概率统计习题解答07习题三.ppt

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1、习题三,1. 袋内有四张卡片,分别写有数字1,2,3,4,每次从中任取一张,不放回地抽取两次,记X、Y分别表示两次取到卡片上数字的最小值与最大值,求(X,Y)的概率分布.,解:,采用不放回地抽取两次,两次取到卡片上数字的最小值与最大值的情况有如下结果,X所有可取值1,2,3;Y所有可取值2,3,4.,令 = “第t次取到一张”,两次取法显然不是独立的.,PX=1,Y=2,PX=1,Y=3,PX=1,Y=4,PX=2,Y=2=0 (不可能事件),X、Y的取值及其概率列表如下:,. . .,2. 求上题中随机变量X与Y边缘分布,并计算期望EX,EY与方差DX,DY,解:,其边缘分布分别为,3. 一

2、个袋内有10个球,其中有红球4个,白球5个,黑球1个,不放回地抽取两次,每次一个,记X表示两次中取到的红球数目,Y表示取到的白球数目,求随机向量(X,Y)的概率分布及X、Y的边缘概率分布.,解:,X所有可取值0,1,2;,Y所有可取值0,1,2.,PX=0,Y=0=0,黑球只有1个,不放回地抽取两次, 故必然有一个是红球或白球.,PX=0,Y=1,取到1个白,必然有一个是黑球.,PX=0,Y=2,PX=1,Y=0,PX=1,Y=1,PX=1,Y=2=0,PX=2,Y=0,PX=2,Y=1=0,PX=2,Y=2=0,随机向量(X,Y)的概率分布及X、Y的边缘概率分布列表如下,4.上题中试验条件不

3、变,若记,求随机向量 的概率分布, 计算两次取到的球颜色相同的概率.,解:,5. 第三题中袋内有球的组成及抽取次数不变,但是改为有放回地抽取,求第四题中定义的随机向量(X1, X2)的概率分布.,解:,因袋内有共有10个球,其中红球4个,白球5个,黑球1个,有放回地抽取两次时,X1 、X2 的所有可能取值分别为 0,1,2.,6. 将3个球随机地放入四个盒子,记Xi 表示第i个盒子内球的个数, i =1,2,求随机变量X1, 与 X2 的联合概率分布及关于X2 的边缘分布.,解: X1 表示第1个盒子内球的个数, 它是一个随机变量,它可能的取值为0,1,2,3;同样, X2 的取值也为0,1,

4、2,3.,将一个球可以随机地放入第1个盒子,也可以放入第2个盒子,一共有四个盒子故一个球放入盒子中共有4种放法,因此3个球共有444种放法,这就是基本事件总数. 且随机变量X1=0, 与 X2 =0 表示第1、2盒中没有放入球,则3个球放入了其余2个盒中,故有,(3个球中任取1个先放入第2个盒子,还有2个放入第三、四盒子中共有22种放法,故有),. . .,7. 将3个球随机地放入四个盒子,设X 表示第1个盒子内球的个数, Y表示有球的盒子数,求随机向量(X, Y)的概率分布.,解: X 所有可能的取值为0,1,2,3; Y的取值为1,2,3.,(X=1, 表示第1个盒子有1个球,即有球的盒子

5、还有一个(Y=2-1),它是四个盒子中还剩余的3个中有一个有球.),8.已知随机向量(X,Y)只取(0,0),(-1,1),(-1,2),及(2,0)四对值,相应的,概率依次为 列出(X,Y)的概率分布表,求Y的边缘分布,及X+Y的概率分布.,解:,9. 袋中有10张卡片,其中有m 张卡片上写有数字 m, m=1,2,3,4,从中不重复地抽取两次,每次一张,记 Xt 表示第t次取到的卡片上数字, t= 1, 2,求(X1,X2)的概率分布以及X1+X2 ,X1X2 的概率分布.,解:,“m 张卡片上写有数字 m”的意思是 :一张卡片上写有数字1;两张卡片上写有数字2;三张卡片上写有数字3; .

