数形结合思想在中学数学教学中的应用

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1、 . . 学习中心编号：_348_ 学习中心名称：_市技工学校_西南大学网络与继续教育学院毕 业 论 文数形结合思想在中学数学教学中的应用学生 _黄子平_ 学 号 _03类 型 网 络 教 育 专 业 _数学与应用数学（数学教育） 层 次 _专升本_指导教师 _ 黄 刚_ 日 期 _2017年3月25日_ 目录摘要1一、 数形结合得作用与地位1二、 结合中学生的特点，因材施教2（一）中学生的特点与数形结合思想教学的四个阶段2（二）数形结合数形能培养学生哪些方面的能力5（三）中学生怎样去形成用数形结合思想解题的能力6三、运用数形结合思想，提高学生分析问题、解决问题的能力8四、统观数形结合的思想方

2、法9完毕语10参考文献10数形结合思想在中学数学教学中的应用摘要数形结合是中学数学中最重要的思想之一，它是连接数学中具体问题与抽象问题之间的纽带，它既充分表达了学生的解题思维能力，又为后续的深入的高层次的学习打下基础。本文主要介绍了数形结合方法在中学数学教学中中渗透的原因和作用，数形结合的方法与思想在中学教学中的重要性，以与如何应用数形结合方法解决学习与生活中遇到的问题。关键词：数形结合； 数学教学； 实例应用一、数形结合得作用与地位对于广大学生而言，数形结合思想再熟悉不过。如何将抽象转化为具体，如何让原本复杂的容变得浅显直观，这是数学研究中的重要容，也是数形结合思想优势的表达。因此，数形结合

3、方法成为了中学数学中最常用的方法。中学数学的容极易区分，一部分为代数知识，另一部分则为几何知识。如何把这两个部分找到一个适宜的连接点，结合起来，就是数形结合中最为关键的部分。在中学数学的教学中，教会学生解题，学会运用所学的数学知识在考试中取得高分，是教学目标的一部分；同时引导学生积极思考，培养学生发散性思维以与创造性思维，也是新型教学目标的表达。采用数形结合方法来解决问题，既可以开拓解题思路，帮助学生充分开发大脑智力，养成形象思维的习惯，也能够在日常解题与考试中找到简便方法，节约时间，可谓是一举两得。二、结合中学生的特点，因材施教（一）中学生的特点与数形结合思想教学的四个阶段由于生理和心理的特

4、点，中学生的思维还处于从具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，因而基本上，他们的思维仍然有感性经验相关联。“数形结合”就是把抽象的“数”转化为具体的“形”，通过解决具体的“形”而达到解决抽象的“数”，这种思想正符合初中生的心理特点，乐于被他们承受。因此，作为一项教学改革，需要我们教师在教学中加强这方面的训练指导，也需要我们的中学生加强这方面的练习。对中学生来说，数形结合思想的形成一般要经历四个阶段。由于数形结合的思想以知识为载体，但数学知识是逐步深化的，这就导致了在知识的不同发展阶段对数形结合思想的不同层次的要求，因此在考虑实施数形结合思想教学时主要可分四个阶段进行。第一阶段渗透孕育起期。由于

5、学生刚升入中学，他们对数形结合的认识主要还停留在用线段图解应用题这种简单浅显的层次，因此这一时期的要求不能太高，因以“数轴”、“相反数”、“绝对值”、“有理数是计算”等容为载体，以数轴为结合点。在数学中提出数与形的问题，使学生感受到“数”与“形”间存在着相互联系、相互转化的辩证关系。并且通过问题的解决，察觉到数轴的作用。如：设点在数轴上的数为-3，点在数轴上，且点到点的距离是 5, 则点所表示的数是多少？这个对刚升入中学的学生来说比较抽象，若借助数轴将抽象的数的关系转化为直观的位置关系，则问题就容易解决了。第二阶段体会领悟期。这一时期，代数以“不等式”的知识为载体继续向学生介绍数形结合思想，使

