计算机控制技术：Z变换

《计算机控制技术：Z变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算机控制技术：Z变换（31页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、Z变换变换1.1.Z Z 变换变换 如果用拉氏变换来分析采样系统，则系统的输出必然是如果用拉氏变换来分析采样系统，则系统的输出必然是s s的超越函数，求其拉氏反变换是一件十分麻烦的事。经过的超越函数，求其拉氏反变换是一件十分麻烦的事。经过数学家们的努力，寻找了一种数学家们的努力，寻找了一种z z变换法，在这种变换下，使变换法，在这种变换下，使原来的原来的s s超越方程变成了一个以超越方程变成了一个以z z为算子的代数方程，这一方为算子的代数方程，这一方法的引入使采样系统的分析在理论上有了大的发展。法的引入使采样系统的分析在理论上有了大的发展。Z Z 变换变换与拉氏变换有类似之处。拉氏变换的每一

2、种运算规则都有一与拉氏变换有类似之处。拉氏变换的每一种运算规则都有一个相应的个相应的z z变换应用。通过这种类比，对理解和掌握变换应用。通过这种类比，对理解和掌握z z变换是变换是有益的。有益的。2.2.定义定义 令 Z=或 s-laplace算子 Z是用复数Z平面定义的一个复变量，T采样周期。0()()()nnFsf nT ZF ZTse1lnsZT3.3.说明说明 Z Z变换是对连续函数采样后的采样函数的拉代变换变换是对连续函数采样后的采样函数的拉代变换,只在采样只在采样点上的信号起作用。点上的信号起作用。F(Z)=ZfF(Z)=Zf*(t),(t),有时简写有时简写F(Z)=Zf(t)F

3、(Z)=Zf(t)不同连续信号可能对应相同的不同连续信号可能对应相同的Z Z变换变换,由于由于Z Z变换是对连续信号变换是对连续信号的采样信号进行变换，不同的连续信号，只要它们的采样信号的采样信号进行变换，不同的连续信号，只要它们的采样信号相同，相同，Z Z变换就相同。变换就相同。是一个对时间离散的函数，可以写成幂函数，是一个对时间离散的函数，可以写成幂函数，f(nTf(nT)表示幅值，表示幅值，表示时间，因此，表示时间，因此，F(Z)F(Z)包含采样的量值和时间两个信息。包含采样的量值和时间两个信息。120()()(0)()(2).nnF zf nT zff T zfT z4.Z4.Z变换求

4、解方法变换求解方法 1 1）级数求和法）级数求和法例，求单位价跃函数例，求单位价跃函数1 1（t t）的）的Z Z变换变换.12011111*()1()1()1.11lim(1)111nnnnnnnZtZtnT ZZZZqZZaqZZSq 2）部分分式法先求出系统连续部分的函数进行展开 形式逐项进行Z变换例求原函数)(1()1(1)(1)(atatatatezzezezzzzeZtZzFniiipsAsF1)(11)()()(assassasFatettf)(1)(例例1 求解求解F(s)=1/s(s+a)2的的Z变换变换312222221()()1110()2112()()a a()aaas

5、s aS S as asS S aasaaS S aF sssa解解:222002220000000d 113ds11121111()0022a F(S)()F(Z)Z(1-)(1)(1)()aTaTaTsasaaaaT ZeZZZaaaZ eZeaTaTaTaTaTssasaeaT eZeaTeaZZe 例例2 求解求解f(t)=sinwt的的Z变换变换 sin2j tj teetj由欧拉公式解解:0000000021ZZ Zsin-2Z-Z-2(Z-)(Z-)2 Z212Zsi j Tj Tj Tj Tj Tj Tj Tj Tj tj ttjeeZeejeeeejeeZZ有020n T2c

6、os1ZTZ5.Z5.Z变换的基本定理变换的基本定理(1)线性定理线性定理1212 Zax(t)aX(Z)ZX(t)X(t)X(Z)X(Z)0000001210200102000 X(Z)X(nT)ZaX(t)aX(nT)X(nT)aX(Z)ZX(t)X(t)X(nT)X(nT)X(nT)X(nT):nnnnnnnnnnnnZZaZZZZ有证明由12 X(Z)X(Z)(2)实数位移定理实数位移定理(a)迟后定理迟后定理-k00,(),ZX(t-kT)Z X(Z)tX tZ设在时 连续函数为零 其 变换存在 则证毕变换定义由证明 )Z(XZ Z)nT(XZ)T(X)0(XZ )Z X(nT)ZX

7、(TX(0)Z)KT-ZX(t 0)X(-TK)T-X(1)X(-kT )Z X(nT )ZX(TX(0)Z)Z-kTX(T)X(-kT Z)kTnT(X)kT-ZX(t Z:k-n010k-)n(k-01)(k-0k-0000)n(k-01)(k-0k-10000nn000 说明说明:(1)迟后定理说明迟后定理说明,原函数在时域中延迟原函数在时域中延迟K个个采样周期采样周期,相当于相当于Z变换乘以变换乘以 。(2)算子算子 的物理意义的物理意义:代表迟后环节代表迟后环节,它把采样信号延迟它把采样信号延迟K个采样周期。个采样周期。KZKZKZ(b)(b)超前定理超前定理K-100n 0()X(

