03第三讲积分及其应用

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1、第三讲积分及其应用考纲要求1. 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念2. 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法和分部积分法3. 会求有理函数，三角函数有理式和简单无理函数的积分4. 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿莱布尼茨公式.5. 了解广义积分的概念，会计算广义积分.6. 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积已知的立体的体积、功、弓I力、压力、质心等)及函数的平均值.一、不定积分问题1不定积分的概念与性质答考纲要求理解原函数、不定积分的概念，掌握不定积分的性

2、质1概念定义1如果在区间I上，有Fxfx或者dF(x)f(x)dx,则称Fx为fx在区间I上的原函数.定义2fx的全体原函数称为fx的不定积分，记作f(x)dx.它们的关系是：如果Fx为fx的一个原函数，贝Uf(x)dxF(x)C.上式表明：求不定积分，只要求出它的一个原函数，再加上任意常数.2.性质：性质1(互逆性)如果不计任意常数，求导运算和积分运算是互逆的，即?f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)C性质2(线性性)f(x)g(x)dx例题若f3(x)1，贝Uf(x)【(先积后导还原了)(先导后积还原C)f(x)dxg(x)dx.C】f(x).1T土以3x23. 已知f(x)的一个

3、原函数为(1sinx)lnx,则xf(x)dx【xcosxlnxsinx(1sinx)lnxC】4. 下列命题中不正确的是().【B】(A) 若f(x)为连续的奇函数，则其原函数为偶函数(B) 若f(x)为连续的偶函数，则其原函数为奇函数(C) 若f(x)为可导的奇函数，则其导函数为偶函数若f(x)为可导的偶函数，则其导函数为奇函数x解由f(x)dxof(t)dtC知，连续的奇函数的原函数全为偶函数，连续的偶函数的原函数中，只有一个为奇函数，故选择A.求导改变函数的奇偶性.证明如下：若f(x)f(x)，则f(x)(1)f(x)，即f(x)f(x).积分：f(t)dt改变函数的奇偶性.证明如下：

4、记(x)：f(t)dt,xutxx若f(x)f(x)，则(x)f(t)dtf(u)(du)f(u)du(x).000问题2常用的积分公式答常用的积分公式有22个，它们是：11一1(1)kdxkxC;(2)xdxxC;(3)dxlnxC;1xx(4)axdxC;(5)exdxexC;(6)sinxdxcosxC;lna/ri/c2./c2cosxdxsinxC;(8)secxdxtanxC;(9)cscxdxcotxC;cscxC;(10)secxtanxdxsecxC;(11)cscxcotxdxdxarctanxC;1x2、1(12)dxarcsinxC;(13)1x2(14)tanxdxl

5、ncosxC;(15)cotxdxlnsinxC;(16)secxdxlnsecxtanxC；(17)cscxdxlncscxcotxC；(18)；dx22axarcsinC;(19)adx-arctan-C;xaa(20)212dxInC;(21)xa2axa2dxln(xxa2)C.xa)丁二dxlnxWaCqxa其中三角函数的积分公式10个，与二次式有关的积分公式7个.问题3如何用凑微分法求不定积分?答凑微分法是由复合函数求导法则导出的积分方法，适用于计算形如f(x)(x)dx的积分.定理设有积分公式f(x)dxF(x)C,则f(x)(x)dxf(x)d(x)F(x)C.凑微分型积分特点

6、：f(x)(x)dx，关键是凑微分，即将(x)dx凑成微分d(x)，从而积分f(x)(x)dxf(x)d(x)，其中f是22个函数之一；在运用凑微分法求不定积分时，请记住下面的口诀：根据复合抓住u,凑完微分配系数；使用公式要准确，积分消失加常数；特殊情形有两个，就是u和u倒数：(x)(x)dx,dx(x)例题xx(1lnx)dx【xxC】tanx2dx【C】cosx.cosxsinxc(osxdx【1arctan(sin2x)C】1sinx24.ln(2x)x2x(2Vx)Cl5.12一_【lnx6x52ln2x5x1C】心2ln22x5dxx6x56.定理设f(x)连续，(t)单调、可导且(

7、t)连续，则当被积函数含当被积函数含f(x)dxf(t)(t)dt.,a2x2,.x2a2时,用三角代换;naxb,cx1时,Jix2C1Xj、，dx【arcsinx1x问题4如何用第二类换元法求不定积分？答逆用凑微分公式，就得到第二类换元法令taXb,t竺b,tJex1；1当被积函数分母次数较高时，令t1.例题X33T1.dx【1(1x)2JixC】1x23dx2.x、x21解(方法一)令xsect,当x1时,dxx.x21secttantdtsecttanttC11-arccos-C1,x当x1时,dxx、x21secttantdtsecttanttC21arccos-C2.x、，入1(万

