反比例函数实际应用的七种情况 (2)

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1、反比例函数的应用反比例函数的应用本节课知识点 在面积中的应用 在速度和工程中的应用 在电学中的应用 在光学中的应用 在排水中的应用 在经济预算中的应用在面积中的应用PDoyx1.1.如图如图,点点P P是反比例函数是反比例函数 图象上的图象上的一点一点,PDx,PDx轴于轴于D.D.则则PODPOD的面积为的面积为 .xy21 12.2.如图如图,点点P P是反比例函数图象上的一点是反比例函数图象上的一点,过点过点P P分别向分别向x x轴、轴、y y轴作垂线轴作垂线,若阴影部分面积为若阴影部分面积为1,1,则这个反比例则这个反比例函数的关系式是函数的关系式是 .PDoyxPyxOCxy22K

2、S SK的面积不变性的面积不变性 (0)kykx(0)2kk(0)k k 注意：注意：（1 1）面积与面积与P P的位置无关的位置无关（2）当）当k符号不确定的情况符号不确定的情况下须下须分类讨论分类讨论PQ0 xy）（yx,P0 xy）（yx,SABC=KSABCD=2KBDS=k21oyP(m,n)xky xABCDCoxxky yA4yx A A(2,2)Oyx直线直线OAOA与双曲线的另与双曲线的另一交点一交点B B的坐标的坐标B BD DC CBDABDA的面积是多少？的面积是多少？B（-2,-2）8曲直结合 3、在双曲线、在双曲线 上上任一点分别作任一点分别作x轴、轴、y轴的垂线段

3、，轴的垂线段，与与x轴轴y轴围成矩形面积为轴围成矩形面积为12，求函，求函数解析式数解析式_。xky(X0)(X0)yxOxy12xy12或或AoyxBS1S2xy3如图，如图，A,B是双曲线是双曲线 上的点，分别经过上的点，分别经过A,B两点向两点向X轴、轴、y轴作垂线段，若轴作垂线段，若 .211SSS，则阴影4Oyxs1s2 如图如图,点点P P、Q Q是反比例函数图象上的两点是反比例函数图象上的两点,过过点点P P、Q Q分别向分别向x x轴、轴、y y轴作垂线轴作垂线,则则S S1 1(黄色三角形）黄色三角形）S S2 2(绿色三角形）的面积大小关系是：绿色三角形）的面积大小关系是：

4、S1 _ _ S2.PQ 趁热打铁，大显身手（提高篇）趁热打铁，大显身手（提高篇）=xyOP1P2P3P41234如图，在反比例函数如图，在反比例函数 的图象上，有点的图象上，有点，它们的横坐标依次为，它们的横坐标依次为1，2，3，4分别过这些点作分别过这些点作 轴与轴与 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 ，则，则1234PPPP，xy2yx（x0)123SSS，123SSS （x0)2yx3216思考：思考：1.你能求出你能求出S2和和S3的值吗？的值吗？132.S1呢？呢？1yxoBEACD 若若A(mA(m，n)n)是反

5、比例函数图象上的一动点，其中是反比例函数图象上的一动点，其中0m30m3，点点B B的坐标的坐标(3(3，2)2)，过点，过点A A作直线作直线ACxACx轴，交轴，交y y轴于点轴于点C C；过；过点点B B作直线作直线BDyBDy轴交轴交x x轴于点轴于点D D，交直线，交直线ACAC于点于点E E，当四边形，当四边形OBEAOBEA的面积为的面积为6 6时，请判断线段时，请判断线段ACAC与与AEAE的大小关系，并说明的大小关系，并说明理由。理由。yBAxo o如图，已知，如图，已知，A,B是双曲线是双曲线 上的两点，上的两点，)0(kxky（2）在）在(1)的条件下，若点的条件下，若点

