10变化率与导数、导数的计算

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1、第十一节变化率与导数、导数的计算知识能否忆起一、导数的概念1.函数y=fx)在x=x0处的导数(1)定义：称函数y=fx)在x=x0处的瞬时变化率lim0+黑 恥lim爭为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f (x0)或y lx=x0,Ax=0Ax=0 -即f(X0)-pm tX=B_fX0Ax0(2)几何意义：函数fx)在点x0处的导数f (x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0,x0)处的切线的斜 率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地，切线方程为yfx0)=f (xJ(x_x0).2.函数fx)的导函数称函数f (x) lim用+黑一用)为fx)的导函数.A

2、x0Ax二、基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x) c(c为常数)f (x)=0fx)=xn(n WQ*)f (x)=nxn-1fx) sin xf (x) cos_xfx) cos xf (x) =sin xf(x)=axf (x)axln afx) = exf (x)exfx)=logaxf (x) xln afx)=In xf (x)-x三、导数的运算法则1. fx)g(x)=f (x)土g (x)；2. fx)g(x)=f (x)g(x)+fx)g (x)；f (x)g(x)fx)g(x)gM(g(x)HO).(理)4.复合函数的导数复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u)

3、, u=g(x)的导数间的关系为y =y_J -u 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.小题能否全取1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导 法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变 换的等价性，避免不必要的运算失误2.曲线y=f(x) “在点P(x0, y0)处的切线”与“过点P(x0, y0)的切线”的区别与 联系(1)曲线y=fx)在点P(x0,儿)处的切线是指P为切点，切线斜率为k=f (x0)的切线, 是唯一的一条切线.(2)曲线y=fx)过点P(x0, y0)的切线，是指切线经

4、过P点点P可以是切点，也可以不 是切点，而且这样的直线可能有多条.抓考点学技法得拔离分掌握程度1孝点一利用导数的定义求函数的导数高频考点要通关GAOPIN KAODIAN YAOTONGGUAN1典题导入例 1 用定义法求下列函数的导数.4(l)y=x2；(2)y=x2.自主解答因为筹g严(x + Ax)2 _ x2Axf+SJx + Ax,所以 y=AltaO Ax = AMm0 (2x + Ax) = 2x._ ,444Ax(2x + Ax)(2)因为 Ay = (x_x2=_ x2(x + Ax)22x + AxAx=-4 x2(x + Ax)2,所以amo Ay2x + Ax8.x3

5、*= AMm0 L-4,x2(x + Ax)2_2由题悟法(3)计算导数f (x0)=li mAx0AyAx根据导数的定义，求函数y=fx)在x=x0处导数的步骤(1)求函数值的增量Ay=fx0+Ax)fx0)；Ax求平均变化率詈=从+山)fx0)；解析：选D Vsz,_a_3_13_44 4 3以题试法1.一质点运动的方程为s=8 3t2.求质点在1,1+At这段时间内的平均速度;(2)求质点在t=1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解).解：(1)Vs = 8-3t2, As = 8 - 3(1 + At)2-(8-3X12)=-6At-3(At)2,Asv =心=-6-3At(2)

6、法一(定义法)：质点在t= 1时的瞬时速度Asv = li m At = lim ( - 6 - 3At) =-6.At0 AtAt0法二(导数公式法)：质点在t时刻的瞬时速度 v = s (t) = (8 - 3t2) =- 6t.当 t = 1 时，v=-6X1=-6.3.(教材习题改编)某质点的位移函数是s(t) = 2t2.已知物体的运动方程为s = t2+-(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t=2时的速度为()a.2gt2(g=10m/s2),则当t=2s时，它的加速度是()A14 m/s2B4 m/s2C10 m/s2D4 m/s2解析：选 A 由 v(t)=sl (t) = 6