8、法二)令t-,x当x1时，当x1时,dxx%x21（方法三）3.dxx(4x)4.、,ex1dx1pdtdxx.xlt1jT)dt1dt.1t2dtarcsintarcsintC2Ciarcsin-C，xarcsin-C2.xC】当x1时,当x1时,11E2x2arcsin2令t.ex1,ext21,xln(t21),ex1dx2t.、t2dt2(tarctant)2(、ex1arctanex1)C.问题5如何用分部积分法求不定积分?1r1d-1x答分部积分公式由乘积求导法则导出，用于计算形如具体步骤如下:uvdxudv（凑微分）关键是凑微分.分部积分型积分特点:的积分都是典型的分部积分题:分

9、部化简型：xe2xdx；uvuvuvdx,vdu（用公式）1arcsinx.1arcsin-xuvdx的积分.uvdx（算微分，求积分）C2被积函数为“反对藉指三”五类函数的乘积，下面x2sinxdx；xln2xdx；arctanxdx.分部还原型：exearccotex问题6如何求有理函数的不定积分?答首先要知道有理函数、假分式、真分式的概念sinxdx;se(3xdx;7a2dx.分部递推型：xnexdx,2亦.(xa)1分部抵消型：ln(lnx)dx.Inx可以这样说，凡是“反对藉指三”五类函数的乘积，只要不是凑微分题，都可以考虑用分部积分法计算.使用分部积分法求不定积分时，请记住下面的

10、口诀：可凑尽量凑，不可不强求,反对藉指三，逆序找函数一乘一交换，判别难易度，难度若降低，积分可以求；难度若相当，还原有希望，分部若降次，可得递推式；积分积不出，分部试一试，若能两相消，难点解决掉例题1.arcsinx一x一dx【2衣arcsinVx2xC】xsin2xdx【依次比较上式两边的常数项和一次藉、二次藉、三次藉系数，得x2-xsin2x1cos2xC】4483x212x2xedx【-(x1)eC】2lnsinx_,2dx【cotxlnsinxcotxxC】sinxarccoteT,5.xdxxxearccote12ln(1e2x)xC】解【反三角函数与指数函数的乘积的积分，用分部积分

11、法】arccote,x-dxexarccotedexexarccotexex(e2x)dx|1eexarccot1Fdxex,xarccote2xe2xe2x1edx由于假分式多项式真分式，所以关键是真分式R(x)性)的积分，步骤是:Q(x)将Q(x)在实数范围内分解因式;将R(x)些)表为部分分式之和，其方法是:Q(x)若Q(x)有因式(xa)k,则分解式中含下列k项之和AA2|咒2Lk，xa(xa)(xa)若Q(x)有因式(x*2pxq)k,则分解式中含下列k项之和M1xN12xpxqM2xN222L(xpxq)MkxNk2k，(xpxq)用待定系数法求出A，Mi,Ni；求出积分.许多函数

12、(如指数有理式R(ex)，三角有理式R(cosx,sinx)，根式有理式R(b)等)的积分可以通过换元：tex,t，axb化为有理函数的积分.2x1例题求,(x1)2(x2dx.4)解一(x2x1221)(x4)B(x1)2Cxx24去分母得2x1A(x1)(x24)B(x24)(CxD)(x1)2,4A4BD,AB2C解得A4/25,B3/5,C4/25,D19/25,2x1；dx(x1)2(x24)CxD,dxx24ln25x135(x1)、19x八4)arctan-C.502确定待定系数时，辅之以特殊值法,问题7如何求不定积分？答求不定积分是最基本的运算之一，使计算更快捷，如本题令x1,

13、立即得B3/5.读者务必熟练掌握三类典型题(凑微分、换元、分部)和常用变形方法(无理化有理，高次化低次，分母化因式,变量化一致).求不定积分的基本思想是利用凑微分、换元、分部和初等变形，将被积函数化为“它是所有积分计算的基础,22个函数”之一或者它们的线性组合，利用积分公式和线性性质求出积分三类典型题1.凑微分（复合）型：f（x）（x）dx（根据复合抓住u）2.换元（根号）型：被积函数含JO,a2axb,j-,Jex1等.cxd3.分部积分（乘积）型：uvdx（反对藉指三，逆序找函数）例题1.xxedx2x_14枢14arctane1C】2.dx【tanxsecx1sinxC】3.arctan

14、x,.xdxIarctanxlln-212x2x12-(arctanx)C】4.e2(tanx1)2dx【e2xtanxC】5.(arcsinx)2dx【x(arcsinx)22&x2arcsinx2xC】6.11cosxdx-Insin2x2sinx81cosx4(1cosx)dxsin2x2sinxdx2sinx(cosx1)sinx22sinx(cosx1)dx22(1cos1x)(cosxdcosx(tcosx)1)2(1t2)(1-dtt)詈dt1/4dtt(1EdtIt)1-ln(14t)1-ln(14t)u214(1cosx)sinx8.sinxcosxdx【1(xInsinx2

