2022年模块四三角函数、三角恒等变换及解三角形

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1、精品资料欢迎下载模块四三角函数、三角恒等变换及解三角形考纲解读高考大纲考试内容要求层次A B C 三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式任意角的概念和弧度制弧度与角度的互化任意角的正弦、余弦、正切的定义用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切诱导公式同角三角函数的基本关系式三角函数的图像与性质周期函数的定义、三角函数的周期性函数xysin，xycos，xytan的图像和性质函数)sin(xAy的图像三角函数的最值与综合应用用三角函数解决一些简单的实际问题三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式简单的恒等变换正弦、余弦定理及解三角形正弦定理、余弦定理解三

2、角形分析解读从考纲内容来看，主要考点有：（1）了解任意角、弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的互化。精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 18 页精品资料欢迎下载（2）会判断三角函数值的符号。（3）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。（4）能利用单位圆中的三角函数线推导出2，的正弦、余弦、正切的诱导公式，会用三角函数线解决相关问题。（5）理解同角三角函数的基本关系式：1cossin22xx，xxxtancossin，熟练运用公式化简、求值与证明简单的三角恒等式。（6）灵活运用函数xysin，xycos，xytan的性质解决简单三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期等问题

3、，并能解决与三角函数有关的问题。（7）能灵活应用函数BxAfy)(（其中f为“sin”“c o s”“t a n”）的图像及其简单性质解决与之相关的一些实际问题。（8）运用三角公式进行三角函数式的化简、求值以及利用三角知识解决相关实际问题。（9）掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。（10）能运用上述公式进行简单的三角函数化简、求值和恒等式证明。（11）掌握正弦定理、余弦定理解任意三角形的方法。（12）会利用数学建模的思想，结合三角形的知识，解决生产实践中的相关问题。知识导航任意角的概念角度制、弧度制弧长面积公式任意角的三角函数同角三角函数诱导

4、公式差角公 式和角公式倍角公式正弦、余弦、正切函数的图像和性质)sin(xAy的图像和性质三角函数式的计算与化简、证明三角恒等式正弦、余弦定理解三角形精选学习资料 -名师归纳总结-第 2 页，共 18 页精品资料欢迎下载考点剖析考点一三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式1、弧度的概念与公式分类定义（公式）1 弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，用符号 rad 表示弧度制（弧长用l表示）角度与弧度的换算弧长公式扇形面积公式2、任意角的三角函数定义：设是一个任意大小的角，角终边上任意一点P的坐标是，它与原点的距 离 是，那 么 角的 正 弦、余 弦、正 切、余 切、

5、正 割、余 割 分 别 是.这六个函数统称为三角函数。3、同角三角函数的基本关系平方关系：；商数关系：；倒数关系：4、诱导公式角函数正弦余弦记忆口诀函数名不变符号看象限rlrad1745.0180130.57180rad,rl2|2121rlrS扇形yx,)0(rryrxryxxyrxrycsc,sec,cot,tan,cos,sin1cossin22cossintan1cottank2sincossincossincossincos2sincos精选学习资料 -名师归纳总结-第 3 页，共 18 页精品资料欢迎下载函数名改变符号看象限考点二三角函数的图像1、三角函数线：设角的终边与单位圆交于

6、点，过点做轴于，过点做单位圆的切线，与角的终边或终边的反向延长线相交于点，则有向线段分别叫做角的正弦线，余弦线，正切线.2、三角函数的图像（A、0）定义域R R R 值域R R 周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当非奇非偶当奇函数单调性上 为 增 函数；上 为 减 函数（）；上 为 增 函数上 为 减 函数（）上为增函数（）上 为 减函数（）上为增函数；上为减函数（2cossin2cossin23cossin23cossinPPxPMM)0,1(ATAPOMMP,xAysin 1,1 1,1AA,222,0,022,22kk223,22kkZk2,12kk12,2kkZkkk2,2Zk1,k

7、kZk)(212),(22AkAk)(232),(22AkAkZkZkkxRxx,21|且ZkkxRxx,|且xycotxytanxycosxysin精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 18 页精品资料欢迎下载考点三三角函数的性质及其应用三角函数性质的应用，主要是通过三角恒等变换将其转化为sin()yAx或)cos(xAy的形式，通过换元，转化为求xysin或xycos的周期、最值、单调区间。1、三角函数周期的求法：定义法、公式法、转化法2、图像变换图像变换是三角函数的重点内容之一。函数的各种变换都是对自变量x 或函数值 y 进行的变换。图像变换与函数变换紧密相连，相位变换是用x来代

