二元泰勒展开

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1、第九节第九节 二元函数的泰勒公式二元函数的泰勒公式二、二元函数的泰勒公式二、二元函数的泰勒公式三、极值充分条件的证明三、极值充分条件的证明一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出 ).10()()!1()()(!)()(2)()()()(1000)1(00)(200000 nnnnxxnxxxfxxnxfxxxfxxxfxfxf一元函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式意义：可用意义：可用n次多项式来近似表达函数次多项式来近似表达函数)(xf，且，且误差是当误差是当0 xx 时比时比nxx)(0 高阶的无穷小高阶的无穷小 问题问题 能否用多个变量的多项式来近似能否用多个变量的多项式来

2、近似表达一个给定的多元函数，并能具体地估算出误表达一个给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小差的大小.即即 设设),(yxfz 在点在点),(00yx的某一邻域内连续的某一邻域内连续且有直到且有直到1 n阶的连续偏导数阶的连续偏导数,),(00hyhx 为此邻域内任一点为此邻域内任一点,能否把函数能否把函数),(00kyhxf 近似地表达为近似地表达为00,yykxxh 的的n次多项式，次多项式，且误差是当且误差是当022 kh 时比时比n 高阶的无穷高阶的无穷小小 定定理理 设设),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某一一邻邻域域内内连连续续 且且 有有 直直 到到1 n阶阶 的的

3、 连连 续续 偏偏 导导 数数,),(00hyhx 为为此此邻邻域域内内任任一一点点,则则有有 二、二元函数的泰勒公式二、二元函数的泰勒公式)10(),()!1(1),(!1),(!21),(),(),(00100002000000 kyhxfykxhnyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfhyhxfnn其中记号其中记号),(00yxfykxh ),(),(0000yxkfyxhfyx 表示表示),(002yxfykxh 表示表示),(),(2),(00200002yxfkyxhkfyxfhyyxyxx 一般地一般地,记号记号表示表示),(00yxfykxhm .),(000yxp

4、mpmpmpmppmyxpkhC 证证引入函数引入函数).10(),()(00 tktyhtxft显然显然),()0(00yxf ).,()1(00kyhxf 由由 的定义及多元复合函数的求导法则的定义及多元复合函数的求导法则,可得可得)(t),(),(),()(000000ktyhtxfykxhktyhtxkfktyhtxhftyx ),(),(2),()(00200002ktyhtxfkktyhtxhkfktyhtxfhtyyxyxx ).,()(001),(111011)1(00ktyhtxfykxhyxpkhtnktyhtxpnpnnppnppnnC 利用一元函数的麦克劳林公式，得利用

5、一元函数的麦克劳林公式，得).10(),()!1(1)0(!1)0(!21)0()0()1()1()(nnnn),()0 0(0 00 0y yx xf f=F F),()1 1(0 00 0k ky yh hx xf f+=F F将将,及及上面求得的上面求得的直到直到阶导数在阶导数在的值的值,以及以及在在)(t tF Fn n0 0=t t)()1 1(t tn n+F Fq q=t t的值代入上式的值代入上式.即得即得)1(,),(!1),(!21),(),(),(00002000000nnRyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfkyhxf 其中其中)2().10(),()!1

6、(1001 kyhxfykxhnRnn证毕证毕 公公式式)1(称称为为二二元元函函数数),(yxf在在点点),(00yx的的n阶阶泰泰勒勒公公式式,而而nR的的表表达达式式)2(称称为为拉拉格格朗朗日日型型余余项项.由二元函数的泰勒公式知由二元函数的泰勒公式知,nR的绝对值在的绝对值在点点),(00yx的某一邻域内都不超过某一正常数的某一邻域内都不超过某一正常数M.于是于是,有下面的误差估计式有下面的误差估计式:)3(,!12sincos!1!111111 nnnnnnMnnMkhnMR 其中其中.22kh 由由)3(式式可可知知,误误差差nR是是当当0 时时比比n 高高阶阶的的无无穷穷小小.

7、当当0 0=n n时时,公式公式)1 1(成为成为),(),(),(),(00000000kyhxkfkyhxhfyxfkyhxfyx 上式称为上式称为二元函数的拉格朗日中值公式二元函数的拉格朗日中值公式.推 论推 论 如 果 函 数如 果 函 数),(yxf的 偏 导 数的 偏 导 数),(yxfx,),(yxfy在某一邻域内都恒等于零在某一邻域内都恒等于零,则函则函数数),(yxf在该区域内为一常数在该区域内为一常数.在泰勒公式在泰勒公式)1(中中,如果取如果取0,000 yx,则则)1(式成为式成为n阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式.),()!1(1)0,0(!1)0,0(!21)0,0()

8、0,0(),(12yxfyyxxnfyyxxnfyyxxfyyxxfyxfnn )10()5(例例 1 1求函数求函数)1ln(),(yxyxf 的三阶麦的三阶麦克劳林公式克劳林公式.解解,11),(),(yxyxfyxfyx ,)1(1),(),(),(2yxyxfyxfyxfyyxyxx ,)1(!2333yxyxfpp ),3,2,1,0(p,)1(!3444yxyxfpp ),4,3,2,1,0(p,)0,0()0,0()0,0(yxyfxffyyxxyx ,)()0,0()0,0(2)0,0()0,0(2222yxfyxyffxfyyxxyyxyxx ,)(2)0,0()0,0(3)

