（江苏专用）2021版高考数学总复习第十四章第二节排列与组合课时作业苏教版

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1、（江苏专用）2020版高考数学总复习第十四章第二节排列与组合课时作业苏教版第二节排列与组合课时作业练1.(2018江苏海安高级中学期中)利用排列数公式证明:1n+1An+1m+1=1n-mAnm+1.证明左边=1n+1An+1m+1=1n+1(n+1)!(n-m)!=n!(n-m)!=Anm,右边=1n-mAnm+1=1n-mn!(n-m-1)!=n!(n-m)!=Anm,所以原命题得证.2.(2019江苏无锡高三模拟)平面内有9个点,其中有4个点共线,其余任何3点不共线,问:(1)过任意两点作一条直线,这样的直线有多少条?(2)能确定多少条射线?(3)能确定多少个不同的圆?解析(1)共线中的

2、4点任取两点构成同一直线,有1条;在共线的4点中任取1点,从共线之外的5个点中任选1个点,可构成45=20条;在共线的4点中不取,从共线之外的5个点中任选2个点,可构成C52=10条,故一共有1+20+10=31条.(2)任取两点都有2条射线,所以共有A92=72条射线.(3)从共线之外的5个点中任选3个,故有C53=10个圆,从共线的4点中任选1个,从共线之外的5个点中任选2个,故有C41C52=40个圆,从共线的4点中选2个,从共线之外的5个点中任选1个,故有C42C51=30个圆,故能确定10+40+30=80个圆.3.(2019南京、盐城高三模拟)已知nN*,且n4,数列T:a1,a2

3、,an中的每一项均在集合M=1,2,n中,且任意两项不相等.(1)若n=7,且a2a3a4a5a6,求数列T的个数;(2)若数列T中存在唯一的ak(kN*且kak+1,求所有符合条件的数列T的个数.解析(1)当n=7时,M=1,2,7.则数列T的个数为C72C22=42.(2)当k=1时,则a1a2,a2a3an,此时a2为1,a1共有n-1种选法,余下的n-2个数按从小到大依次排列,共有1种,因此k=1时,符合条件的数列T共有n-1=Cn1-1个.当2kn-2时,则a1a2ak+1,ak+1ak+2an.从集合M中任取k个数按从小到大的顺序排列,再将余下的n-k个数,按从小到大的顺序排列,得

4、到满足条件a1a2ak,ak+1ak+2an的数列的个数为CnkCn-kn-k,这里包含了akak+1,即a1a2akak+1ak+2an的情况,因此符合条件的数列T的个数为CnkCn-kn-k-1=Cnk-1.当k=n-1时,则a1a2an,此时an-1为n,an共有n-1种选法,余下的n-2个数按从小到大依次排列,共有1种,因此k=n-1时,符合条件的数列T共有n-1=Cnn-1-1个.于是所有符合条件的数列T的个数为Cn1-1+Cnk-1+Cnn-1-1=Cn1+Cnk+Cnn-1-n+1=2n-Cn0-Cnn-n+1=2n-n-1.4.(2018江苏,23,10分)设nN*,对1,2,

5、n的一个排列i1i2in,如果当sit,那么称(is,it)是排列i1i2in的一个逆序,排列i1i2in的所有逆序的总个数称为逆序数,例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序,即(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记fn(k)为1,2,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.(1)求f3(2), f4(2)的值;(2)求fn(2)(n5)的表达式(用n表示).解析(1)记(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有(123)=0,(132)=1,(213)=1,(231)=2,(312)=2,(321)=3,所以f3(0)=1, f3(1)=f3(2)=

6、2.对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5.(2)对一般的n(n4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12n,所以fn(0)=1.逆序数为1的排列只能是将排列12n中的任意相邻的两个数字调换位置得到的排列,所以fn(1)=n-1.为计算fn+1(2),当1,2,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此, fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n.当n5时, fn(2)=fn(2)-fn-1(2

7、)+fn-1(2)-fn-2(2)+f5(2)-f4(2)+f4(2)=(n-1)+(n-2)+4+f4(2)=n2-n-22.因此,当n5时, fn(2)=n2-n-22.基础滚动练(滚动循环夯实基础)1.设a,bR,a+bi=11-7i1-2i(i为虚数单位),则a+b的值为.答案8解析因为a+bi=11-7i1-2i=(11-7i)(1+2i)(1-2i)(1+2i)=5+3i,所以a=5,b=3,a+b=8.2.下图是一个算法流程图,则输出的n的值是.答案5解析该流程图共运行5次,各次2n的值分别是2、4、8、16、32,所以输出的n=5.3.(2018江苏高考信息预测)若半径为336

8、的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等,则长方体的表面积为.答案88解析由题意知球的体积为43r3=4336=48,则长方体的高为4864=2,故长方体的表面积为2(64+42+62)=88.4.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线的渐近线方程为y=x,且它的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点重合,则该双曲线的方程为.答案y2-x2=2解析抛物线x2=8y的焦点(0,2)是双曲线的一个焦点,c=2.又由渐近线方程为y=x,得a=b=2,则该双曲线的标程是y2-x2=2. 5.直线ax+y-2=0与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,若CACB=-2,则a=.答案3解析CACB=|

9、CA|CB|cosACB=4cosACB=-2,cosACB=-12,ACB=23.则圆心C(0,0)到直线ax+y-2=0的距离为1,即2a2+1=1,解得a=3.6.若实数x、y满足x2+y2=2(x+y),则x+y的最大值是.答案4解析因为x2+y2=(x+y)2-2xy=2(x+y),所以(x+y)2-2(x+y)=2xy(x+y)22,即12(x+y)2-2(x+y)0,0x+y4,故x+y的最大值是4.7.已知数列an满足i=1nai2i-1=3n+1(nN*),则数列an的通项公式为.答案an=9,n=16n,n2解析由i=1nai2i-1=3n+1得i=1n-1ai2i-1=3

10、n(n2),an2n-1=3n+1-3n=23n(n2),则an=2n3n=6n(n2),又a120=9,所以a1=9.故数列an的通项公式是an=9,n=1,6n,n2.8.(2018江苏天一中学高三质量检测)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点D是BC的中点.(1)求证:A1C平面AB1D;(2)设M为棱CC1上的点,且满足BMB1D,求证:平面AB1D平面ABM.证明(1)记A1BAB1=O,连接OD.四边形AA1B1B为矩形,O是A1B的中点.又D是BC的中点,A1COD. A1C平面AB1D,OD平面AB1D,A1C平面AB1D. (2)ABC是正三角形,D是BC的中点,ADBC. 平面ABC平面BB1C1C,平面ABC平面BB1C1C=BC,AD平面ABC,AD平面BB1C1C.BM平面BB1C1C,ADBM.BMB1D,ADB1D=D,AD,B1D平面AB1D,BM平面AB1D,又BM平面ABM,平面AB1D平面ABM.10