7、t2gt, a(t)=vl (t)=12tg,得 t=2 时，a(2)=v (2) = 12X2 10=14(m/s2).考点二1导数的运算1典题导入例 2 求下列函数的导数ex+1(1)y=x2sin x； (2)y=e；1；自主解答(1)y = (x2) sin x + x2(sin x)f = 2xsin x + x2cos x.(2)y(ex + 1) (ex 一 1) 一 (ex + 1)(ex 一 1) (ex - 1)2ex(ex - 1) -(ex + 1)ex_ 2ex(ex _ 1)2(ex _ 1)212则 y =(ln 以 u =RR，2即，=R.2由题悟法求导时应注意

8、： (1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量. (2)对于商式的函数若在求导之前变形,则可以避免使用商的导数法则,减少失误3以题试法1 .求下列函数的导数.(1)y = exln x；(2)y=x(x2+x+x)；解：(1)y =(exln x)=exln x+ex i=exlln x+i12/y = x3 + 1+x2，Ay/ = 3x2 _ x3.2.求下列函数的导数.(1) y=xtan x；(2) y= (x1)(x2)(x3)解：(l)y = (xtanx) = x tanx + x(tanx)=tan x + x(sin xAIcos xJ=tan x + x

9、cos2x + sin2xcos2xx=tan x +.cos2x(2)y=(x + 1)(x+ 2)(x + 3) +(x + 1)(x + 2)(x + 3)= (x + 2)(x + 3) +(x+ 1)(x + 2) +(x+ 1)(x + 3) = 3x2+ 12x+ 11.3.(教材习题改编)若fx)=xex,则f (1)=()A0BeC. 2eD. e2解析：选 C:f (x) = ex+xex,.f (1) = 2e.4. 函数fx) = (x+2a)(xa)2 的导数为()A. 2(x2a2)B. 2(x2a2)C. 3(x2 a2)D. 3(x2a2)解析：选 C f (x

10、) = (xa)2+(x+2a)2(xa) = 3(x2a2).5. 函数 y=xcos xsin x 的导数为.解析：y = (xcos x) - (sin x)=x cos x + x(cos x) - cos x= cos xxsin xcos x=xsin x.答案： xsin x6. fx)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若fx), g(x)满足f (x)=g (x),则fx)与g(x)满足()A. f(x)= g(x)B. f(x)= g(x)= 0C. fx)g(x)为常数函数D. fx)+g(x)为常数函数解析：选 C 由f (x)=g (x),得f (x)g (x)=0

11、, 即fx)g(x)=0,所以fx)g(x) = C(C为常数).7. (2013郑州模拟)已知函数fx)=lnxf ( 1)x2+3x4,则f (1)=. 解析：Tf (x) = x - 2f (- 1)x + 3,f (-1)= - 1+2f (-1) + 3,.f ( - 1) =-2,.f (1) = 1 + 4 + 3 = 8.答案： 88. (2012商丘二模)等比数列a 中,a, =2, a。=4, fx)=x(xaj(xaj(xa。)，f (x) n 1 8 1 2 8为函数fx)的导函数，则f (0) = ()A. 0 B. 26C. 29D.212解析：选 D */f(x)

12、 = x(xa 1)(xa2)(xa8),.f (x)=xz (x_a)(x_a8)+x(x_a).(xa8)= (x_a)(x_a8)+x(x_a).(xa8)(0) = (a/(a2) (a8)+0=af a a8 = (aa8)4=(2X4)4=(23)4=212.fn(x)=fn-1! (x)(nWN*,9.已知f(x) = sinx+cosx,记厶(x)=f (x), f/x)=f (x), n 三 2),1- 4一 4 AC解析：厶(x) =f1 (x) = cos x - sin x,f3(x) = (cos x - sin x)z =- sin x - cos x, f4(x)

13、=- cos x+ sin x, f5(x)= sin x+ cos x, 以此类推,可得出 fn(x)= fn+4(x),又 vf1(x) + 厶(x) +(x) +(x) = 0,讥 +朋)+.JO=503f1 +f +4 +4=答案： 01考点三1导数的几何意义自主解答(l)y =3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3,故切线方程是y- 12 =3(x - 1), 令x = 0 得 y = 9.(2) v 曲线 y = g(x)在点(1, g(1)处的切线方程为 y = 2x+1,.g (1) = k = 2.又f (x) = g (x) + 2x, f (1) = gz (1