6、学生明白如果不借助“数轴”这个工具，就不容易找出不等式组的解集。由此而领悟到，数形结合对解决数学问题不是可有可无的，而是一种非常重要的方法。另一方面，学生开始学习几何知识，几何入门比较难，但借助以学过的代数知识，将直观图形数量化转化为代数运算加以解决，可降低机几何学习的难度。具体的做法有：不考虑几何问题中的位置关系，直接采用代数和的方法解题。 例1、如图1，已知,为锐角, 平分, 平分 ，求的度数。OAAaBCMN（图1）解：通过几何知识的学习，使学生意识到数形结合思想不仅可以用“形”的直观表达抽象的数也可以将直观的图形数量化，转化为“代数运算” 进而解决问题。这种领悟可以使学生对知识的理解达

7、到更深刻的程度，同时也体会到数形结合思想在几何中也有广阔的应用背景。第三阶段形成尝试期。以平面几何知识为载体。由于知识深化“数” 与“形”之间的因果关系不那么明显，因此学生在解决问题时很难将“数”与“形”有效的结合进行思考。这个阶段的教学可分为两个层次进行：理解迁移。深刻理解数学知识中蕴含的数形结合思想，找出概念、定理、性质中“数”与“形” 的特征。如勾股定理，代数的特征是一个数的平方等于两个数的平方和。几何的特征是这三个数是某直角三角形的三边。解决相关问题时可以引导学生与已有的知识经验“直角三角形求线段长解方程”产生关联，找出解题途径。例2、 如图2，点是矩形一点，,求的长。分析 求线段的长

8、度需要有直角三角形，但图中没有现成的直角三角形，故需添辅助线。解：过作/交与,过 作/交与与,并设,， 则ABCDEFMN（图2）P即解得即提炼方法。作为第二层次的教学,应该引导学生从解决问题的技巧中提炼出蕴含数、形结合思想且又易于操作的方法。进而理解这些方法的实质。比如在一些问题的解决中,都用到从面积的角度去思考探索证明途径。这一技巧其实质就是利用公式(方程的思想)为问题的解决铺平道路。例3、 如图3，在等腰中,是底边上任一点,求到两腰的距离的和。ABCDEF（图3）P解： 过作于,作于,过作于,连接,，即,= ，即第四阶段应用发展期。这个阶段主要以方程、函数和知识为载体,以解决问题为主要教

9、学方式，突出数形结合思想在解题中的指导作用。指导学生正确、迅速地找出问题中数形转化的等价关系，展现由“数”思“形”,由“形”定“数”的思维过程。综上所述，在数学教学中应经常引导学生用图形直观地研究数、式问题，用数、式对图形性质进行更为丰富、精确、深刻的探讨。这对培养学生分析问题、解决问题的能力与用互相联系、互相转化的辩证唯物主义观点分析事物是大有裨益的。（二）数形结合数形能培养学生哪些方面的能力中学阶段，数形结合中的“形”是数轴、函数图像、几何图形等。“数”是指代数、三角形等。数形结合就是充分利用“形”的直观性和“数”的准确性，培养学生思维的灵活性、广阔性是初中数学中值得探索的方法，那么学好数

10、形结合究竟能提高学生哪些方面的能力呢？下面我将结合实际来谈谈。1、数形结合，培养解题思维的独创性思维的独立创造性是指敢于超越传统习惯的束缚，摆脱原有知识围和思维定势的禁锢，善于把头脑中已有的知识信息重新组织，产生具有进步意义的新设想和新发现。利用形的直观性,探寻到具有创新意识的简捷妙法，可避开繁琐运算，简捷解题，提高解题速度，达到培养思维的独创性之目的。2、形结合，培养解题思维的准确性正确是指解题结果完全符合预期的设想。在解题过程中，准确是解题的关键。数形结合，可用利用“形”的直观性提高“数”的准确性。3、数形结合，培养解题思维的广阔性思维的广阔性是指思维活动中避开单一狭隘的思维模式，对所学知

