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1、1,第2章 谓词逻辑,2,在命题逻辑中，我们把命题分解到原子命题为止，认为原子命题是不能再分解的，仅仅研究以原子命题为基本单位的复合命题之间的逻辑关系和推理。 实际上，简单命题还可以进行分解，例如，“王平是大学生”这一简单命题可以分解为主语(王平)和谓语(是大学生)，命题逻辑反映不出这一特点。 其次，如下两个简单命题“王平是大学生”和“李明是大学生”，有一个共同特点是大学生，这一共性在命题逻辑中也表示不出来。因此，有必要推广命题逻辑。,引 言,3,第三，有些简单而正确的推理过程在命题演算里不能得到证明。例如著名的苏格拉底三段论： “人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。” 在命题逻

2、辑中，三个原子命题分别用P，Q，R表示，现在要证明PQR，即证明PQR是重言式，但这在命题逻辑中是不可能的。因此从推理的角度看，也有必要推广命题逻辑。 谓词逻辑就是命题逻辑的自然推广。本章介绍的一阶逻辑内容仅限于一阶谓词逻辑或狭义谓词逻辑。,引 言,4,2.1 个体谓词和量词,1.个体、谓词和命题的谓词形式 定义2.1.1 在原子命题中，所描述的对象称为个体；用以描述个体的性质或个体间关系的词语，称为谓词。 个体：是指可以独立存在的事物，它可以是具体的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。表示特定的个体，称为个体常元，以a，b，c或带下标的ai，bi，ci表示；表示不确定的个体，称为个体变

3、元，以x，y，z或xi，yi，zi表示。 谓词：当与一个个体相联系时，它刻划了个体性质；当与两个或两个以上个体相联系时，它刻划了个体之间的关系。表示特定谓词，称为谓词常元，表示不确定的谓词，称为谓词变元，都用大写英文字母，如P，Q，R，或其带上、下标来表示。,5,2.1 个体谓词和量词,对于给定的命题，当用表示其个体的小写字母和表示其谓词的大写字母来表示时，规定把小写字母写在大写字母右侧的圆括号( )内。 例如，在命题“张明是位大学生”中，“张明”是个体，“是位大学生”是谓词，它刻划了“张明”的性质。设S：是位大学生，c：张明，则“张明是位大学生”可表示为S(c)，或者写成S(c)：张明是位大

4、学生。又如，在命题“武汉位于北京和广州之间”中，武汉、北京和广州是三个个体，而“位于和之间”是谓词，它刻划了武汉、北京和广州之间的关系。设P：位于和之间，a：武汉，b：北京，c：广州，则P(a，b，c)：武汉位于北京和广州之间。,6,2.1 个体谓词和量词,定义2.1.2 一个原子命题用一个谓词(如P)和n个有次序的个体常元(如a1，a2，an)表示成P(a1，a2，an)，称它为该原子命题的谓词形式或命题的谓词形式。 应注意的是，命题的谓词形式中的个体出现的次序影响命题的真值，不是随意变动，否则真值会有变化。 如上述例子中，P(b,a,c)是假。 a：武汉，b：北京，c：广州,7,2.1 个

5、体谓词和量词,2.n元原子谓词 原子命题的谓词形式还可以进一步加以抽象，比如在谓词右侧的圆括号内的n个个体常元被替换成个体变元，如x1,x2,xn，这样便得了一种关于命题结构的新表达形式，称之为n元原子谓词。,8,2.1 个体谓词和量词,2.n元原子谓词 定义2.1.3 由一个谓词(如P)和n个体变元(如x1，x2，xn)组成的P(x1，x2，xn)，称它为n元原子谓词或n元命题函数，简称n元谓词。而个体变元的论述范围，称为个体域或论域。 当n=1时，称一元谓词；当n=2时，称为二元谓词，。特别地，当n=0，称为零元谓词。零元谓词是命题，这样命题与谓词就得到了统一。,9,2.1 个体谓词和量词

