为全称量词命题；可改写为：任意正方形的四条边相等，故为全称量词命题；是存在量词命题.故选：A变式训练2：给出下列命题：存在实数，使；全等的三角形必相似；有些相似三角形全等；至少有一个实数，使的根为负数.其中存在量词命题的个数为（ ）A1B2C3D4C【

3、详解】对于，命题的表述中有“存在”，故该命题为存在量词命题.对于，命题的表述中有“必”，即所有的全等三角形是相似的，故该命题为全称命题.对于，命题的表述中有“有些”，故该命题为存在量词命题.对于，命题的表述中有“至少有一个”，故该命题为存在量词命题.故选：C.变式训练3：下列命题不是存在量词命题的是（ ）A有些实数没有平方根B能被5整除的数也能被2整除C在实数范围内，有些一元二次方程无解D有一个使与异号B【详解】选项A、C中“有些”是存在量词，选项D中“有一个”是存在量词，选项B中不含存在量词，不是存在量词命题故选：B考点二：全称量词与存在量词命题真假判断例2下列四个命题中，既是特称命题又是真

4、命题的是（ ）A斜三角形的内角是锐角或钝角B至少有一个实数，使C任一无理数的平方必是无理数D存在一个负数，使B【详解】对于A，命题可改写为：对于任意斜三角形，其内角均为锐角或钝角，为全称命题，A错误；对于B，命题可改写为：存在一个实数，使得，为特称命题，且为真命题，B正确；对于C，命题可改写为：对于任意一个无理数，其平方均为无理数，为全称命题，C错误；对于D，命题为特称命题，但当时，命题为假命题，D错误.故选：B.变式训练1：下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（ ）A对任意的、，都有B菱形的两条对角线相等C，D正方形是矩形D【详解】对于A选项，命题“对任意的、，都有”为全称命题，但，该命

5、题为假命题；对于B选项，命题“菱形的两条对角线相等”为全称命题，该命题为假命题；对于C选项，命题“，”为全称命题，当时，该命题为假命题；对于D选项，命题“正方形是矩形”为全称命题，该命题为真命题.故选：D.变式训练2：下列四个命题，真命题的是（ ）ABCDD【详解】对于A项，只有时，才成立，则A错误；对于B项，解得，则B错误；对于C项，由，解得，则C错误；对于D项，判别式，则xR，x2x20，则D正确；故选：D.变式训练3：下列四个命题中真命题的是（ ）ABCDD【详解】解：对于，在0和1之间，不存在整数，所以错；对于，所以错；对于，当时，即不成立，所以错；对于，因为 在上恒成立，所以对；故选

6、：考点三：含量词的命题真假求参（一）例3若“任意，”是真命题，则实数的最小值为（ ）A-B-CDD【详解】因为“任意x，xm”是真命题，所以m，所以实数m的最小值为.故选：D变式训练1：若命题“，不等式”为真命题，则的最大值是（ ）A0B2CDB【详解】若命题“，不等式”为真命题，则，解得；故选：B.变式训练2：若命题“”是假命题，则实数的范围是（ ）ABCDA【详解】若命题“”是假命题，则命题“”是真命题，当时，所以.故选：A.变式训练3：已知命题：，是真命题，那么实数的取值范围是（ ）ABCDC【详解】若命题：，是真命题，则对于恒成立，当时，可得：不满足对于恒成立，所以不符合题意；当时，需

7、满足解得，所以实数的取值范围是，故选：C考点四：含量词的命题真假求参（二）例4已知集合，（1）若命题是真命题，求的取值范围；（2）命题是真命题，求的取值范围.（1）；（2）【详解】解：（1）因为命题是真命题，所以，当时，解得；当时，解得.综上，m的取值范围为.（2）因为是真命题，所以，所以，即，所以，所以只需满足即可，即. 故m的取值范围为.变式训练1：命题存在实数，使得方程成立。若命题为真命题，求实数的取值范围.【详解】当时，方程为，显然有实数根，满足题意；当时，由题意可得有实根，得，解得，且.综上可得，即实数a的取值范围是.变式训练2：命题存在，使得若命题为假命题，求实数的取值范围【详解】

8、命题为假命题，则：任意的，都有为真命题由此可得，即所以实数的取值范围是变式训练3：已知集合，若命题“，”是真命题，求的取值范围.【详解】由于命题：“，”是真命题，所以，（1），则 解得（2），则得综上的取值范围是.【过关检测】1、下列不是存在量词的是（ ）A有些B至少有一个C有一个D所有D【详解】A，B，C中的量词都是存在量词，D中的量词是全称量词，故选D2、下列不是全称量词的是（ ）A任意一个B所有的C每一个D很多D【详解】很明显A，B，C中的量词均是全称量词，D中的量词不是全称量词故选D.3、下列命题是全称量词命题的是（ ）A有一个偶数是素数B至少存在一个奇数能被整除C有些三角形是直角三角

