《3用柱面坐标或球面坐标把三重积分化为三次积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3用柱面坐标或球面坐标把三重积分化为三次积分（6页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、习题 10-33.用柱面坐标或球面坐标把三重积分f (x, y,z)dV化为三次积分，其中O分别是由如Q下各组不等式所确定的区域：(1) z x2 + y2， z 22 + y2 ；解:这是与yoz平面对称的区域，只须画与yoz平面上的截面, 用柱面坐标，Q = (x, y, z)1 x2 + y2 z 2 一2 + y2 , x2 + y2 1二 (r 0 z)r z 一 r ,0 r 1 住0 ， 2 所以 JU f (x, y, z )dV = J2 兀 d0 J1 dr J 2一rf (r cos0, r sin 0, z)rdz .00 r 2Q(3) x2 + y2 + z2 a2
2、， z2 3(x2 + y2)；解:两个球面的交线是:x 2 + y 2 + z 2 二 a 2z2 二 3(x2 + y2)1x 2 + y 2 = a 2严4v3az 二2方法一:用柱面坐标，Q = (x,y,z)l*3(x2 + y2) z 丫3(x2 + y2)i11u(x, y,z) I 、a2 一 x2 一 y2 z 、a2 一x2 一 y2， a2 x2 + y2 a21=(r,0,z)丨 一、：3厂 z 3r,0 r a,0 0 2兀1u(r,0,z)丨 一 a2 一 r2 z 、a2 一 r2, a r a,0 0 2兀，所以 JJJf (x, y,z)dV = J2兀d0J
3、a/2drJf (rcos0,rsin0, z)rdz00 3rQ+J2 兀 d0 Ja dr J、f (r cos 0, r sin 0, z )rdz .0a/2 a 2 r 2方法二:用球面坐标，冗5兀再交点处9=7和申=，球面方程为：P = a，66兀5兀Q = (p,0,申)10 p a, 0 0 2兀,9 ，66a f (p sin 申 cos 9, p sin 申 sin 9, p cos 申)p 2 sin 申d pBJ f (x, y, z)dV J 加 d9f 勿/6 d訂4在柱面坐标系中或球面坐标系中计算下列三重积分：1)BBBex2+y2dV，其中Q是由曲面x2 + y
4、2二z和平面z = 1所围成的区域;y2 和平面 x = 0、z = 0、z = 1 所Q 解：在柱面坐标系中Q = (r ,9, z )1 x 2 + y 2 z 1,0 r 1,09 2兀,W2+y2 dV = B2兀 d9 B1drB 1 er 2 rdz00r 2Q二 2nl 1 er2 (r r3)dr 二兀(2 r2)er2i 二兀(e 2)0 0(3) M z丘 + y2dV，其中Q是由曲面x二2y 一Q围成的区域;解：在柱面坐标系中Q 二(r,9,z)10 z 1,0 r 2sin9,0 9 n/2,JJJz.x2 + y2dV 二卜/2d92sin9drf1 r2zdz000
5、Q二卜/2d9卜in91 r2dr 二卜/2丄r3 g9 d90 0 2 0 6 0二卜/2 4 sin 3 9d9 = 4 卜/2(1 cos 2) sin 9d9033 0=COS2 9 cos9 n/23 305.利用三重积分求下列立体Q的体积，其中Q分别为:(1)由抛物面z二2 x2 y2和锥面z二%2 + y2所围成的区域;解：这是对称区域，只须画与yoz平面上的截面,可以看成 xy 型区域Q = (x, y, z)丨 Jx2 + y2 z 2 一 x2 一 y2,x2 + y2 1V (Q) = f2n d9 f1 drf2-r2 rdz00 r3r4r n406 =2nf1 (2 r r3 )d r = t2 r 丄03(3) 由球面x2 + y2 + z2 = 2z和锥面z = x2 + y2所围成的上半区域;解：用球面坐标，兀0 二(p,0,9)10 p 2cos 9,0 0 2兀,0 x 4V(0)二 J加 d0：d/2cos9 p2 sin9dp0 0 0工116工=2兀 J 4 sin 9 p3 |2cos9 d9 = 兀 J 4 cos3 9 sin 9d9(4(3 x 1 * 30r03014兀-x4 - x6)dx = 一一兀 COS4 9 I4 = K330
3用柱面坐标或球面坐标把三重积分化为三次积分