11、识融会贯通，多角度、全方位思考问题、解决问题的程度。思维越广解决处理的方法越多。利用数形结合，用大树知识解决几何问题或用几何知识解决代数问题，避免以代数解代数，几何解几何的单一模式。数形结合解题就是根据数量的特征与图形结构，使数与形相互转化，开辟解题新途径。4、数形结合,培养解题思维的灵活性思维的灵活性是指思维活动具有较高的灵活程度，能善于沿着不同角度，顺着不同方向，选择不同方法，对同一问题从多方位、多侧面的认识。数形结合思想引导学生多方位思考，审时度势，适时突破常规的思维定势，有利于培养解题思维的灵活性。（三）中学生怎样去形成用数形结合思想解题的能力在中学阶段数形结合思想具体表达在用代数方法

12、解决几何问题或几何方法解决代数问题。代数方法精确深刻，几何方法形象直观，两者的结合开辟了新的解题思路，能促进学生数学思维的发展。现在中学学生在代数中已经学过代数式、方程、函数，在几何中已经学过点、线、三角形、四边形、圆的知识，这两种学科间联系密切，是互相统一的。因此，我们必须重视数形结合的教学。1、加强学生对数形结合概念的理解代数和几何两种学科间的联系、两种知识面的统一是随着数轴、平面直角坐标系与函数的深入学习，才逐渐沟通与深化的。所以在这一段的教学中为使学生形成数形结合的统一意识，教师就要讲清数轴、平面直角坐标系、函数图像等的性质，应在知识领域理凸显数形结合的思想方法。2、坐标系的建立为数形

13、结合开拓了思路数形结合的载体是数轴，数轴能反映出数与点的对应关系，这是学生学习数学的一大飞跃。运用数形结合的思想方法思考问题，能给抽象的数量关系以形象的几何凸显，也能把几何图形问题转化为数量关系问题去解决。通过数形结合的数学思想方法来学习相反数、绝对值的定义、有理数大小比较的法则、函数等，可以大大降低学生这些知识的难度。数形结合思想的教学应贯穿于整个数学教学的是始终。3、注意培养学生用数形结合的数学方法分析问题、解决问题的能力不论用代数方法研究几何问题,还是用几何图形研究代数式，都贯穿着数形结合方法分析问题和解决问题的思想。因此教师应加强对学生的数形结合意识的渗透和能力的培养。我们可通过数量关

14、系的讨论来研究几何图形的性质，比如解析几何这门学科就是建立在这种思想方法的基础上，另一方面是利用几何图形的直观性，揭示数量关系的许多特征，深刻理解这一观点，有利于提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，提高学生的数学素养。如列一元一次方程解应用题的关键在于分析题中的数量关系，可以通过画直线形(或圆形)示意图直观地显示出来。一旦学生掌握了这种数形结合的分析方法，对较为复杂的习题就能独立分析和解决了。4、善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和相互位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是认识、掌握数形结合的重要

15、进程。（1）正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系观察图形，既要定性也要定量，借助图形来完成某些题时，仅画出示意图是不够的，还必须反映出图形中的数量关系。（2）切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性以性识图数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系，熟知这些对应关系，深化两者的联系，才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应图形的特征之间的关联，以求相辅相成，相互转化。（3）灵活运用“数”与“形”的转化，提高思维的灵活性和创造性在中学数学中，数形结合的思想和方法表达得最充分的是解析几何，此外,函数与图像之间，复数与几何之间的相互转化也充分表达了数形结合的思想和方法。通过联想找到数与形

16、之间的对于关系是实现转化的先决条件，而强化这种转化训练的则是提高思维的灵活性和创造性的重要手段。总之，在教学中教师应充分利用图形、图像，使学生正确理解和掌握所学的概念和知识，通过运用数形结合的思想方法实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观，让学生逐步理解数与形间的相互联系与转化的辩证。三、运用数形结合思想，提高学生分析问题、解决问题的能力代数法是利用数形结合解决问题的又一方法，是利用代数知识来解决几何问题的思考方法。其指导思想是利用数形结合的思想方法，根据形与数的在联系，对形的问题进行数的描述，把形的问题转化为数的问题，再有效地利用代数工具（代数式的恒等变形、方程（组）、函