9、形D每个四边形的内角和都是D【详解】因为“有一个”，“至少存在一个”，“有些”均为存在量词，即ABC不合题意；“每个”是全称量词，即D符合题意.故选：D4、下列命题是特称命题的是（ ）A任何一个实数乘以0都等于0B每一个向量都有大小C偶函数的图象关于y轴对称D存在实数不小于3D【详解】对于A，任何一个实数乘以0都等于0，是全称命题；对于B， 每一个向量都有大小，是全称命题；对于C，偶函数的图象关于y轴对称，是全称命题；对于D，存在实数不小于3，是特称命题.故选：D.5、下列命题与“”的表述方法不同的是（ ）A有一个，使得B有些，使得C任选一个，使得D至少有一个，使得C【详解】由题意，根据存在性

10、命题的概念，可得命题“”为存在命题，所以A、B、D与命题“” 的表述方法相同，但命题“任选一个，使得”为全称命题，所以与题设中命题表述不同.故选：C.6、下列命题中是存在量词命题的是（ ）A所有的奇函数的图象都关于y轴对称B正四棱柱都是平行六面体C空间中不相交的两条直线相互平行D存在大于等于9的实数D【详解】A，B，C选项中的命题都是全称量词命题，D选项中的命题是存在量词命题.故选：D7、下列命题中，是真命题的全称量词命题的是（ ）A实数都大于0B梯形两条对角线相等C有小于1的自然数D三角形内角和为180度D【详解】A.实数都大于0，是全称量词命题，假命题；B.梯形两条对角线相等，是全称量词命

11、题，假命题；C.有小于1的自然数，是特称命题，真命题；D.三角形的内角和为180度，是全称量词命题，真命题.故选：D8、下列命题中是全称量词命题，并且又是真命题的是（ ）A是无理数B，使为偶数C对任意，都有D所有菱形的四条边都相等D【详解】解：对于A，是特称命题；对于B，是特称命题，是假命题；对于C，是全称命题，而，所以是假命题；对于D，是全称命题，是真命题，故选：D9、下列是全称命题并且是真命题的是（ ）ABCDC【详解】A选项，是全称命题，但时，所以是假命题；B选项，是全称命题，但时，所以是假命题；C选项，是全称命题，且是真命题；D选项，是特称命题；故选：C.10、下列命题中，是假命题的是

12、（ ）ABCDC【详解】当时，故A正确当时，故B正确当时，故选项C为假命题恒成立，故D正确故选：C11、下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）A，B存在，使得为偶数C所有菱形的四条边都相等D是无理数C【详解】A：，是全称量词命题，但为假命题；B：，使2x为偶数，是特称量词命题；C：任意菱形的四条边都相等，是全称量词命题，也是真命题；D：是无理数，为不含量词的命题；故选：C12、下列命题中是全称命题并且是假命题的是（ ）A是无理数B若为偶数，则任意C对任意， D所有菱形的四条边都相等C【详解】含有全称量词的命题是全称命题，故选项A、B不是全称命题，排除选项A、B；对于选项C：对任意，是全

13、称命题，当时，所以是假命题，故选项C合乎要求；对于选项D：所有菱形的四条边都相等是全称命题并且是真命题，故选项D不合乎要求；故选：C.13、下列命题中，正确的是（ ）A，B，C，D，C【详解】因为，故A，B错误；取时，故C正确；取时，故D错误.故选：C.14、下列命题中，既是存在量词命题又是假命题的是（ ）A三角形内角和为B有些梯形是平行四边形CD至少有一个整数，使得B【详解】对于A，含有全称量词，故A不正确；对于B，有些梯形是平行四边形不是真命题，故B错误；对于C，含有存在量词命题，是真命题，如，故C正确；对于D，至少有一个整数，使得，含存在量词的命题，是真命题，如，故D正确.故选：B15、

14、“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）ABCDA【详解】由，可得：，令 ，只需 ，当且仅当，即时等号成立，所以，所以，故选：A16、若命题“，”为假命题，则的取值范围是（ ）ABC或D或A【详解】若命题“，”为假命题，则命题“，”为真命题，即判别式，即，解得.故选：A.17、已知命题，；命题，若，都是假命题，则实数的取值范围为（ ）ABC或DB【详解】因为命题p为假命题，则命题p的否定为真命题，即：为真命题，解得，同理命题q为假命题，则命题q的否定为真命题，即为真命题，所以，解得或，综上：，18、已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）ABCDB【详解】因为是假命题，所以方程没有实

15、数根，即，即故选：B.19、已知对，都有，则的取值范围为（ ）ABCDA【详解】因为对，都有，所以要使成立，只需即可，即.故选：A.20、命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）ABCDA【详解】命题“”为真命题，则，即，又，但，故选：A21、命题为假命题的一个充分不必要条件是（ ）ABCDC【详解】命题为假命题，即命题为真命题，首先，时，恒成立，符合题意；其次时，且，即，综上可知，.故选项A中，是的充分必要条件；选项B中推不出，且推不出，即是的既不充分也不必要条件；选项C中可推出，且推不出，即是的一个充分不必要条件；选项D中推不出，且可推出，即是的一个必要不充分条件.故选：C.22、已知命题，命题.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题为真命题，求实数的取值范围；（3）若命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围.（1）；（2）或；（3）或.【详解】（1）若命题p：为真命题，则，解得.（2）若命题q：为真命题，则，解得或.（3）若命题p、q至少有一个为真命题，则，或，或，或.