15、cosx)解【将分子分解为sinxA（sinxcosx)B(sincosx），其中A,B为待定系数】sinx,dxsinxcosx1 1.-x-lnsinx2 2arctanxcxe,9.3dx3(1x2)2解【三角代换】令xtant,则1,.、1,.、(cosxsinx)(sinxcosx)22dxsinxcosxcosxC.(x1)earctanx2.1一C】arctanxxedxx2)2(110.dx11.tantet3sectdtsectsintedt（分部积分）(2x2arctan1)Jx21一1x2C】0)【09-2-3】ln(1ln(1xln(1dxx1xln(121xln(12

16、xln(11x2管）_11dx1x、x.rdx、1x、112xdx1x11；b)2dx-=xdxxx2xx2代入，得Vxx2lnxVx_x2C,221xln(1寸)dxxln(1VTV1lnx-47C24计算dx时，还可以作如下代换:令t巨，则匹dxdt；,1x.1x(1t2)2令t5,.xdx-J-2tdt2、tdt.1x.1t2.1t2xxe12.设F(x)是f(x)的原函数，且当x0时，f(x)F(x)2，已知2(1x)2xF(0)1,F(x)0,试求f(x).【f(x)xe232(1x)，一-213.设f(sinx)x,求sinx2_f(x)dx.【.1x21xarcsin.x2x一-

17、214.设f(x1)2xIn2xf(x)(x)dx.【x2lnx1C】1，f(t)f(x)(x)1In(x)1In(x)1(x)(x)2ln(x)dx二、定积分问题8定积分的概念答函数f(x)在区间a,b上的定积分af(x)dxlimoif(i)%,其中1maxx,x2,L,x”.若积分和的极限存在时,则称f(x)在a,b上可积读者应结合曲边梯形的面积理解定义式中各记号的含义,近似、求和、取极限).可积条件理解定积分的思想方法(分割、若函数f(x)在a,b连续或者分段连续，则f(x)在a,b上可积.若函数f(x)在a,b可积，则f(x)在a,b上有界.定积分的值与“分法”、“取法”无关；第77

18、页若函数f(x)在a,b可积，则定积分的值与“分法”、“取法”无关.定积分的值与被积函数和积分区间有关，而与积分变量的记号无关b定积分的几何意义：f(x)dx在几何上表示由y0,yfx,xa,xb所a围图形各部分面积的代数和.在利用定积分的几何意义时，要求积分下限小于积分上限.例题1.用定积分的定义求limn.【ln2】2.用定积分的几何意义求3.如图，设连续函数f(x)在区间3,2、2,3上的图象分别是直径为1的上、下半圆，在区间2,0、0,2上的图象分别是直径为2的下、上半圆，设F(x)0f(t)dt，则下列结论正确的是().【07-1,C】3 5(A)F(3)一F(2)(B)F(3)-F

19、(2)4 ，4，3 5(C)F(3)F(2)(D)F(3)-F(2)4 4问题9定积分的性质答定积分具有如下性质：b线性性f(x)g(x)dxabf(x)dxag(x)dx.可加性bf(x)dxacf(x)dxaf(x)dx.保号性b设xa,b,f(x)0,则f(x)dx0.ab设xa,b,f(x)g(x)，则f(x)dxag(x)dx.bf(x)dxaf(x)dx.估值定理设xa,b,mf(x)M,则m(ba)f(x)dxaM(ba).定积分的不等式性质均要求积分下限小于积分上限，否则，不等式反向积分中值定理设f(x)在a,b上连续，则至少存在一点a,b,使得f(x)dxf()(ba).设f

20、(x)在a,b上连续，则至少存在一点(a,b),使得bf(x)dxf()(ba).设f(x),g(x)在a,b上连续，且g(x)在a,b上不变号，则至少存在一点a,b,bb使得f(x)g(x)dxf()g(x)dx.aa问题10如何计算定积分？答计算定积分的方法有：几何意义(要求下限小于上限)牛顿-莱布尼茨公式(基本方法)定理设f(x)在a,b连续.F(x)为f(x)在a,b上的任意一个原函数，则有bf(x)dxF(b)F(a).a换元法(换元必换限)定理设函数fCa,b且函数x(t)满足下列条件:时，xa;t时，xt,时，xa,b；C,b则f(x)dxa分部积分法f(t)(t)dt.定理设函

21、数u,vCa,b,则bbuvdxudvaa某些特殊函数的积分 分段函数(分段积分) 奇偶函数：uvbvduauvbvudx.a若f(x)为奇函数，则f(x)dx0；若f(x)为偶函数,aaf(x)dxa20f(x)dx.周期函数：设f(x)的周期为T,则aTf(x)dxaf(x)dx.某些三角函数:f(cosx)dx;xf(sinx)dx0f(sinx)dx;记In02sinnxdx2cosnxdx,则有递推公式0In含f,f(用分部积分)变限积分(用分部积分)例题11.max1,x2dx22.32xsinx,dx222(1cosx)xsinx3.dx01cosx4.o(1x2)2dx.15.