9、0,0(3)0,0()0,0(332233yxfyfxyyfxfxfyyxxyyyxyyxxyxxx 又又0)0,0(f,故故 ,)(31)(21)1ln(332Ryxyxyxyx 其中其中).10(,)1()(41),(!414443 yxyxyxfyyxxR三、极值充分条件的证明三、极值充分条件的证明定定理理 2 2（充充分分条条件件）设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内连连续续，有有一一阶阶及及二二阶阶连连续续偏偏导导数数，又又 0),(00 yxfx,0),(00 yxfy，令令 Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，

10、利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理2 2则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 BAC时有极值，时有极值，当当0 A时有极大值，时有极大值，当当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02 BAC时可能有极值时可能有极值.证证依二元函数的泰勒公式，依二元函数的泰勒公式，对于任一对于任一)(),(0100PUkyhx 有有 ),(),(0000yxfkyhxff ),(2),(2100002kyhxhkfkyhxfhxyxx ),(002kyh

11、xfkyy ).10()6()1 1(设设0 02 2-B BACAC,即即 .0),(),(),(2000000 yxfyxfyxfxyyyxx)7(因因),(y yx xf f的二阶偏导数在的二阶偏导数在)(0 01 1P PU U内连续内连续,由由不等式不等式)7 7(可知可知,存在点存在点0 0P P的邻域的邻域)()(0 01 10 02 2P PU UP PU U蘿蘿,使得对任一使得对任一)(),(0 02 20 00 0P PU Uk ky yh hx x蝳蝳+有有 .02 xyyyxxfff)8(注注:将将),(y yx xf fxxxx在点在点),(0 00 0k ky yh

12、 hx xq qq q+处的值处的值记为记为xxxxf f,其他类似其他类似.由由)8(式可知式可知,当当)(),(0200PUkyhx 时时,xxf及及yyf都不等于零且两者同号都不等于零且两者同号.于是于是)6(式可写式可写成成 .21222xyyyxxxyxxxxfffkkfhfff 当当kh、不同时为零且不同时为零且)(),(0200PUkyhx 时时,上式右端方括号内的值为正上式右端方括号内的值为正,所以所以f 异于零且异于零且与与xxf同号同号.又又由由),(yxf的的二二阶阶偏偏导导数数的的连连续续性性知知xxf与与A同同号号,因因此此f 与与A同同号号,当当0 A时时),(00

13、yxf为为极极小小值值,当当0 A时时),(00yxf为为极极大大值值.)2(设设02 BAC,即即 .0),(),(),(2000000 yxfyxfyxfxyyyxx)9(先假定先假定,0 0),(),(0 00 00 00 0=y yx xf fy yx xf fyyyyxxxx则则.0 0),(0 00 0箎箎y yx xf fxyxy分别令分别令h hk k=及及h hk k-=,则由则由)6 6(式可得式可得 ,),(2),(21010101010102kyhxfkyhxfkyhxfhfyyxyxx 及及 ,),(2),(22020202020202kyhxfkyhxfkyhxfh

14、fyyxyxx 其中其中.1 1,0 02 21 1 q qq q 当当0h时时,以上两式方括号内的式子分别以上两式方括号内的式子分别趋于极限趋于极限 ),(2),(20000yxfyxfxyxy 及及 从而当从而当h充分接近零时充分接近零时,两式方括号内的值有两式方括号内的值有相反的符号相反的符号,因此因此f 可取不同符号的值可取不同符号的值,所以所以),(00yxf不是极值不是极值.再证再证),(),(0 00 00 00 0y yx xf fy yx xf fyyyyxxxx与与不同时为零的情形不同时为零的情形.不妨不妨.0 0),(0 00 0箎箎y yx xf fxyxy先取先取0

15、0=k k,于是由于是由)6 6(式得式得).,(21002yhxfhfxx 当当h h充分接近零时充分接近零时,f fD D与与),(0 00 0y yx xf fxxxx同号同号.但如果取但如果取,),(,),(0 00 00 00 0s sy yx xf fk ks sy yx xf fh hxxxxxyxy=-=其中其中s s是异于零但充分接近于零的数是异于零但充分接近于零的数,则可发现则可发现,当当s s充分小时充分小时,f fD D与与),(0 00 0y yx xf fxxxx异号异号.),(0 00 0y yx xf fD D 如此证明了如此证明了:在点在点的任意邻近的任意邻近,可取可取不同符号的值不同符号的值,因此因此),(0 00 0y yx xf f不是极值不是极值.)3(考察函数考察函数42),(yxyxf 及及.),(32yxyxg 容易验证容易验证,这两个函数都以这两个函数都以)0 0,0 0(为驻点为驻点,且在点且在点)0 0,0 0(处都满足处都满足0 02 2=-B BACAC.但但),(y yx xf f在点在点)0 0,0 0(处有极小值处有极小值,而而),(y yx xg g在点在点)0 0,0 0(处却没有极值处却没有极值.