8、替 y=f(x)中的 x，周期变换是用)0(x代替 x，振幅变换是用Ay来代替 y(A0).3、三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，然后通过同解变形或利用函数结合的方式来求解。若对函数利用描点法画图，则根据函数图象的直观性可迅速获解。4、判断函数的奇偶性，应首先判断函数定义域的对称性。考点四三角函数的最值求 三 角 函 数 的 值 域 是 常 见 题 型.一 类 是型，这 要 变 形 成；二是含有三角函数复合函数，可利用换元、配方等方法转换成一元二次函数在定区间上的值域.考点五根据图像确定函数解析式求三角函数的解析式，即求三角函数式hxAy)sin(中的参数，可借助

9、于图像的直观性，结合各个参数的几何意义求解；若能用好它与函数sinyx图像上五个特殊点的对应关系可简化运算。考点五)sin(xAy的图像和性质的综合应用1、几个物理量：A振幅；1fT频率（周期的倒数）；x相位；初相；xbxaycossin)sin(22xbay精选学习资料 -名师归纳总结-第 5 页，共 18 页精品资料欢迎下载2、“五点作图法”：，依点与，求出，依次为令yxx22320（x，y）作图象。3、图像变化规律：平移变换、伸缩变换函数sin()yAxk的图象与sinyx图象间的关系：函数sinyx的图象纵坐标不变，横坐标向左（0）或向右（0）平移|个单位得sinyx的图象；函 数si

10、 nyx图 象 的 纵 坐 标 不 变，横 坐 标 变 为 原 来 的1，得 到 函 数sinyx的图象；函 数sinyx图 象 的 横 坐 标 不 变，纵 坐 标 变 为 原 来 的A 倍，得 到 函 数sin()yAx的图象；函数sin()yAx图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k）或向下（0k），得到sinyAxk的图象。考点六三角函数的求值与化简1、两角和与差的三角函数公式2、二倍角公式3、半角公式，coscossinsin)sin(sinsincoscos)cos(tantan1tantan)tan(cossin22sin2222sin211cos2sincos2cos2tan1tan

11、22tan2cos12sin22cos12cos2cos1cos12tan2sincos1cos1sin2tan精选学习资料 -名师归纳总结-第 6 页，共 18 页精品资料欢迎下载考点七正弦、余弦定理1、正弦定理：（指 ABC外接圆的半径）注：正弦定理的一些变式：sinsinsini a b cABC；sin,sin,sin22abiiABCRR2cR；2sin,2sin,2 siniiiaRA bRB bRC；已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.2、bcacbAAbccba2coscos2222222余弦定理：（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求

12、角.）考点八解三角形及其综合运用1、解三角形是指已知三角形中的部分元素运用边角的关系求得其他的边角的问题.常用的定理公式有：（1）内角和定理:结合诱导公式可减少角的个数（2）正弦定理、余弦定理（3）勾股定理:（4）面积公式：111sin()222aSahabCr abc（其中r为三角形内切圆半径）.2、三角函数的应用是指用三角函数的理论解答生产、科研和日常生活中的实际应用问题.他的显著特点是：（1）意义反映在三角形的边、角关系上，有直角三角形，也有斜三角形.（2）函数模型多种多样，有三角函数，有代数函数，有时一个问题中三角函数与代数函数并存.解三角函数应用题一般首先审题，三角函数应用题多以“文

13、字语言，图形语言”并用的方式，要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路；其次，RCcBbAa2sinsinsinR)sin21sin21sin21(BacAbcCabSCBA222cbaABCRt中精选学习资料 -名师归纳总结-第 7 页，共 18 页精品资料欢迎下载寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式来思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.真题演练

14、1.【2009 北京,5,5 分】“2()6kkZ”是“1cos22”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C 充分必要条件 D既不充分也不必要条件举一反三1.1【2012 山东,7,5分】若42，3 7sin 2=8，则 sin=（A）35（B）45（C）74（D）341.2【2011 课标,5,5分】已知角 的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线 y=2x 上，则 cos2=（）A.54B.53C.53D.541.3【2012 全国,7,5分】已知 为第二象限角，33cossin，则 cos2=(A)5-3（B）5-9 (C)59 (D)532.【2011 北京,9

15、,5分】在ABC中。若 b=5，4B，tanA=2，则 sinA=_；a=_。精选学习资料 -名师归纳总结-第 8 页，共 18 页精品资料欢迎下载举一反三2.1【2012 辽宁,7,5分】已知sincos2，(0，)，则tan=(A)1 (B)22 (C)22 (D)1 2.2【2012 重庆,13,5分】设ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，且53cosA，135cosB,3b则c2.3【2012 四川,4,5分】如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使1AE，连接EC、ED则sinCED（）A、3 1010 B、1010 C、510 D、5153.【2010 北京,