22、o(ecosxecosx)dx.【0】6.1127.设g(x)xof(u)du,其中f(x)一(x21),0x1,2则g(x)在区间(0,2)内().1一(x1),1x2,3（A）无界（B）递减（C）不连续（D）连续例题21.求0V1sinxdx.【4424】2.求mdx2云ln(23)13.求ln2j1e2xdx.【乎ln(2后)】求1dx.【90-1-2,】ln2】0(2x)23求xarcsinxdx.1086.求x，I1cos2x1dx.【一一ln2】87.求2.2%2asinxbcosx其中ab0.【】ab8.设f(x)0,求0,3f(x72)dx.【一39.对于任意的),f(x)f(

23、x)sinx,0,时，f(x)x,f(x)dx.【2】3f(x)dx3f(x)dx2f(x)dx,0,时,f(x),2时,0,时,f(x)f(xsinxx2,3时,2,f(x)f(x)sinxsin(x)sinx3f(x)dx(xsinx)dx32(x2)dx2._sinx10.设f(x)有原函数，求_xf(x)dx.【11.曲线C的方程为yf(x)，点(3,2)是它的一个拐点,曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线的交点为(2,4).若f(x)具有三阶连续导数，求30(xx)f(x)dx.【2012.设f(x)2&x2f(x)dx，求f(x)dx.【】1x41解【定积分f(x)dx是一个常

24、数】(a1x2)dx1x24i记af(x)dx,则a问题1变限积分答变限积分是常考点之一，它是用积分定义的一个函数，读者务必熟练掌握变限积分的导数公式，并利用求导解决变限积分的极限、积分等问题x定理1若f(x)在a,b上可积，则(x)f(t)dt在a,b上连续.a定理2若f(x)在a,b上连续，则(x)xf(t)dt在a,b上可导，且xa,b,a(x)f(x).导出公式dbf(t)dtf(x)dxxd(x)f(t)dtf(x)dxad(x)dx(x)当被积函数含有变量f(t)dtf(x)x时不能直接求导，(x)(x)f(x)(x)必须将变量x从被积函数中分离出去,常用的方法是：提出去或者换元.

25、例题1.设f(x)连续，F(x)f(t2)dt,则F(x).【2xf(x4)】解【基本练习】F(x)2xf(x4).2.设f(x)连续，F(x)exf(t)dt，则F(x)exf(ex)f(x)】3.史2xcost2dtdxx解【基本练习】F(x)exf(ex)f(x).2costdt2xcosx】x2解【基本练习】ddx:xcost2dtx2d一xdx:cost2dtx2,222costdt2xcosxx2dx24宁0sin(xt)dt解【基本练习】令Xosin(xt)dt.【sinx2】uxt,2sinuduxdudt,x2sinudu,0ddxx,、2,0sin(xt)dtddxx2si

26、nudusin1tlntdt5.求limx0x4解【含变限积分的极限】1tlntdtcosx4xlim0cosxlncosx(sinx)34x1lim4x01,(sinx)cosx2x1lncosx-lim4x0x-xsint6.设f(x)odt，求of(x)dx.解【变限积分的积分，用分部积分法】【2】0f(x)dx0f(x)d(x)(x)f(x)00(x)df(x)00(x)dxx0sinxdx2.习题1.设f(x)连续，则tf(x2dx0t2)dt【xf(x2)】解【变限积分求导基本练习】令t2,du2tdt,x22100tf(xt)dt-x2f(u)dux22d1tf(x2t2)dt0

27、dx2x20f(u)du，ddx2x0f(u)duxf(x2).2.若f(x)Ca,b,F(x)f(t)xtdt,x(a,b)，则F(x)【2f(x)】F(x)baf(t)xtdtxf(t)(xt)dtabf(t)(tx)dtxF(x)f(t)dtxf(x)bxf(x)xf(x)xf(t)dtxf(x)xf(t)dtabxf(t)dt,故F(x)f(x)f(x)2f(x).3.设f(x)(x0)是连续函数，且x22,f(t)dtx43，则f(2)解【含变限积分的等式，通常两边求导】等式：2f(t)dtx陌两边对x求导，2xf(x22)1,入_1令x2，得f(2).4若f(t)edx,则tf(t

28、)dt.【-1104e4解【变限积分的积分，通常用分部积分法】10tf(t)dt12120f(t)dt2*t2f(t)1t2e0t42tdt5.limt0limt013t30et4dtt2sinx,3dx0t31104e【含变限积分的极限问题通常用洛必达法贝u】sin、xdx0t3limt0limSLNt03t-lim3t0sin、t2t2lim3t06.设f(x)连续，f(0)0，求limx0x(x0xx0f(xt)dtt)f(t)dt.05-2,解【含变限积分的极限问题通常用洛必达法则】令x0of(xt)dtxf(u)dux0f(u)du,x0(xt)f(t)dtlimx0xx0f(xt)