17、数、不等式、行列式等）求得数的结果，通过对数的结果进行几何解释，得到形的结论。几何法是与代数法并列的利用数形结合解决问题的方法，是利用几何知识来解决代数问题的思考方法，其指导思想是数形结合的思想方法，根据形与数的在联系，对数的问题进行形的表述，把数的问题转化为形的问题，通过对图形的研究来推出数的结论，从而能使解题更加简捷、明晰。学生在动手画图和观察图形关系中经历“观察、实验、发现、猜想、归纳、验证”的过程，学生学习知识的能力和水平得到提高，数形结合的思想得到渗透和运用。数形结合是一个极富有数学特色的信息转换,由数想其形,由形研究数,数形互补。这成为沟通代数几何的桥梁,对简化解题过程,培养学生的

18、数学能力具有重要的作用。总之，数形结合思想主要表达在“数”和“形”的互相渗透和转化，不论从“形”到“数”，还是从“数”到“形”的目的都是提供一种灵活的解题思路，不能片面强调某一方面或者为所有问题都绞尽脑汁去几何化、数量化，强调数形结合思想是强调培养学生、训练学生养成由“形”到“数”，由“数”到“形”的解题思想。“数”和“形”是数学发展的两大支柱，“数”和“形”结合是研究数学的重要方法，在中学数学中数和形就如两栖动物一样既可以结合在一起互相利用，又可分别独立存在，只要我们在教学中重视恰当地渗透数形结合思想训练学生思维，对于提高学生的数学解题能力，培养学生的多向思维能力，开扩学生的解题思路都有独到

19、的好处。可见运用数形结合思想，抓住问题之间的联系是解决问题的关键，只有通过多次训练，才能养成这种筛选并迁移有用信息来解决问题的能力。四、统观数形结合的思想方法数形结合的这一数学思想方法，是数学基础知识的重要组成部分，是由知识转化为能力的桥梁，加强数形结合教学是进行素质教育的需要。古人说：“授之以鱼，不如授之以渔。”掌握了数形结合思想方法，才能使学生得其“渔”，使学生真正受益。在教学中运用这一方法，教师要进一步注重它的科学性和系统性，把有机渗透和明确述结合起来，在考虑对学生进行数学观念培养的同时，更高度重视数形结合等数学思想在解题中的指导作用。信息社会越来越多地要求人们自觉地运用数学思想来提出问

20、题、分析问题、解决问题、评价问题。要加强数形结合等数学思想方法的教学，努力提升学生应用数学知识的能力，使他们通过数学思想的不断积累，逐渐化为自己的经验，由知识型向能力型转化，不断地提高学习能力和学习水平，这样才能从根本上提高掌握数学知识。完毕语 由于“数形结合”具有形象直观、易于承受的优点，它对于沟通知识间的联系，活跃课堂气氛，开阔学生的思路，发展学生的智能，提高学生的数学水平有着独到的作用这种教学方法能够培养学生的创造思维能力和开拓精神，使学生充分扬个性，充分发挥潜能，真正实现个体的最优化发展参考文献1罗洪信在初中数学中蕴藏着数形结合思想M.市教育学院学报，2001，15（2）：58-612九年义务教育初中数学教学大纲M.:人民教育，20003九年义务教育初中数学课本M.:人民教育，20034中华人民国教育部.全日制义务教育数学课程标准S.:师大学,20015肖鸣.浅谈初中数学中的数形结合思想的教学M.教育学院学报，1999，2，62-656小菲.初中代数中的数形结合教学J.师专学报（自然科学版），2001，23：16-187吴水英.谈初中数学中的数形结合教学J. 师学院学报，2001，23：16-1812 / 12