16、10,5分】在ABC中，若21,3,3bcC，则_a举一反三3.1【2012 天津,6,5分】在中，内角 A，B，C所对的边分别是，已知 8b=5c，C=2B，则 cosC=（A）（B）（C）（D）3.2【2011 辽宁,4,5 分】ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a2，则abA2 3B2 2C3D2ABCcba,2572572572524精选学习资料 -名师归纳总结-第 9 页，共 18 页精品资料欢迎下载3.3【2008 浙江,13,4分】在 ABC中，角 A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（3b-c）cosA=acosC，则 co

17、sA=4.【2012 北京,11,5分】在 ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=41，则 b=_。举一反三4.1【2012 湖北,11,5分】设的内角，所对的边分别为，.若，则角4.2【2011 重庆,6,5分】若ABC的内角,A B C所对的边,a b c满足22()4abc，且060C，则ab的值为（A）43 (B)84 3 (C)1 (D)234.3【2012 安徽,15,5分】设ABC的内角,A B C所对的边为,a b c；则下列命题正确的是_若2abc；则3C若2abc；则3C若333abc；则2C若()2ab cab；则2C若22222()2abca b；则3C5.【201

18、2 北京,15,13分】已知函数xxxxxfsin2sin)cos(sin)(。（1）求)(xf的定义域及最小正周期；（2）求)(xf的单调递增区间。ABCABCabc()()abc abcabC精选学习资料 -名师归纳总结-第 10 页，共 18 页精品资料欢迎下载举一反三5.1【2012 课标全国,9,5分】已知0，函数()sin()4fxx在(,)2上单调递减.则的取值范围是（）()A1 5,2 4()B1 3,2 4()C1(0,2()D(0,25.2【2011 安徽,9,5分】已知函数 f（x）=sin（2x+?），其中?为实数，若)6()(fxf对xR恒成立，且)()2(ff，则

19、f（x）的单调递增区间是（）A.)(6,3Zkkk B.)(2,ZkkkC.)(32,6Zkkk D.)(,2Zkkk5.3【2012 重庆,18,13分】设)2cos(sin)6cos(4)(xxxxxf，其中.0（）求函数)(xfy的值域（）若)(xfy在区间2,23x上为增函数，求的最大值.6.【2011 北京,15,13分】已知函数()4cossin()16f xxx。（）求()f x的最小正周期；（）求()f x在区间,64上的最大值和最小值。举一反三6.1【2012 全 国,14,5分】当 函 数)0(cos3sinxxxy取 得 最 大 值 时，x=_.精选学习资料 -名师归纳总

20、结-第 11 页，共 18 页精品资料欢迎下载6.2【2012 天津,15,13分】已知函数（）求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的最大值和最小值.6.3【2010 湖北,16,12分】已知函数f（x）cos（3x）cos（3x），g（x）12sin2x14.（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数h（x）=f（x）g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x 的集合。7.【2010 北京,15,13分】已知函数2()2cos2sin4cos,f xxxx（I）求()3f的值；（II）求()fx 的最大值和最小值.举一反三7.1【2012 湖南,6,5分】函数f（x）=sinx-c

21、os(x+6)的值域为A -2,2 B.-3,3 C.-1,1 D.-32,32 7.2【2011 湖南,17,12分】在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且满足sincoscAaC.（I）求角C的大小；（II）求3sincos()4AB的最大值，并求取得最大值时角,A B的大小7.3【2010 重庆,16,13分】设函数22cos2cos,32xfxxxR。.,1cos2)32sin()32sin()(2Rxxxxxf)(xf)(xf4,4精选学习资料 -名师归纳总结-第 12 页，共 18 页精品资料欢迎下载（）求fx的值域；（）记ABC的内角 A、B、C的对边长分别为a

22、，b，c，若f B=1，b=1,c=3，求 a的值。8.【2009 北京,15,13分】在ABC中，角,A B C的对边分别为,3a b c B，4cos,35Ab.（）求sinC的值；（）求ABC的面积.举一反三8.1【2012 课标全国,17,12分】已知,a b c分别为ABC三个内角,A B C的对边，cos3 sin0aCaCbc（1）求A；（2）若2a，ABC的面积为3；求,b c.8.2【2012 浙江,18,14分】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知 cosA23，sinB5 cosC()求 tanC的值；()若a2，求ABC的面积8.3【2012 江西,17