6、B的横坐标为的横坐标为3，连接连接OA,OB,AB，求，求OAB的面积。的面积。（1）若）若A(2,3)，求，求K的值的值yBAxo o（3）若）若A,B两点的横坐标分别为两点的横坐标分别为a,2a，线段，线段AB的延长的延长线交线交X轴于点轴于点C，若，若 ，求，求K的值的值C6AOCSyBAxo o如图，已知，如图，已知，A,B是双曲线是双曲线 上的两点，上的两点，)0(kxky（1）若）若A(2,3)，求，求K的值的值（2）在）在(1)的条件下，若点的条件下，若点B的横坐标为的横坐标为3，连接连接OA,OB,AB，求，求OAB的面积。的面积。CDEyBAxo o如图，已知，如图，已知，A

7、,B是双曲线是双曲线 上的两点，上的两点，)0(kxky（1）若）若A(2,3)，求，求K的值的值（2）在）在(1)的条件下，若点的条件下，若点B的横坐标为的横坐标为3，连接连接OA,OB,AB，求，求OAB的面积。的面积。C(5,0)yBAxo o如图，已知，如图，已知，A,B是双曲线是双曲线 上的两点，上的两点，)0(kxky（1）若）若A(2,3)，求，求K的值的值（2）在）在(1)的条件下，若点的条件下，若点B的横坐标为的横坐标为3，连接连接OA,OB,AB，求，求OAB的面积。的面积。C CD DE.1,6)2(:xyxy解.3,22,3yxyx或解得).2,3(),3,2(BAAy

8、 yOBxMNy=kx+1y=kx+1的图像交于的图像交于A A、B B两点两点,点点A A的纵坐标是的纵坐标是3.3.已知：如图已知：如图,反比例函数反比例函数 与一次函数与一次函数xy6（1 1）求这个一次函数的解析式）求这个一次函数的解析式（2 2）求）求AOBAOB的面积的面积.变式练习变式练习2 2、正比例函数、正比例函数y=y=x与反比例函数与反比例函数y=y=的图象相交于的图象相交于A A、C C两点两点.ABx.ABx轴于轴于B,CDyB,CDy轴于轴于D(D(如图如图),),则四边形则四边形ABCDABCD的面积为的面积为()()（A A）1 1 （B B）（C C）2 2

9、（D D）1x3252 如图，已知正方形如图，已知正方形OABC的面积为的面积为9，点点O为坐标原点，点为坐标原点，点A在在x轴上，点轴上，点C在在y轴上，点轴上，点B在函数在函数y=k/x的图象上，点的图象上，点P(m,n)是图象上任意一点，过点是图象上任意一点，过点 P分别分别作作x轴，轴，y轴的垂线，垂足分别为轴的垂线，垂足分别为E,F，拓拓展展提提高高G若设矩形若设矩形OEPF和正和正方形方形OABC不重合部不重合部分的面积为分的面积为S，写出，写出S关于关于m的函数关的函数关 系系式式总结提高总结提高一个性质：反比例函数的一个性质：反比例函数的面积不变性面积不变性两种思想：两种思想：

10、分类讨论分类讨论和和数形结合数形结合在工程与速度中的应用工程、速度的数量关系工程、速度的数量关系一、自主预习：一、自主预习：1、工作总量、工作效率、工作时间的关系：工作总量 工作效率 工作时间 码头工人以每天码头工人以每天3030吨的速度往一艘轮船上装载吨的速度往一艘轮船上装载货物货物,把轮船装载完毕恰好用了把轮船装载完毕恰好用了8 8天时间天时间.(1)(1)这批货物的总量是多少吨？这批货物的总量是多少吨？（2 2）轮船到达目的地后开始卸货）轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度卸货速度v(v(单单位位:吨吨/天天)与卸货时间与卸货时间t(t(单位单位:天天)之间有怎样的函数之间有怎样的函数关系