14、) + 2 = 4,故切线的斜率为4.答案 (1)C (2)C 题多变若例3(1)变为：曲线y=x3+11，求过点P(0,13)且与曲线相切的直线方程. 解：因点P不在曲线上，设切点的坐标为(x0, y0),由 y = x3 + 11，得 yz =3x2,.2x3=Ox=|xy=k又vk =x+ 11- 1332xx3 =- 1,即 x0 =- 1.k = 3, y0= 10.所求切线方程为y- 10 = 3(x+ 1),即 3x - y + 13 = 0.、 丿2由题悟法导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点A(x0, f(x0)求斜率k,即求该点处

15、的导数值：k=f (x0)；(2) 已知斜率k,求切点A(x1，f(x1),即解方程f (x1)=k；(3) 已知切线过某点M(x1，f(x)(不不是切点)求切点，设出切点A(x0, fx0),利用k =(%)求解3以题试法1. (1)(2012新课标全国卷)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为.(2)(2013乌鲁木齐诊断性测验)直线y=|x+b与曲线y=2x+ln x相切，则b的值为2 1-2- -)AC BD解析：(l)y =3ln x+1+3,所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4,所以切线方程为y-1 = 4(x - 1)，即 y = 4x - 3.设切点的坐标为(

16、a,- fa + In a依题意，对于曲线y =- fx + ln x,有y11所以-1 12+a得a = 1.又切点(1,在直线 y = |x + b 上，故-2 = 2 + b，得 b =- 1.答案： (1)y4x3(2)B2.曲线yxlnx在点(e, e)处的切线与直线x+ay1垂直，则实数a的值为() 1 - Ac2 1-2- -BD解析：选 A 依题意得y/=1+lnx, yf 1 _ =l+ln e=2,所以一X2= 1, a = 2. xea3. (2012广东高考)曲线yx3x+3在点(1,3)处的切线方程为.解析：. =3x2-1,.y 1 =3X12-1=2.x= 1二该

17、切线方程为y - 3 = 2(x - 1),即2x-y+1=0.答案： 2x y1 04. (2012哈尔滨模拟)已知a为实数，函数fx)=x3+ax2+(a2)x的导函数f (x)是偶 函数，则曲线yfx)在原点处的切线方程为()Ay 3xBy 2xCy 3xDy 2x解析：选 Bx)x3+ax2+(a2)x,.f (x) 3x2+2ax+a2.f (x)为偶函数，a 0.:.f (x) = 3x22,f (0)2.曲线yf(x )在原点处的切线方程为y 2x.1B.2D. 25. 设曲线y 1inS x在点(1，1)处的切线与直线xay+10平行,则实数a等于()A. 1C. 2解析：选A

18、 Vyzsin2x(1 + cs x)cs x 1cos x sin2xsin2xyn1ix=2= 1.由条件知1a 1 ， a 1.6.若点P是曲线yx2lnx上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为()A. 1B./2C.乎D.、j3解析：选B 设P(x0，y0)到直线y = x - 2的距离最小，则yz |x = x0 = 2x0 -x = 1.得 0= 1 或 0P 点坐标(1,1).11 - 1 - 2| P至U直线y = - 2距离为d =11 = 2.7. (2012辽宁高考)已知P, Q为抛物线2=2y上两点，点P, Q的横坐标分别为4, 2,过P, Q分别作抛物线的切线，两

19、切线交于点A,则点A的纵坐标为解析：易知抛物线y = 22上的点P(4,8), Q( - 2,2),且y=,则过点P的切线方程为 y = 4-8,过点Q的切线方程为y=-2-2，联立两个方程解得交点A(1,-4)，所以点A 的纵坐标是- 4.答案： 48. (2012黑龙江哈尔滨二模)已知函数f()=|sin 乎cos 的图象在点A(0，y0)处的切线斜率为1,则tan 0=解析：由 f() = 2 - 4sin -乎cos 得 f () = 2- 4cos + 于sin ,1-COS x0 +3.4 sin x0=1,2n2kn + 3,k Z.故 tan x0 = tan(2kn +IO2

