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1、偏导数的几何意义实验目的：通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二 阶混合偏导数相等的条件背景知识：一偏导数的定义在研究一元函数时、我们从研究函数的变化率引入了导数概念、对于多元函数同样需要讨论它的变化率、但多元函数的变化量不只一个，因变量与自变量的关系要比一元函数复杂的多、所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率，以二元函数 E = 5为例，如果只有自变量 X变化，而自变量y固定（即瞧作常量工这时它就就是 天的一元函数，这 函数对x的导数，就称为二元函数z对于K的偏导数，即有如下定义定义设函数z= /（再内在点（为心）的某一邻域内有定义，当y固定在尤，
2、而X在西处有增量 占五时，相应的函数有增量- ,口又0十占凡口）耳*0，兀） mfl 如果 1（1）存在，则称此极限为函数 E= /（几*）在点（下。，了口）处对X的偏导数，记做史 史 4秋：二 被Jp-?o 厘成工（加加 , , ,例如，极限（1）可以表为取口 +A氏一）- 口，九）二；类似的，函数z= /（/）在点C。，了。）处对尸的偏导数定义为11nl。，口）+卜喻贝式口死） 呼 tqAv诙亨4_r_ y记做方论,小磔，户用或/42o）如果函数 工=/工九丁）在区域D内每一点（3）处对 或的偏导数都存在，那么这个偏导数就就是 见下的函数，它就称为函数 ” 一（工/）对自变量 式的偏导函数
3、，记做&更St 3k 4或三） , ,以类似的，可以定义函数 八 ,（储河对自变量 T的偏导函数，记做生生加力J或“V ） ,4由偏导数的概念可知,（几冷 在点（73。）处对 黑的偏导数 工5。口）显然就就是偏 导函数工（工厂）在点（。沙口）处的函数值，就像一元函数的导函数一样，以后在不至于混 淆的地方也把偏导函数简称为偏导数、 至于求工二,（丸丁）的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另外诙一个自变量瞧作就是固定的，所以仍旧就是一元函数的微分法问题，求&时,只要把丁暂更时瞧作常量而对 X求导；求郎时，则只要把X暂时瞧作就是常量，而对求导数、偏导数的概念还可以推广导二元以
4、上的函数,例如三元函数 德=/J，N）在点（）处=其中（三，*）就是函数值=JSdf）的定义域的内点，它们的求法也仍旧就是一元函数的 微分法问题例求工即2a的偏导数dz解注. =,当-I = 2x 002二偏导数的几何意义二元函数 工=丁（孔尸）在点（ /口）的偏导数的几何意义设必为为曲面 =，（工M上的一点,过监点作平面尸二方，截此 曲面得一曲线，此曲线在平面7二八上的方程为 八 八兀M）,则导数去“冗外”叫 即偏导数 式/力10）,就就是这曲线在 仆 点处的切线 弧4对大轴的斜率、同样，偏导 数月CvMj）的几何意义就是曲面被平面工二面所截得的曲线在点处的切线 如4对的斜率三偏导数的几何意
5、义我们知道，如果一元函数在某点具有导数 ，则它在该点必定连续，但对于多元函数来说，即使 各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续、这就是因为各偏导数存在只能保证点 p沿着平行于坐标轴的方向趋于p 口时，函数值,（丹趋于/（片），但不能保证点p按任何方式趋于p 口时,函数值 八尸3都趋于品）、例如，函数x十，=:，； =.厂-在点（0,0）对汽的偏导数为/（。+ 占五0）-/（0口）=hnn = 0上黑T。0”版 必一（3二早=0 同样有. 1 r,r但就是我们在前面的学习中知道这函数在点（0,0）并不连续四二阶混合偏导数设函数 =右A）在区域D内具有偏导数史退*=）薮 2）,那么在D内,
6、）都就是工的函数、如果这里两个函数的偏导数也存在，则它们就是函数 三= 丁（二A）的二阶偏导数，按照对变量求导次序的不同有下列四个二 阶偏导数： ,3, 出一、3沔、吗7：（7-）= 7-T- = 。J）=。=益（1J）dx dycydxdp dy,其中第二，第三个偏导数称为混合偏导数久 下 工 必例2设克父-3克_/-工尸1,求至、市，砺,彳=613y - 1力以 * = 6-9y 士 -1= 2- -13xv 3% d2z从例子中，我们瞧到两个二阶混合偏导数相等，即，晒=由8我们再瞧用maple作求的图形第一个图形为 7第二个图形为从图中我们瞧到两个连续的偏导函数，它们就是相等的这不就是偶然的，事实上我们有下述定理定理如果函数工=的两个二阶混合偏导数中及七在区域D里连续， 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必定相等换句t目兑，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关
偏导数的几何意义