11、关系?（3 3）若工人以每天）若工人以每天4040吨的速度卸货，需要几天卸吨的速度卸货，需要几天卸完？完？(4)(4)由于遇到紧急情况由于遇到紧急情况,船上的货物必须在不超过船上的货物必须在不超过5 5天内卸载完毕天内卸载完毕,那么平均每天至少要卸多少吨货物那么平均每天至少要卸多少吨货物?（5 5）若工人每天卸货在若工人每天卸货在4048吨之间，那么卸吨之间，那么卸货时间范围是多少？货时间范围是多少？(1)这批货物的总量是多少吨？这批货物的总量是多少吨？（分析：这批货物的总量=）解：码头工人以每天码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船吨的速度往一艘轮船上装载货物上装载货物,把轮船装载完毕恰好用了

12、把轮船装载完毕恰好用了8天时天时间间.因为因为vtvt=240=240所以所以v v与与t t的函数关系为的函数关系为 码头工人以每天码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上吨的速度往一艘轮船上装载货物装载货物,把轮船装载完毕恰好用了把轮船装载完毕恰好用了8天时间天时间.(2)(2)轮船到达目的地后开始卸货轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度卸货速度v(v(单单位位:吨吨/天天)与卸货时间与卸货时间t(t(单位单位:天天)之间有怎样之间有怎样的函数关系的函数关系?tv240 码头工人以每天码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物吨的速度往一艘轮船上装载货物,把轮把轮船装载完毕恰好用了船装载完

13、毕恰好用了8天时间天时间.（3）若工人以每天）若工人以每天40吨的速度卸货，需要几天卸完？吨的速度卸货，需要几天卸完？分析：可以看作函数关系中已知分析：可以看作函数关系中已知 ,求求 解：把解：把v=40代入代入 ，得，得 解得解得tv240t24040 v=40 码头工人以每天码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物吨的速度往一艘轮船上装载货物,把轮船装载完毕恰好用了把轮船装载完毕恰好用了8天时间天时间.(4)(4)由于遇到紧急情况由于遇到紧急情况,船上的货物必须在不超过船上的货物必须在不超过5 5天天内卸载完毕内卸载完毕,那么平均每天至少要卸多少吨货物那么平均每天至少要卸多少吨货物?

14、分析：可以看作函数关系中已知分析：可以看作函数关系中已知 求求 思考思考:还还有其他有其他方法吗方法吗?tv240485240v 码头工人以每天码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物吨的速度往一艘轮船上装载货物,把把轮船装载完毕恰好用了轮船装载完毕恰好用了8天时间天时间.（5）若工人每天卸货在）若工人每天卸货在4048吨之间，那么卸货时间范吨之间，那么卸货时间范围是多少？围是多少？分析：可以看作函数关系中已知分析：可以看作函数关系中已知 ，求，求4840vtv240t24040tv240t24048 4840 v65t 一辆汽车往返于甲一辆汽车往返于甲,乙两地之间乙两地之间,如果汽车以

15、如果汽车以5050千米千米/小时小时的平均速度从甲地出发的平均速度从甲地出发,则经过则经过6 6小时可以到达乙地小时可以到达乙地.（5 5）汽车按每小时）汽车按每小时6060千米的速度行驶千米的速度行驶2 2小时时，司机接到小时时，司机接到通知必须在之后通知必须在之后2 2小时之内到达目的地。之后每小时至少加小时之内到达目的地。之后每小时至少加速多少，才能准时到达？速多少，才能准时到达？300千米千米变小变小vt30060千米千米/小时小时随堂练习 自我发展的平台1.京沈高速公路全长京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京阳驶往北京，则汽车行完全程所

16、需时间，则汽车行完全程所需时间t(h)与行驶的与行驶的平均速度平均速度v(km/h)之间的函数关系式为：之间的函数关系式为：2.小明家用购电卡买了小明家用购电卡买了1000度电，那么这些电能够使度电，那么这些电能够使用的天数用的天数y与平均每天用电度数与平均每天用电度数x之间的函数关系式是之间的函数关系式是_，如果平均每天用，如果平均每天用5度，这些电可以用度，这些电可以用_天；如果这些电想用天；如果这些电想用250天，那么平均每天用电天，那么平均每天用电_度度.3.请举出生活中反比例函数应用的事例，并以请举出生活中反比例函数应用的事例，并以问题的形式考考大家问题的形式考考大家.xy10002