8、Z)-X(n)TknZ X tkTZZ00001200000(!)00:ZX(tkT)()()(1)(2).().()(1).nnnkkkX nTkT ZX kTX kT ZX kT ZX nTkT ZZX kT ZX kT Z证明1(1)000(1).01(1)00100(0)().(1)()(1)(0)().(1)()()kkkkkkknnZXX T ZX kT ZX kT ZXKT ZXX T ZX kT ZZX ZX nT Z02200120001 (2)()(0)2 (2)()(0)().km ()()(0)()(2)mmmmkZ X tTZX ZZXkZ X tTZ X ZZ XZ

9、X TZ X tmTZ X ZZ XZX TZXT时时当时0 .(1)ZX mT例1:用实数位移定理计算延迟一个采样周期T的单位阶跃函数的Z变换。101111 Z1(t-T)1()ZZZZ ZtZ解：例例2：计算延迟一个采样周期的指数函数：计算延迟一个采样周期的指数函数 的变换的变换。ate.00-aT0-aT0-a t-T-1-1ZZ-e1Z-e ZeZ Z Z aTe解：(3)(3)复数位移定理复数位移定理)()(aTatZeFtfeZ 复数位移定理是仿照拉氏变换的复数位移定理导出复数位移定理是仿照拉氏变换的复数位移定理导出的，其含意是函数的，其含意是函数e*(t)乘以指数序列的乘以指数序

10、列的Z变换，就等于变换，就等于在在e*(t)的的Z变换表达变换表达Fz中用中用 取代原算子取代原算子Z。例：求例：求teat的的Z变换变换解：解：e(t)=t时时,Fz=Tz/(z-1)2则根据复数移位定理，有则根据复数移位定理，有Fteat=T(eat)/(eat-1)2aTZe(4)(4)终值定理终值定理t1()(),(z-1)X(z),lim()lim(1)()zX tZX Zx tzx z设连续时间函数的 变换为且在平面上以原点为圆心的单位圆上和圆外无极点 则有(5)(5)初值定理初值定理()(),lim(),x(0)lim()zzx tZX ZX ZX Z设函数的 变换为并且存在则：

11、例例3:设设Z变换函数为变换函数为:E(z)=0.792Z2/(z-1)(z2-0.416z+0.208)使用终值定理确定使用终值定理确定e(nTo)的终值的终值22010.792Z(1)(0.4160.208)1 lime(nT)lim(1)()lim(Z-1)1tZZZZZZE Z解：四、四、Z Z变换变换 Z Z反变换是已知反变换是已知Z Z变换表达式变换表达式F F（Z Z），目的是由象函数），目的是由象函数F(z)F(z)求求出所对应的采样脉冲序列出所对应的采样脉冲序列f f*（t)t)，记做，记做Z Z-1-1FF（Z Z）=f=f*（t t）Z Z反变换只能求出采样正数解中序列的

12、表达式，而不能求出它反变换只能求出采样正数解中序列的表达式，而不能求出它的连续函数的时间表达式，的连续函数的时间表达式，常用常用Z Z反变换法反变换法1.1.部分分式法（因式分解法，查表法）部分分式法（因式分解法，查表法）步骤：步骤：先将变换式写成先将变换式写成 ，展开成部分，展开成部分分式，分式，两端乘以两端乘以Z Z。查查Z Z变化表。变化表。ZZF)(1()niF ZAiZZZi1niAiZF ZZZi（）例例 已知已知 ，求，求Z反变换。反变换。解解:(1)(1)()aTaTeZF ZZZe（）aTaTaTeZAZAeZZeZZF211)(1(1)(11_11aTZaTeAZe1112

13、aTeZaTZeAaTeZZZZZF1)(查表得查表得 f（nT）=1-e-anTatetf1)()1()()1(0)()1()(*aTatTateTtetetf查表(n=0,1,2.)2.2.留数法（反演积分法）留数法（反演积分法）in-101n-11iZ Z11ii*000F(nT)resF(Z)Z 1 resF(Z)Z(Z-Z)()(1)!Z,r F(t)()()iiirlrnriiindF Z ZrdzlZF nTtnT为彼此不相等的极点总数为为重极点 的重复个数则例例 试用留数法求试用留数法求Z反变换。反变换。解：解：有有Z1=1和和Z2=0.5两个极点，极点处的公数两个极点，极点处

14、的公数)5.0)(1()(2zzzzF)5.0)(1()(11zzzzzFnnnnzznzzzzzzzs)5.0()5.0)(1()5.0(lim)5.0)(1(Re15.05.012)5.0)(1()1(lim)5.0)(1(Re1111zzzzzzzsnzzn()2(0.5)nf nT 所以：采样函数采样函数:00()()2(0.5)()()+1.5()+1.7 5()+1.8 1 5()+nnnffn Ttn Ttn Ttttt例例.试求试求 X(z)=z/(z-r)(z-1)2 的的Z反变换。反变换。解：解：)nT-(tr)-(11-r-1n)1(r )nT-(t)(t)X r)-(11-r-1n)1(r)X(nT -zdzd)1(R )1(r)-(ZR 2,2,1,1,)(00n22n000*22n0r)-(11r-1n1zn11)1)(2)!12(12211)-r)(Z-(ZZ12121222rnTXrrzzzrrZlrrZrZZXnznzrzzdzdnrZn则的极点为