29、dtxlimx0xx0f(t)dt0tf(t)dtxxof(u)dux0f(t)dtxof(u)duxf(x)xf(x)xf(x)f(t)dtf(t)dtlimf(t)dtxim0f(u)duxf(x)0f(u)duf(u)duf(x)limx0f(0)limf(x)x0f(0)1limf(x)f(0)f(0)f(0)2x0x7.设f(x)可导，f(0)0,F(x)tf(xn解【含变限积分的极限问题通常用洛必达法则】tn)dt，求响哮.【f(0)7x0x2n令uxntn,duntn1dt,101xnF(x)-nf(u)duf(u)du,nxn0limx0F(x)2nxlimnx0nn1f(x)

30、nx2T2nx1rf(xn)lim2nx0xf(xn)f(0)1limn2nx0xn12n(0).8.设f(x)连续,(x)10f(xt)dt，且a，求(x)并讨论(x)在x0的连续性lim爬xf(0)0,f(0)a,当x0时，令uxt,x1xf(x)x0f(u)du(x)-0f(u)du,(x)/1当x0时，(0)of(0)dt0,(0)lim(x)(0)x例。x0f(u)dulim冬x02x故(x)xf(x)x0f(u)du2x,x0,(x)f(x)x(x)在x仰。f(x)xx0.x0f(u)du2xx0f(u)dulim2x1x2x9.F(x)1(21)dt(xt解F(x)2x故F(x)

31、1(21)dt(xt10.设f(x)在(a2(。)，0)单调减少区间为0)单调减少区间为)内连续，且F(x)若f(x)为偶函数，则F(x)为偶函数;若f(x)单调不增，则F(x)单调不减.x证F(x)(x02t)f(t)dt,1.【(0,)】41(，xo(x2t)f(t)dt，证明:t,xF(x)0(x2u)f(u)(du)x0(x2u)f(u)duF(x)，故F(x)为偶函数.F(x)x0(x2t)f(t)dtxx0f(t)dtxo2tf(t)dt,F(x)x0f(t)dtxf(x)x2xf(x)0f(t)dtxf(x)xf()xf(x)xf()f(x)当x0时，x,0,f()f(x),F(

32、x)0,当x0时，0,x,f()f(x),F(x)0,F(x)在(，)内单调不减.x11.设f(x)连续，otf(xt)dt1cosx，求o2f(x)dx.【1】解【含变限积分的方程，通常两边求导】令uxt,dudt,xotf(xt)dt0x(xu)f(u)duxof(u)duxuf0(u)du，x故x0f(u)duxouf(u)du1cosx,上式两边对x求导，0xf(u)duxf(x)xf(x)sinx,xf(u)dusinx,令x5，得q2f(x)dx12arctanx,2解【含变限积分的方程，通常两边求导】令x12.设f(x)连续，qtf(2xt)dt且f(1)x0tf(2xt)dtu

33、x2x2x(2xu)f(u)du2xxf(u)dudu2x1f(x)dx.【-4】dt,uf(u)du，2x故2xf(u)dux上式两边对x求导，2x2xf(u)du2xf(2x)2x12uf(u)du-arctanx,f(x)2xf(2x)xf(x)12xx212x即xf(u)du-xf(x)2f(x)dx21x43.413.设f(x)在a,b上连续，且f(x)0,证明方程xaf(t)dta1dt0在(a,b)f(t)xF(x)af(t)dta内仅有一个实根.证【零点惟一性问题，用零点定理和单调性】1，Idt在a,b上可导,f(t)bf(t)dtaa1又F(a)dtbf(t)b1,、dt0，

34、F(b)af(t)故方程F(x)0在(a,b)内有一个实根,1c.一、-，又F(x)f(t)fB0，故F(x)在(a,b)内递增，所以万程F(x)0在(a,b)内仅xx有一个实根，即方程af(t)dtbdt0在(a,b)内仅有一个实根.问题12反常积分(定积分的极限)的基础上，掌握它答对于两类反常积分，要在正确理解它们的定义们的计算方法.1概念定义1连续函数f(x)在a,)上的反常积分f(x)dxlimbbf(x)dx,如果a右端极限存在，则称反常积分f(x)dx收敛.a连续函数f(x)在(b,b上的反常积分f(x)dxlimabf(x)dx.a连续函数f(x)在()上的反常积分f(x)dxf

35、(x)dx0f(x)dx.定义2函数f(x)在区间(a,b上连续，而在点a的右邻域内无界，则定义f(x)在区间(a,b上反常积分bbf(x)dxlimf(x)dx,auau如果右端极限存在，则称反常积分f(x)dx收敛.函数f(x)在区间a,b)上连续，而在点b的左邻域内无界，则定义反常积分f(x)dxlimub函数f(x)在a,c)U(c,b上连续，而在点c的邻域内无界，则定义反常积uf(x)dx.acbf(x)dxf(x)dxf(x)dx.ac2.两类反常积分，都可以用下面的公式计算:若f(x)在(a,b)上连续，且F(x)f(x),则bb,f(x)dxF(x)a(类似te积分)此公式要求