6、 . .故恰好10张卡片.,X1 可能的取值为1,2,3,4;同样,X2 的取值也为1,2,3,4.,. . .,为了求出X1+X2 ,X1X2 的概率分布,先列表,10.随机向量(X,Y)f(x,y),确定系数A的值,求联合分布函数F(x.y).,解:,即,11. 随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,求分布密度函数f(x,y), 其中D为下面给定的区域:,时，,解:,椭圆面积为,圆面积为,12. 求上题中关于X及Y的边缘密度.,解:,13. 计算第11题(3)中的EX及EY.,解:,= 0,14. 分别判断第3、7、8各题中的随机变量X与Y是否独立?,解:,观察其联合分布及边缘分布可知

7、,第3题, 随机变量X与Y不独立.,第7题, 随机变量X与Y不独立.,第8题, 随机变量X与Y不独立.,15. 分别判断第10、11各题中的随机变量X与Y是否独立?,第10题, 随机变量X与Y相互独立.,第11题 (1), X与Y相互独立.,第11题 (2),参阅12题中的解答可见, X与Y不相互独立.,第11题 (3) 同上可见,X与Y不相互独立.,16. 设随机变量X1 与X2 独立,其概率分布表由表3_13及3_14确定,令X=X1 +X2 ,Y=X1X2 ,求随机向量(X1 , X2 )的概率分布及X、Y的概率分布.,解:,表3_13,表3_14,17. 有一种两版面的报纸,每版印刷错

8、误数服从参数为1的泊松分布,假定各版印刷错误相互独立,求一份这种报纸上印刷错误总数X的概率分布.,解: 两个版面的印刷错误数分别设其为U、V, 则,则X=U+V,且,X=U+V 可能的取值为0,1,2,一般有,18. 设随机变量X1 与X2 独立,且 Xt B (2,0.8), t=1,2 . 令 X=X1 +X2 , Y=X1X2 , 求X、Y的概率分布.,解:, X1 与X2 独立,且 Xt B (2,0.8), t=1,2 .,. . .,18.,19.,求上题随机向量(X,Y)的协差矩阵V.,解:,协差矩阵V:,其中,E(XY)=? 这是向量函数的期望,须通过X与Y的联合分布才能求得.

9、,由上题所得对应表:,可得随机向量X,Y的联合分布:,E(XY)=0 00.0016+10+20+40,+1 00.0256+10+20+40,+2 00.0512+10.1024+20+40,+3 00+10+20.4096+40,+4 00+10+20.4096+40.4096,=9.2160,=9.2160-8.192=1.024,20. 求第6题中随机变量(X1,X2)的协差矩阵V.,解:,由第6题中随机变量(X1,X2)的联合分布可知,21. 求第7、8各题中随机向量(X,Y)的均值向量及协差矩阵.,解:,由第7题中随机变量(X,Y)的联合分布可知,(X,Y)的均值向量为,又,解(第

10、8题),由第8题中随机变量(X,Y)的联合分布可知,22. 计算第11题(3)中随机向量(X,Y)的协差矩阵V.,解:,由第12题已得,由第13题已得,23.,设随机向量(X,Y)f(x,y),求系数A,X的边缘概率密度f1 (x),并计算(X,Y)在以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点的三角形内取值的概率.,解:,由密度函数的性质,得,设以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点的三角形区域为D1 ,则,0,2,2,D1,=0.6,24.,计算上题中随机向量(X,Y)的均值向量及协差矩阵.,解:, 随机变量X与Y相互独立.,25.,随机变量X与Y独立,且X服从0,2上的均匀分布,Y服从

11、=2的指数分布,写出随机向量(X,Y)的概率密度, 计算概率Pxy.,解:,XU0,2,Yexp(2),X与Y独立, (X,Y)的概率密度为,0,2,y=x,26. 已知随机向量(X,Y)的协差矩阵V为,计算随机向量(X+Y,X-Y)的协差矩阵.,解: 由V可得: DX=4, DY=9, cov(X,Y)=6,cov(X+Y,X-Y)= DX-DY,=4-9= -5,D(X+Y)=DX+DY+2cov(X,Y)=4+9+26=25,D(X-Y)=DX+DY-2cov(X,Y)=4+9-26=1,27. 随机变量Y是X的线性函数,Y=aX+b,(a0),且随机变量X在期望EX=,方差 ,求随机向