20、n=tan3 =- 3.即 sin x0- |cos x0= 1,即 sin(x0 - 6) = 1.nn所以 x0 - 6 = 2kn + 2， k Z，解得 x0 =答案：毛29已知函数fx)=x, g(x)=a(2Inx)(a0)右曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=l 处 x的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线.解： 根据题意有曲线y =f(x)在 = 1处的切线斜率为f (1) = 3,曲线y = g(x)在=1处的切线斜率为g (1) =-a.所以 f (1) = g (1),即 a=-3.曲线y =fx)在=1处的切线方程为y -f(1) = 3( - 1

21、), 得：y + 1 = 3( - 1)，即切线方程为3 - y - 4 = 0.曲线y = g()在=1处的切线方程为y - g(1) = 3( - 1).得 y6= 3(- 1),即切线方程为 3- y- 9= 0, 所以,两条切线不是同一条直线.10.设函数fx)=x3+ax29x1,当曲线y=f(x)斜率取小的切线与直线12x+y=6平 行时,求 a 的值解：f (x) = 3x2 + 2ax - 9 = 3(j + 3)2 - 9 -片，即当 x =-1时，函数 f (x)取得最小值-9 -专，因斜率最小的切线与12x + y = 6平行，即该切线的斜率为-12，所以-9 -牛=-1

22、2，即 a2= 9，即 a= 3.11.已知函数fx)=x3 3x及y=fx)上一点P(1,2),过点P作直线l,根据以下条件 求 l 的方程.(1) 直线l和y=fx)相切且以P为切点；(2) 直线l和y=fx)相切且切点异于P.解：(1)由fx)=x3-3x得f (x) = 3x2-3,过点P且以P(1，-2)为切点的直线的斜率f (1) = 0，故所求的直线方程为 y=- 2.设过P(1，-2)的直线l与y=fx)切于另一点(x0，y0)，则f (x。) = 3x0 - 3. 又直线过(x0, y0)，P(1，-2)，故其斜率可表示为,)y0-(-2)=x0-3x0 + 2x0- 1x0

23、- 1所以 x0-3xo：2x0- 13-2x3即 x0 - 3x0 + 2 = 3(x0 - l)(x0 - 1). 解得x0 = 1(舍去)或x0 =_ 2， 故所求直线的斜率为k = 3讣-1所以l的方程为y - ( - 2)=即 9x + 4y - 1 = 0.b12设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为7x4y12=0. x(1) 求fx)的解析式；(2) 证明：曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线-=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值71b解：(1)方程 7x - 4y - 12 = 0 可化为 y = 4- - 3，当 x =

24、 2 时，y = 又 f (x) = a + 2，则c b2a-2、a + 4 = 4a = 1,3解得 L q故 fx） =x-T.b = 3.x3(2)证明：设P(x0, y0)为曲线上任一点，由y = 1 + X2知曲线在点P(x0, y0)处的切线方程为y-yo = L1 +*）（x-%），即y-lxo-X0J = I1 +*）（x-x）令x = 0得y=-，从而得切线与直线x = 0的交点坐标为(0,-x0x0令y =x得y = x = 2x0，从而得切线与直线y = x的交点坐标为(2x02x0). 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x = 0, y = x所围成的三角形面积为*x012x（ = 6.故曲线y =f(x)上任一点处的切线与直线x = 0, y = x所围成的三角形的面积为定值，此定值为 6.D.1431典题导入例3 (1)(2011山东高考)曲线y=x3 + 11在点P(1, 12)处的切线与y轴交点的纵坐标 是()A. 9B. 3C. 9D. 15(2)设函数fx)=g(x)+x1 2，曲线y=g(x)在点(1, g(1)处的切线方程为y=2x+1,则曲线 y=fx)在点(1, f(1)处切线的斜率为()