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1、中南林学本科课程设计说明书学 院： 理学院专业年级：2008级信息与计算科学二班课 程：科学计算课程设计论文题目： Laplace 方程九点差分格式指导教师：陈宏斌2011年6月Laplace方程九点差分格式二维椭圆边值问题的九点差分格式1问题：Laplace方程-（、x + %y）=O，（x，y）cG,G是xy平面上一有界区域，其边界为分段光滑曲线.在ru满足下冽边值条件：|r = a（x, y）（Drichlet边值条件）.在此考虑G为正方形区域，G=（x,y） axb, ayb）.背景：拉普拉斯方程（Laplacesequation）,又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。 因为由法
2、国数学家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力 学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力 场和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。2区域剖分区域G是一个正方形区域，边界axb,ayb.分别沿x, y轴，在a,b上取N+1个节 点：a = xQxl-xN=b,a = yQ）-上 1） - 2“（看,）+- 2（“（x,.i,力）-2“（无,为）+方）+“3+1,为 _i） 一 2“（耳,为 _】）+ （Xi, yM）+ J_ （.,为.J _2 &%（，为）+ 8%（x.,ys）|+ 芹伊”（.,丁1）_2
3、“（土,为）* 86“3，），h）* 舟 “（，匕）12 _ 一 a?360 一亦_ a? 亦12 ox24/?4 罗（.,“） *360项?6）=（3+1，）引一2”（.、,匕.1）+3_1，引一2（“（,为）一2“（,为）+ “3_1，匕）+“0.1，），尸）一2“（耳,为_） + （七1，片_1）/广 8%（w）1 */?命0,匕）/?4 丸3，匕）Z/4 8%3，匕）+ 12+12 Sr4 +12 II 8/加*360 &*360*）=（3+1，）引一2”（.、,匕.1）+3_1，引一2（“（,为）一2“（,为）+ “3_1，匕）+“0.1，），尸）一2“（耳,为_） + （七1，片_
4、1）1 */广罗0,为）/广籍心,坊）/?4 8命（耳,匕）612 12 dx4d 360 dx62360 8世、=（3+1，）引一2”（.、,匕.1）+3_1，引一2（“（,为）一2“（,为）+ “3_1，匕）+“0.1，），尸）一2“（耳,为_） + （七1，片_1）h4 我0 g）+；7720击尽6+咐6）因此A （ a, 2铲莒CW）沥（I ）禹心山）=八心山）3飞云+1T，仇知，山）-2低+（、心1）-2（ （知,印-2 心,”+（、，”）+（知，）-】）-20.,”_i）+0t，）W）,、h2 h4 8七（气,为）2铲（osw（x., y.） 洲（气,y,）、+ A（x, 为）-e
5、 72。8亍印 6 + 忑：1edx3 世 s舍去截断误差项，可得Laplace方程的九点差分格式T7v20wfJ + 4ijj + 4u/+lJ + 如寸+ 4uiJ+1 + u,. + ij,* + w/+1,；-i+W/+u+i O/l从而可得差分算子-,的截断误差h2 h4 洲0,为）2h6 （58w（xf.,yy）罗（知为）、R- -（W） = - H76 720 8Fdy6 8!9：1Z-dxdy+ 0（/-）=040/16*加| =顽其中Ms是u的8阶偏导数的绝对值于考虑区域G的上确界，啊 +cosy);0xL0yl&ql&pl&qN-lb(p,q)=Tap9_u(c,y (q-
6、1) )-4*lap9_u (c, y (q) )-lap9_u (c, y (q+1);endendendend%对矩阵u赋初值for p=l:N-lfor q=l:N-luO (p,q)=l;endend自赋值给矩阵Al、A2bll=-20*ones(1ZN-1);b22=4*ones(l,N-2);b33=ones(1,N-2);b44=4*ones(1,N-1);Al=diag(bll)+diag(b22,1)+diag(b22,-1);A2=diag(b33,1)+diag(b33,-1)+diag(b44);%用块Gauss-Seidel迭代法解Au=bfor m=l:100ul(
7、1, :)=inv(Al)*(-A2*uO(2z :) +b (1,:);for k=2:N-2ul(k,:)=inv(Al)*(-A2*ul(k-1,:),-A2*uO(k+lz:)+b(k,:)1);endul (N-lz :)=inv(Al) * (-A2*ul (N-2, :) f+b(N-l, :);u0=ul;enddisp(数值解:);disp(ul);为真值for p=l:N-lfor q=l:N-lt(p,q)=lap9_u(x(p),y (q)；endenddisp (精确解:);disp (t);画图x=a+h:h:c-h;yl=x;Xz Y=meshgrid(x, yl);subplot(2,1,1);mesh(X,Y,ul);title (数值解曲面，)；subplot (2,1,2);surf(X,Y,t);title （精确解曲面,）;
Laplace九点差分格式