36、f(x)在(a,b)内部不能有间断点.例题1.下列广义积分收敛的是().【C】(A)lnx,dx;(B)exdxxlnx(C)dx.2，xlnx(D)dxxlnxdx2(x7).x2c1t2arctan33。3.0.【发散】4.求xxe(1errdx.x)2【ln2】xe(1xdxx)20(1xxexexd1nxdx01exxdx1exxln(1ex)dx(x7).x2解令tJx2,xt22,2tdt八dtn220(t29)t0t29ln5.求arctanxdx.【99-2,1,ln2】42ln2.【分部积分】arctanx,dx,.1arctanxd-x1,一arctanxxLx(1xx.)

37、dxx-ln4121ln(1x2)6.求dx孚】4e1ex1gx.dx1exdx1dex1ex解oretain_1x13x12x212x22arctan2.1eee1eee1eeee14e问题13定积分等式的证明答证明关于定积分的等式，要根据被积函数和积分区间，选择适当的方法，请看下面的例子.例题1.设函数f(x),g(x)在区间a,a(a0)上连续，g(x)为偶函数，f(x)满足aaf(x)f(x)A为常数，证明f(x)g(x)dxAg(x)dx.a0、【用换元法】2.设f(x)在a,b上有二阶连续导数,f(a)f(a)0,证明bf(x)dxa1b2-af(x)(xb)dx.【用分部积分法】

38、习题1.设f(x)x2sintdt.x证明f(x)是以为周期的周期函数；求f(x)的值域.【04-2,2J2,J2】证【只要证明f(x)f(x)】x2sintdt,xx要证明f(x)f(x)，即2Sintdtx令ut，则f(x)sintdtsin(udusinuduf(x)故f(x)是以为周期的周期函数;要证明f(x)f(x),只要证明f(x)f(x)0,令F(x)f(x)f(x)2sintdtsintdt,F(x)sin(x2)sin(x)sin(x)sinxcosxsinx所以F(x)F(0)cosx【只要求出f(x)在0,sinxsintdt0,故F(x)为一常数,nt#0,即f(x)f

39、(x)0.sintdt，f(x)sin(x)sinx2上的最大值和最小值】xf(x)x2令f(x)0,得sin(x)2故f(x)在(0,)内的驻点为xf(0)sintdtf()sinx,f(0)cosxsinx,即tanx1,f(4)sintdt3T23Tsintdt5434sintdt3sintdtT54sintdt故f(x)的值域为2一2,.2.2.设0,证明:f(xdxa2dx-)x令t2x,则22adxf(x)xxf(x)连续，常数证a1则122af(tdt1a2adt2a2a云1f(t)af(ttttatdtta再令a2f(tdtf(ua2du-)u,代入上式，得ua1f(xdx21

40、dtf(u2.a、dui)uua1f(xdx问题14关于定积分不等式的证明答利用第二讲中证明不等式的方法和定积分的不等式性质.例题1. 设f(x)在0,1上可导，f(0)0,0f(x)1,证明：12130f(x)dx0f(x)dx.证【将常量不等式化为变量不等式】xx令F(x)f(t)dt2f3(t)dt(要证F(1)0F(0)一X_3_x_2F(x)2f(x)0f(t)dtf(x)f(x)20f(t)dtf(x)令G(x)20f(t)dtf2(x)，则G(x)2f(x)2f(x)f(x)2f(x)1f(x),由f(x)在0,1上可导，f(0)0,0f(x)1知，当0x1时，f(x)递增，f(

41、x)f(0)0，从而G(x)0,G(x)递增，G(x)G(0)0，于是F(x)0,F(x)1c1c递增，F(1)F(0)0,即f(x)dx2of3(x)dx.2.设f(x)在0,1上连续、递减，证明：当011时，f(x)dxof(x)dx.0f(x)dx1【提示：只要证F()of(x)dxF(1)】3.设f(x)在0,1上连续，且严格单调减少，证明：f(x)dx2oxf(x)dx.xx【提示：令F(x)xf(t)dt20tf(t)dt,要证F(1)F(0)】4.设f(x)在区间0,a上连续，且f(0)0，证明f(x)dxMmaxf(x).0xa4. 【提示：由拉格朗日定理知，x0,a,有f(x

42、)f(0)f()xf()x,代入不等式左端】bbb设f(x),g(x)在a,b上连续，证明af(x)g(x)dxaf(x)dxag(x)dx.b2【提示：(,),f(x)g(x)2dx0,其左端是一个关于的二次三a项式，判别式0】证设h(x)x一.af(t)g(t)dt,则h(x)f(x)g(x),h(x)xxf(t)dtg(t)dtaa0,xa,b),h(a)0,h(b)bf(t)dtabg(t)dta0,bbbxf(x)dxaaxg(x)dxxf(x)ag(x)dx,bbaxh(x)dxaxdh(x)bbbxh(x)aah(x)dxah(x)dx0,bb即xf(x)dxxg(x)dx.aa