12、量(X,Y)的协差矩阵.,解:,28. 一个靶面由五个同心圆组成,半径分别为5,10,15,20,25(单位:厘米),假定射击时弹着点的位置为(X,Y),且(X,Y)服从二维正态分布,其密度为,规定弹着点落入最小的圆域得5分,落入其他各圆环(从小到大)的得分依次为4分,3分,2分及1分,求一次射击的平均得分.,解:,欲求平均得分即求E(X,Y),故首先计算各分值所对应的概率.,设弹着点落入的区域依次为(从内到外)D1,D2,D3,D4,D5.,D1,D1,D2,D3,D4,D5,29.上题中设Z为,弹着点到靶心的距离,求Z的概率密度fZ (z),及期望EZ.,解:,(X,Y)服从二维正态分布,

13、其密度为,=0, X与Y独立,也独立.,又,同理,可求,利用卷积公式,求出,. . .,30. 随机向量(X,Y)服从二维正态分布,均值向量及协差矩阵分别是,求出密度函数f(x,y)的表示式.,解: 由 得,EX=0,EY=0;,由V 得,DX=16,DY=25,Cov(X,Y)=12.,(X,Y)服从二维 正态分布,其密度为,31.设随机向量(X,Y)f(x,y),求(X,Y)的均值向量及协差矩阵.,解: 由,(X,Y)服从二维正态分布,且,32.,随机向量(X,Y)f(x,y),确定A的值,并求X与Y的相关系数,及协差矩阵,其中,解:,将f(x,y)的形式与二维正态密度的标准形式比较,得,

14、其中,由此可得,（1）,（2）,（3）,由(1),(2)可得,由(3)可得,33.,随机向量(X,Y)服从二维正态分布,均值向量及协差矩阵分别是,求随机向量(9X+Y,X-Y)的均值向量及协差矩阵.,解:,由题意得,(9X+Y,X-Y)的均值向量为,事实上,36.,随机变量序列 相互独立同正态分布,当n充分大时,可否认为 近似服从正态分布,为什么?,解:,由题设条件知此序列满足中心极限定理的两个条件,这里,故当n充分大时,有,即当n充分大时, 可以认为,当n充分大时, 近似服从正态分布,事实上，由定理3.1及其推论知，不论n是否充分大， 都一定服从正态分布 而不仅仅是近似服从正态分布.,但这里

15、 的期望不存在.,不存在.,因此此随机变量序列不满足中心极限定理.,这是由于积分,37. 随机变量序列 相互独立同分布,其概率密度,问它们是否满足中心极限定理,为什么?,分析:满足中心极限定理的条件除“独立同分布”外，还要求“期望与方差都存在”.,38. 200个新生儿中,求男孩数在80到120之间的概率(假定生男生女的机会相同).,解:,设 200个新生儿中,生男孩数为随机变量X,则,XB(200,0.5),P80X120,=F(120)-F(80),=2(2.824)-1,=20.9976-1=0.9952,39.从一大批废品率为3%的产品中随机地抽取1000个,求废品率在20到40个之间

16、的概率.,解:,设废品数为随机变量X,则 XB(1000,0.03),P20X40,=F(40)-F(20),=2(1.85)-1,=20.9678-1=0.9356,40. 随机变量 相互独立同分布,求,其中,解:,由Th3.1推论(P124),它们 相互独立同分布,可作为正态分布,则,=2(2.5)-1,=20.99379-1=0.98758,41.袋装食盐,每袋净重为随机变量,规定每袋标准重量为500克,标准差为10克,一箱内装100袋,求一箱食盐净重超过50250克的概率.,解: 设,则,设一箱食盐的重量为随机变量X, 则,=1-(2.5),=1-0.99379 =0.00621,42