23、,12分】在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c。已知4A，sin()sin()44bCcBa。（1）求证：2BC（2）若2a，求ABC的面积。精选学习资料 -名师归纳总结-第 13 页，共 18 页精品资料欢迎下载9.【2008 北京,15,13分】已知函数2()sin3sinsin2f xxxx（0）的最小正周期为（）求的值；（）求函数()f x在区间203，上的取值范围举一反三9.1【2012 浙江,4,5 分】把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），然后向左平移1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图像是 9.2【20

24、12 湖北,17,12分】已知向量，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且.（）求函数的最小正周期；（）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.(cossin,sin)xxxa(cossin,2 3cos)xxxb()f xa b()xRx1(,1)2()f x()yf x(,0)4()f x30,5精选学习资料 -名师归纳总结-第 14 页，共 18 页精品资料欢迎下载9.3【2010 广东,16,14分】已知函数()sin(3)(0,(,),0fxAxAx在12x时取得最大值4(1)求()f x的最小正周期；(2)求()f x的解析式；(3)若f(23+12)=125,求 sin 轻

25、松驿站古希腊的三角学史三角学像其他数学分支一样，也不是任何一个人或一个民族的工作。关于相似三角形的边之比的那些定理，古埃及人和巴比伦人早就知道并加以利用了。考虑到前希腊时代缺乏角的度量的概念，这样的研究最好是称作“三边学”，或三边形的度量，而不是“三角学”数学史要说起几何研究，从古埃及、巴比伦那里就已经开始，不管是研究圆，还是研究其他几何图形，三角形的影子绝对是随处可见。对三角形的研究应该是最为系统才对，不过一开始，对“边”的概念要比“角”的概念要深刻得多，所以早起的三角学严格来说更应该称之为“三边学”，关于三角形的边的很多定理早就被希腊人所熟悉，在研究圆的性质时，涉及到圆心角的定理，都是以弦

26、与弧的关系来建立的，这些结论若翻译成现代数学语言，那么你会发现其本质上就是如今的三角公式，比如欧几里得在几何原本就用几何语言描述了钝角和锐角的余弦法则；在阿基米德的著作中，也用几何方法描述了等同于“两角和与差的正弦公式”的定理 折弦定理。然而在亚历山大时代，这种纯粹的几何语言描述的局限性逐渐开始显现，特别是在埃拉托斯特尼与阿里斯塔克斯对天文学的研究中，对“角度与弦长的系统知识”的需求变得越加迫切。一：三角学的孕育阿里斯塔克斯一个最有名的论断，就是提出日心说，这比哥白尼的学说早1500 多年，不过这一学说的著作全部都失传，我们倒是有一篇名为论太阳和月亮的大小和距离的文章，这篇文章比提出日心说的时

27、间要早，因为其内容还是假定地球为中心。在这篇文章里，他观察到：当月亮刚好半满的时候，太阳和月亮的视线之间的夹角小于四精选学习资料 -名师归纳总结-第 15 页，共 18 页精品资料欢迎下载分之一圆的三十分之一。用现代语言来说，这意味着月亮与太阳的距离之比是sin3，阿里斯塔克斯利用他那个时代的定理，得出这个值的范围在1/20 到 1/18 之间，于是他断言：地球与太阳的距离之比大于它与月亮的距离18 倍，但小于 20 倍。这个结果跟现代的“约 400 倍”相差甚远，但是阿里斯塔克斯的计算方法是无懈可击的，错就错在观察结果上：视线的夹角应该是1/6 而不是 3。不过总比欧多克索斯的9 倍和菲迪亚

28、斯（阿基米德的老爸）的12 倍要好些。不仅如此，阿里斯塔克斯还利用他的观察计算出了太阳、月亮、地球的直径之比，虽然结果与真实相差甚远，但其中涉及到的数学特别是三角知识，绝对具有标志性。仅仅得到大小的比值当然不够，人类还想得到太阳月亮的确切大小，所需要的自然是地球的大小数据，于是，对地球半径的测量就变得必要起来。亚里士多德曾经得到的半径为 40000 英里，还有一些人的结果是30000 英里。一个更为准确、也更为著名的计算，要归功于埃拉托斯特尼。埃拉托斯特尼注意到，夏至那天的正午，太阳的光线直射进塞尼城的一口深井里，而在同一时间、同一经线上的亚历山大城，太阳光的投影表面：太阳距离定点之间的角度是