43、6.设f(x),g(x)在a,b上连续，且满足xaf(t)dtaaxg(t)dt,xa,b),b、f(t)dtbbg(t)dt，证明：xf(x)dxaabxg(x)dx.(04-3)7.设f(x)在a,b上可导，f(a)f(b)0,b,M2f(x)dx(ba).三、定积分的应用问题15如何用定积分的元素法计算几何量(物理量)？答设量U对区间具有可加性，计算步骤如下；求量U的分布区间a,b；f(x)dx,误差为a,b的近似值(元求量U相应于小区间x,xdxa,b的近似值(元素)dUo(x);b写出量的积分表达式Uf(x)dx；a计算积分.关键是：求量U的分布区间a,b和相应于小区间x,xdx素)

44、dUf(x)dx.问题16如何用定积分计算平面图形面积？答在直角坐标情形，可按下列公式计算：设平面区域D:axb,f1(x)yf2(x),称D为x型区域，贝UD的面积bAf2(x)fi(x)dx.a设平面区域D:cyd,1(y)x2(y)，称D为y型区域，则D的面积Adr2(y)i(y)dy.c投影找区间，穿刺找高度(用矩形面积公式计算面积元素)在极坐标情形下，可按下列公式计算：设曲边扇形D:,0rr()，贝UD的面积12Ar2()d.2旋转找区间，穿刺找半径(用扇形面积公式计算面积元素)设平面区域D:12A丁22()d1可题17如何求旋转体体积？,ri()r顷)，则D的面积12z2ri()d

45、222()12()d.答由元素法可得：由yf(x),xa,xb,y。所围平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积b-2Vxf(x)dx.(圆枉法)a用圆柱体积公式计算体积元素由yf(x),xa,xb,y0(0ab)所围平面图形绕y轴旋转所得旋转体体积bV2xf(x)dx.(圆筒法)ya用圆筒体积(展开后近似长方体)公式计算体积元素由x(y),yc,yd,x。所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积d2Vy2(y)dy.c例题1.设直线yax与抛物线yx2所围图形面积为S，它们与直线x1所围图形面积1,使SiS2最小，并求最小值;【a手M1（1专）】求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得立体的

46、体积.【230当0a1时,S1S2a0(axx2)dx1(x2ax)dx】a3】aa320,故当时，S取得2极小值,也是最小值，最小值为3(1当a0时,0(axx2)dx；(x2ax)dx13-a60,S递减,S取得最小值1S()13又S(3(1.21亍)3S(0)，所以当a2项时,S取得最小值，最小值为S(3(1所求立体的体积2/2V02dx22/2x4dx1-2/2x4dx12/22dx21302.过点P(1,0)作抛物线yJx2的切线，求该切线与抛物线y7x2及x轴所围平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积.解设切点为(a,),切线方程y,a2(xa),2、a2.1点P(1,0)在切线上、a

47、2一(1a)a3,2、a2-1切线万程：y_(x1),23123Vx14(x1)12dx2(x2)dx-.习题曲线yInx,ye1x,y0所围图形面积为.【邑】21. 双钮线(x2y2)2x2y2所围图形面积为.【1】曲线rr()的对称性：代替，方程不变，图形对称于极轴；r代替r,方程不变，图形对称于极点.2. 曲线y1x2(0x1)、x轴、y轴所围区域被曲线yax2分为面积相等的两部分，求正常数a.【3】解画出图形，曲线y1x2(0x1)与曲线yax2的交点为x；1,a1依题意,172a1(1x02.ax)dx1121(1x)dx.,10a1(1x2ax2)dx(x13-x3a3、建)1da

48、1a3.4.设曲线y31x2与x轴所围图形绕y3旋转一周所得立体的体积.【丝】15解画出曲线y2x与x轴所围图形,由对称性知,218(x32(1x2)2dx(x21)2dx155x)1(x2x3035)2-44817511lny-2y2x6.设D是位于曲线y瓜去(a1,0x)下方、x轴上方的无界区域求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a);当a为何值时，V(a)最小，并求此最小值.107-2V(a)浦)2,e2】7.设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内大于零，并满足xf(x)f(x)萱x2yf(x)与x1,y0所围图形A的面积为2，求yf(x)，并问a为何值时,此图形绕x轴旋转一周所