17、004vt6581、通过本环节的学习、通过本环节的学习,你有哪些收获你有哪些收获?小结小结 本节课是继续用函数的观点处理实际问题，本节课是继续用函数的观点处理实际问题，关键在于分析关键在于分析实际情景实际情景，建立，建立函数模型函数模型，并且，并且进一步明确数学问题将实际问题置于已学的知进一步明确数学问题将实际问题置于已学的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么？识背景之中，用数学知识重新解释这是什么？可以看作什么？逐步形成考察实际问题的能力，可以看作什么？逐步形成考察实际问题的能力，在解决实际问题时，不仅要充分利用函数图象在解决实际问题时，不仅要充分利用函数图象的性质，参透数形结合的思想，

18、也要注意函数、的性质，参透数形结合的思想，也要注意函数、不等式、方程之间的联系。不等式、方程之间的联系。三、反比例函数在电学中的运用在物理学中，有很多量之间的变化是反比例函数的关系，因此，我们可以借助于反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，这也称为跨学科应用。例1 在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R5欧姆时，电流I2安培(1)求I与R之间的函数关系式；(2)当电流I0.5时，求电阻R的值(1)解：设I R5，I2，于是=2510，所以U10，I(2)当I0.5时，R=20(欧姆)点评：反比例函数与现实生活联系非常紧密，特别是为讨论物理中的一些量

19、之间的关系打下了良好的基础。用数学模型的解释物理量之间的关系浅显易懂，同时不仅要注意跨学科间的综合，而本学科知识间的整合也尤为重要，例如方程、不等式、函数之间的不可分割的关系四、在光学中运用 例2 近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m）成反比例，已知400 度近视眼镜镜片的焦距为0.25m （1）试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式；（2）求1 000度近视眼镜镜片的焦距 分析：把实际问题转化为求反比例函数的解析式的问题 解：（1）设y=，把x=0.25，y=400代入，得400=，所以，k=4000.25=100，即所求的函数关系式为y=（2）当y=1000时，1000=，解得=0.1m

20、 点评：生活中处处有数学。用反比例函数去研究两个物理量之间的关系是在物理学中最常见的，因此同学们要学好物理，首先要打好数学基础，才能促进你对物理知识的理解和探索。五、在排水方面的运用例 3 如图所示是某一蓄水池每小时的排水量 V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系图象 （1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；（2）写出此函数的解析式；（3）若要 6h 排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？（4）如果每小时排水量是 5 000m3，那么水池中的水将要多少小时排完？分析：当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例 解：（1）因为当蓄水总量一定时

21、，每小时的排水量与排水所用时间成反比例 3 所以根据图象提供的信息可知此蓄水池的蓄水量为：4 00012=48 000（m3）（2）因为此函数为反比例函数，所以解析式为：V=48 000t；（3）若要 6h 排完水池中的水，那么每小时的排水量为：V=48 0006=8000（m3）；（4）如果每小时排水量是 5 000m3，那么要排完水池中的水所需时间为：t=48 0006=8000（m3）点评：学会把实际问题转化为数学问题，充分体现数学知识来源于实际生活又服务于实际生活这一原理。六、在解决经济预算问题中的应用 例4 某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.550.

22、75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x0.4)元成反比例.又当x0.65元时，y0.8(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价0.3元，电价调至0.6元，请你预算一下本年度电力部门的纯收人多少?解：(1)y与x0.4成反比例，设y(k0)把x0.65，y0.8代入y，得0.8，解得k0.2，y y与x之间的函数关系为y(2)根据题意，本年度电力部门的纯收入为：(0.60.3)(1y)0.320.6(亿元)答：本年度的纯收人为0.6亿元。点评：在生活中各部门，经常遇到经济预算等问题，有时关系到因素之间是反比例函数关系，对于此类问题我们往往由题目提供的信息得到变量之间的函数关系式，进而用函数关系式解决一个具体问题