17、.计算机有120个终端,每个终端在一小时内平均有3分钟使用打印机,假定各终端使用打印机与否相互独立,求至少有10个终端同时 使用打印机的概率.,解: 设,则 分布. 且,设计算机的终端,同时使用打印机的数量为随机变量X,则,且,=1-(1.6754),=1-0.95352=0.0465,近似服从,43.一大批种子中,良种占20%,从中任选5000粒,计算其良种率与20%之差小于1%的概率.,解: 设,5000粒中良种的数量为随机变量X,则 XB(5000,20%),所求问题即为,=2(1.768)-1,=20.96164-1=0.9232,44.上题中在所取的5000粒中,若以99%的把握断定

18、其良种率与规定的良种率20%之差的范围,问此时良种数所在的范围为何?,解: 设所设定的良种率的范围为t,则所取的5000粒中的良种数X应满足不等式,由题设,=0.99,2(176.8t)-1=0.99,(176.8t)=0.995,176.8t=2.58,t=0.0146,由此得, 927X1073,45.第一章表1_2(P10)中曾记录了皮尔孙掷硬币12000次正面出现6019次,若我们现在重复他的试验,求正面出现的频率与其概率之差的绝对值,不大于当年皮尔孙试验所发生的偏差的概率.,解: “重复他的试验”即掷硬币12000次的试验.,现在的试验中,正面出现的频数是一个随机变量X,每一次掷硬币

19、,就是一次试验.,则 分布,且,欲求正面出现的频率与其概率0.5之差的绝对值,不大于当年皮尔孙试验所发生的偏差(0.5016-0.5)的概率,即求,=20.6368-1=0.2736,46.电话交换台有10条外线,若干台分机,在一段时间内,每台分机使用外线的概率为10%,问最多可装多少台分机才能以90%的把握使外线畅通.,解: 设最多可装条外线.,同时需要使用外线的分机数为随机变量X, 则,XB(n,0.1),即,查正态分布表得,解之得, n=68.,故 最多可装68台分机才能以90%的把握使外线畅通.,X近似服从正态分布,应满足概率等式：,47.某车间有同型号机床200部,每部开动的概率为0

20、.7,假定各机床开关是相互独立的,开动时每部要消耗电能15个单位,问电厂最少要供应该车间多少单位电能,才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产?,解: 设随机变量X表示200部机床中同时开动的机床数目，,由于题中要求“以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产”，故设同时开动的机床数为，则应满足下列概率等式,则 XB(200,0.7),查正态分布表得,解之得, n=150.69 , 取 n=151,即以95%的概率满足用电要求时,因同时开动的机床有151台,故至少供电为 15115=2265 (个单位电能).,且近似服从正态分布,48. 计算机在进行加法时,每个加数取整(按四舍五入一取最

21、为接近它的整数), 设所有加数的取整误差是相互独立的, 且它们都服从 -0.5,0.5上的均匀分布.,(1) 若将300个数相加,求误差总和的绝对值超过15的概率;,(2) 至多n个数加在一起,其误差总和的绝对值小于10的概率为0.9.,解: 设,则,(1) 设300个数相加的误差总和为随机变量X,则,=1-2（3）-1,=2-2（3）,=0.0027,(2) 设有 n个数加在一起,误差总和为随机变量X,则,查表,得,n=440.77,故至多有440个数加在一起,其误差总和的绝对值小于10的概率为0.9.,49.设有30个电子器件,它们的使用寿命 都服从,=0.1(单位:小时)的指数分布,其使用情况是第一个损坏,第二个立即使用,第二个损坏,第三个立即使用等等,令T为30个器件使用的总计时间,计算T超过350小时的概率.,解: 设,则,=1-（0.91287）,=0.1814,50.某产品次品率为10%,应取多少件,才能使合格品不少于100件的概率达到95%?,解: 设需要取n件产品,这n件产品中有X件合格品.则XB(n,p).,P=1-10%=0.9, EX=np=0.9n, DX=np(1-p)=0.09n,XN(0.9n,0.09n),要使 PX100=95% ,即,查表,得,解之,得,