49、得立体的体积最小.【f(x)32-ax(4a)x,a5】5.C1和C2分别是y；(1ex)和yex的图像，过点(0,1)的曲线C3(在C2的上方)是单调增函数的图像，过C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly，记如果总有G,C2与lx所围图形的面积为S1(x),C2,C3与ly所围图形的面积为S2(x),问题18如何求旋转体侧面积？(数一、二)答由yf(x),xa,xb,y0所围平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体侧面积Si(x)S2(x),求曲线C3的方程x(y).【05-2,(y)bboSx2f(x)ds2f(x)1f2(x)dx.aa-例题1.设有曲线y过原点作其切线，

50、求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.【98-2,(11J51)】6xxee2.曲线y与直线x0,xt(t0)及y0围成一曲边梯形，该曲边梯形绕2x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t),侧面积为S(t),在xt处的底面积为F(t).求丝2的值；V(t)计算极限limS四.【04-2,2;1】tF(t)问题19如何求平面曲线弧长？(数一、二)答弧长元素dsJ(dx)2(dy)2曲线方程为yfx,axb,则a1f2xdx.曲线方程为22tytdt.曲线方程为例题1.计算曲线yln(1x)上相应于011x2的一段弧的长度.【ln32】2.求心形线线ra(1cos

51、)(a0)的全长.【96-1,8a】3.求摆线x1cost,ytsint(0t2)一拱的弧长.【8】4.设(x)是抛物线y衣上任一点M(x,y)(x1)处的曲率半径，ss(x)是该抛物线上介于点A(1,1)与M之间的弧长，计算3歹()2的值.【01-2,9】dsds5设位于第一象限的曲线yf(x)过点(也，1)，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴22的交点为Q,且线段PQ被x轴平分.(03-2)求曲线yf(x)的方程;2八2x2y1已知曲线ysinx在0,上的弧长为l,试用l表示yf(x)的弧长s.1】解【利用导数的几何意义建立微分方程】曲线yf(x)在点P(x,y)处的法线方程为Yy(Xx

52、),y0，得Y故点Q的坐标为(0,y由题设知，yy0,即xdx2ydy0,解得x22y2C,、21r-M,；)代入上式，得C1,故曲线f(x)的方程为x22y2曲线ysinx在0,上的弧长.1cos2xdx21cosxdx22山0cos2xdx,f(x)的参数方程为xcos,ysin,2弧长02、sin212cos22、1sin2xdx.1.202、1cos2xdx2、2问题20如何用定积分求物理量？答关键是求出该物理量的分布区间和元素:功元素dw力距离；水压力元素dF压强受力面积深度比重受力面积；引力元素dFdFe，其中是与dF同方向单位向量.建立坐标系时，最好使二次曲线方程为标准方程例题1

53、.半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水的比重相同，现将球从4水中取出，需作多少功？(设水的密度为)(一gr4)3解建立坐标系(如图所示)，则球的轴截面方程为x2y2r2.相应于小区间y,ydy(r,r)的功元素222、，dwgxdy(ry)g(ry)(ry)dyr4将球从水中取出，需作功wg(r2y2)(ry)dygr4.r32.闸门的一部分为矩形ABCD,BC的长度为h,AB的长度为2,另一部分是由AB为底边，高为1的二次抛物线围成，当闸门的CD边与水面相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5:4，闸门矩形部分的高h应为多少？(02-1)解建立坐标

54、系(如图所示),则抛物线方程为yx2.闸门矩形部分承受的水压力Fig(h1y)dygh2,闸门下部承受的水压力f2g(h1y)Vdy124g(1h去)315由Fi5h2,F242(1h当315解得2,h1-(舍去)3，故h2.3.用汽锤将桩打进土层，每次击打,打进土层的深度成正比(比例系数为.设土层对桩的阻力与桩被都将克服土层阻力作功k,k0)，汽锤第一次击打将桩打进地下am,若要求汽锤每次击打所作的功与前一次击打所作的功之比为常数r(0r1).问汽锤击打3次后，可将桩打进地下多深?1rr2am】若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？【解设第n次击打后，桩被打进地下xnm,第n次击打时汽

55、锤所作的功为wn,则W1x1k2kxdxx02ka2,2支k22、kxdx(x2x1),为2X3w3改kxdxk22、2(X3X2),w2rw1,w3rw2r2Wix3、.1rr2a,即汽锤击打3次后，可将桩打进地下用归纳法可以求得xn-.IrLrn1a,故xna(n），所以，若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下Jam.4.一个人用铁锤在坚硬的木板上钉钉子，设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度的平方成正比，若第一锤将钉子击入木板acm,以后每一锤击打铁钉所作的功逐渐减小，其衰减系数为r（0r1）.求此人能将铁钉击入木板的最大深度及作功总和;ka33(1r)衰减系数r取何值时，此人才能钉穿厚2a的木板.【r-85.线密度为，长度为l的细杆的延长线上离杆右端为a处有一质量为m的质点，求细杆对质点的引力kmla(al)问题21连续函数的平均值（数一、二）bf(x)dx.a土1答连续函数在区间a,b的平均值yba例题函数yx在区间J逅上的平均值为.【寸N.1x2221