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1、极化恒等式引例：平行四边形是表你能用向量方法证明：等于两条邻边平方和的示向量加法和减法的几何模型。平行四边形的对角线的平方和两倍证明:不妨设ABa,ADb,则ACab,DBab,AC22AC*a-2bia22a*bb22*T2ia2*DBDBab2abb2（1）2（1）（2）两式相加得:AC2DB2ia2结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍思考1:如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？2-2ab=-abab极化恒等式4对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行
2、四边形的“和对角线”与1“差对角线”平方差的1.4-122即：abTACDB|（平行四边形模式）4思考：在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何表示呢？1因为AC2AM，所以abAM|DB（三角形模式）ABC中，M是BC的中点，AM3,BCABC中，M是BC的中点，AM3,BC10,则M例1.（2012年浙江文15）在UJUuuuABAC目标检测（2012北京文13改编）已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，贝VDEDA的值为.例2.（自编）已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O,点P是圆O上的一个动点,则PAPB的取值范围是.目标检测22（2010福建文11）若点
3、O和点F分别为椭圆冷号1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，贝VOPFP的最大值为（）A2B.3C.6D.8uuuuuuuuruuir上任点P，恒有PBPCRBPC。则（)A.ABC90oB.BAC90C.ABACD.ACBC1例3.（2013浙江理7）在ABC中，Po是边AB上一定点，满足F0B-AB，且对于边AB4例4.（2017全国2理科12）已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,uuuuuuuuu则PA(PBPC)的最小是()A.2B.C.D.1课后检测1.在ABC中，BAC60若AB2,BC、3,D在线段AC上运动，DBDA的最小值为2.已知AB是圆O的直径，A
4、B长为2,C是圆O上异于A,B的一点，P是圆O所在平面上uuruuu任意一点，则PAPBuuuPC的最小值为3.在ABC中，AB3,AC4,BAC60，若P是ABC所在平面内一点，且uuruuuAP2，则PBPC的最大值为24.若点O和点F(2,0)分别是双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线amuurn右支上任意一点则OPFP的取值范围是.5.在RtABC,ACBC2，已知点P是ABC内一点，贝UPC(PAPB)的最小值是.值是.6.已知A、B是单位圆上的两点,O为圆心，且AOB120o,MN是圆O的一条直径,点C在圆内，且满足OC点C在圆内，且满足OCOA(1)OB(01),则C
5、MCN的取值范围是()A.11B.1,12J3?0D.1,0A.A.B.C.22D.&在锐角ABC中，已知Buuu-，AB3LULTACuununr2，则ABAC的取值范围是（2008浙江理9）已知a,b是平面内2个互相垂直的单位向量，若向量c满足9.（ac）（bc）0,则c的最大值是（）l丘A.1B.2C.2D.2平面向量基本定理系数的等和线【适用题型】平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。【基本定理】（一）平面向量共线定理uuurOC，若uuu已知OAuuuOB1，贝UA,B,C三点共线；反之亦然（二）等和线ULLUUUU平面内一组基底OA,OB及任一向量U
6、LLUUUU平面内一组基底OA,OB及任一向量uuuOP，uuuuuuOPOAmuOB(,R），若点P在直线反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。（1）当等和线恰为直线AB时，k1；（2）当等和线在0点和直线AB之间时，k（0,1）；（3）当直线AB在点O和等和线之间时，k（1,）；（4）当等和线过O点时，k0；（5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；AB上或者在平行于AB的直线上，则k（定值），1、2、3、则需要uuuruuu若OCxOA跟踪练习：已知O为ABC的外心，若cosABC1uult，AOuuuABuurAC，则【解题步骤及说明】确定等值线为1的线
7、；平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。【典型例题】uuuuuu例1、给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为1200，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧Ab上变动。uuuyOB，其中x,yR，则xy的最大值最大值为例2、在平面直角坐标系中,O为坐标原点，两定点UUUUULTA,B满足|OA|OB|UUUUUUO
8、AOBUUUUUUUUU则点集P|OPOAOB,|1,R所表示的区域面积为AOB600，C为弧AB上不与代B重合的一个动点,LUUUUUUUUOCxOAyOB，若uxy(例3、如图，在扇形OAB中,0）存在最大值，则的取值范围为跟踪练习：在正方形UUIUUUUT设AExADABCD中，E为BC中点，P为以AB为直径的半圆弧上任意一点,UUUyAP，则2xy的最小值为.【强化训练】1、在正六边形ABCDEF中，P是三角形CDE内（包括边界）的动点，UUUUUUUUUTAPxAByAF，则xy的取值范围.2、如图，在平行四边形ABCD中，M,N为CD边的三等份点,S为AM,BN的交点，P为边AB上
9、的一动点,Q为SMN内一点（含边界），若PQuuuuuurxAMyBN，则xy的取值范围PB123、设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点，AD-AB,BEBC，若23uuruuruurDEiAB2AC（i,2为实数），则i2的值为.4、梯形ABCD中，ADUULffUUU括边界），APxABAB，ADDC1，AB3，P为三角形BCD内一点（包UULTyAD，则xy的取值范围.UUUUUU-UUUUUU5、已知|0A|1,|OB|.3，OAOB0，点C在AOB内，且AOC300，设UUTOCUUUmOAUUUnOB，6、在正方形ABCD中,uultuuur点，设ACxDEE为AB中点，P为以
10、A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意UUUyAP，贝Uxy的最小值为.ULUUUULT7、已知|OM|ON|UUU1,OPUUUUUULTxOMyON（x,y为实数）。若PMN为以M为直角顶点的直角三角形，则xy取值的集合为8、平面内有三个向量ULLTUUU|OA|OB|1UUTULUUULTUUUUUUnUUUUULTnOA,OB,OC，其中OA,OB夹角为1200,OA,OC的夹角为30，且UULTUUUUUTUUU|OC|2一3,若OCmOAnOB,贝Umn的值为9、如图，A,B,C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D,umr若OCuuruuumOAnOB,则mn的取值范围为DBOAC10已知O为ABC的外心，若A(0,0),B(2,0)，AC1,BACuuruuuuuur11、已知a,b是两个互相垂直的单位向量，且rrrrcacb1，则对任意的正实数t,AOABAC，贝U=.rr1r|ctab|的最小值为
向量的极化恒等式与等和线的应用学生版