29、圆的五十分之一，如图所示：这意味着 SAZ是圆的五十分之一，自然弧长AS也是地球周长的五十分之一，测出塞尼城与亚历山大城之间的距离，就能得到地球的周长，大约为25000 英里。阿里斯塔克斯和埃拉托斯特尼的工作已经让大家感觉到，是有必要建立起专门的“角度”的学科了，而到这里，甚至于关于角度的测量都还没建立起来，有两个人的工作，把三角学向前推进了一步，值得我们提起希帕克斯和梅涅劳斯。二：三角学的过渡从希波克拉底到埃拉托斯特尼，希腊的数学家一直在研究直线与圆之间的关系，并且把这些关系应用于天文学，但是都没有产生系统的三角学，虽然人们已经注意到圆里面弧与弦的关系。一直到公元前2 世纪的下半叶，才由天文

30、学家希帕克斯编制出了第一章三角函数表，他因此获得了“三角学之父”的资格。其实阿里斯塔克斯就已经注意到，弧长与弦长之比，随着他们所对的圆心角的递减（从180 到 0）而递减，趋近于极限值1，我估计也不止他一个人知道，但不管怎么样，始终没有一个人把整个一系列角度所对应的弧弦之比列出一个表格出来。也许是因为天文观测的需要，埃拉托斯特尼完成了这一任务，这就精选学习资料 -名师归纳总结-第 16 页，共 18 页精品资料欢迎下载是人类数学史上的第一章三角函数表实际上就是不同角度的弦长与弧长之比。而梅涅劳斯这个名字，相信大家首先想到的就是那著名的“梅涅劳斯定理”，这个定理如此美妙，如果考虑进当时连系统的角

31、度制都还没有建立的社会背景，我们就不得不佩服他的工作。他对球面三角和平面几何的研究，在古代天文学中扮演着重要角色，他的著作是第一部三角学的系统作品，里面所涉及到的三角学结论也是开创性的。在希帕克斯和梅涅劳斯的工作下，三角学的系统建立犹如黎明前的最后一丝黑暗，最终在托勒密的怒吼下逐渐清晰可见。三：托勒密和海伦的工作托勒密是一位非常了不起的数学家和天文学家，我们对他的生平信息的了解依然很少，就好像我们对阿基米德和欧几里得的生平也基本上是一无所知一样。提起这个名字，大家印象最深的恐怕要数几何中著名的托勒密定理了。托勒密利用他所制定的法则，成功建立起一个更为详细的三角函数表，虽然这个表很有可能是参考了

32、希帕克斯的成果。360 度的角度制也就是从他这里开始走向正轨，虽然这并非托勒密的发明。在天文学中，他设计出了“均轮”的设想，以此来解决前辈们思想上的一些矛盾。但是这个思想太过于偏激，以致后来哥白尼看了以后也大呼受不了。他不接受埃拉托斯特尼估算的25000 英里的地球周长，而采用波西多尼乌斯的18000 英里，并且认为已知的欧亚世界占据地球圆周的180 度以上，而不是 130 度，这个巨大的错误让后来的航海家们（包括哥伦布）误认为，从欧洲向西航行到印度也许并不远。倘若哥伦布知道托勒密对地球尺寸的低估是多么离谱的话，他可能就不起航了。托勒密不仅热衷于天文学，还对光学感兴趣，在他的光学一书中，论述了

33、反射几何学，以及探索早期折射定律的早期努力。海伦这个名字大概也是因那著名的三角形面积公式而出名，这表明海伦在几何学中应该有颇深的造诣。我们从他的作品中得知，海伦的数学研究看来多偏向于实用性，不过正是他，将三角学玩弄得越发成熟。另外，他在科学史上被人铭记的原因，乃是因为他发明了一种原始型号的蒸汽机。但是，不管是你读了这篇文章也罢，还是读过托勒密和海伦的著作也罢，他们的工作实际上并没有对三角形的系统发展做出过多大贡献。实际上三角学也没有大的进展，只不过三角学作为一门学科的界限开始清晰起来而已。到了这里，也就是公元150 年前后，希腊数学实际上已经开始停滞，即便三角学有了一些发展，他的地位也仅仅是充

34、当天文学的测量工具而已。希腊数学从毕达哥拉斯就开始的“纯理论”上的发展，慢慢地向精选学习资料 -名师归纳总结-第 17 页，共 18 页精品资料欢迎下载实践靠拢，这正是希腊数学开始衰落的结果。有人把希腊数学的衰落归咎于希腊几何代数的不足和困难，另一些人则把他归因于罗马的寒冷气息。不管怎么说，希腊数学的确是开始停滞甚至于衰落了。不过在最终衰落之前，希腊数学却又一次得到了一次复苏，虽然此时的辉煌远不如“黄金时代”，这是希腊数学的小阳春，有时候被称作希腊数学的“白金时代”。这个时期的代表人物，有包括丢番图、帕普斯、普罗克洛斯在内的数学家。（来源：学夫子数学博客）精选学习资料 -名师归纳总结-第 18 页，共 18 页