6、,3.量词 定义2.1.4 符号称为全称量词符，用来表达“对所有的”、“每一个”、 “对任何一个”、“一切”等词语；x称为全称量词，称x为指导变元。 符号称为存在量词符，用来表达“存在一些”、“至少有一个”、“对于一些”、“某个”等词语；x称为存在量词，x称为指导变元。 符号!称为存在唯一量词符，用来表达“恰有一个”、“存在唯一”等词语；!x称为存在唯一量词，称x为指导变元。,10,实例,例2.1.1 试用量词、谓词表示下列命题： 所有大学生都热爱祖国； 每个自然数都是实数； 一些大学生有远大理想； 有的自然数是素数。,解 令S(x)：x是大学生，L(x)：x热爱祖国，N(x)：x是自然数，R

7、(x)：x是实数，I(x)：x有远大理想，P(x)：x是素数。 则例中各命题分别表示为： (x)(S(x)L(x) (x)(N(x)R(x) (x)(S(x)I(x) (x)(N(x)P(x),11,2.2 谓词公式与翻译,1.谓词公式 为了方便处理数学和计算机科学的逻辑问题及谓词表示的直觉清晰性，将引进项的概念。 定义2.2.1 项由下列规则形成： 个体常元和个体变元是项； 若f是n元函数，且t1，t2，tn是项，则f(t1，t2，tn)是项； 所有项都由和生成。,12,2.2 谓词公式与翻译,定义2.2.2 若P(x1，x2，xn)是n元谓词，t1，t2，tn是项，则称P(t1，t2，tn

8、)为Lp中原子谓词公式，简称原子公式。,13,2.2 谓词公式与翻译,定义2.2.3 合式谓词公式当且仅当由下列规则形成的符号串 原子公式是合式谓词公式； 若A是合式谓词公式，则(A)是合式谓词公式； 若A，B是合式谓词公式，则(AB)，(AB)，(AB)和(AB)都是合式谓词公式； 若A是合式谓词公式，x是个体变元，则(x)A、(x)A都是合式谓词公式； 仅有有限项次使用、和形成的才是合式谓词公式。,14,2.谓词逻辑的翻译 把一个文字叙述的命题，用谓词公式表示出来，称为谓词逻辑的翻译或符号化；反之亦然。 例2.2.1 把下列命题符号化： 张强和李林都是足球运动员。 赵越是象棋迷或围棋迷。

9、李林比张强高。 解 令F(x):x是足球运动员，i:李林，c:张强；命题符号化为F(c)F(i)。 令C(x):x是象棋迷，G(x):x是围棋迷，a:赵越，命题符号化为C(a)G(a)。 令H(x,y):x比y高，i:李林，c:张强，命题符号化为H(i,c)。,2.2 谓词公式与翻译,15,2.2 谓词公式与翻译,例2.2.2 符号化下列命题： 汽车比牛车跑得快。 有的汽车比所有火车跑得快。 并不是所有的汽车都比火车跑得快。 不存在跑得同样快的两个汽车。,16,2.2 谓词公式与翻译,解 令C(x):x是汽车，B（x）：x是牛车，S(x,y):x比y 跑得快，T(x)：x是火车，L(x,y)：

10、x和y跑同样快。 本命题可理解为“所有汽车都比所有牛车跑得快”因此本命题可符号化为： (x)(C(x)(y)(B(y)S(x,y)或 (x)(y)(C(x)B(y)S(x,y) 本命题可符号化为：(x)(C(x)(y)(T(y)S(x,y) 本命题可理解为“并非所有汽车都比所有火车跑得快”或“有的汽车比有的火车跑得不快”，因此本命题可符号化为： (x)(y)(C(x)T(y)S(x,y)或(x)(y)(C(x)T(y)S(x,y) 本命题也可理解为“任何两个汽车跑得不会同样快”，因此本命题可符号化为： (x)(y)(C(x)C(y)L(x,y)或(x)(y)(C(x)C(y)L(x,y),17

11、,2.3 约束变元与自由变元,定义2.3.1 给定一个谓词公式A，其中有一部分公式形如(x)B(x)或(x)B(x)，则称它为A的x约束部分，称B(x)为相应量词的作用域或辖域。在辖域中，x的所有出现称为约束出现，x称为约束变元；B中不是约束出现的其它个体变元的出现称为自由出现，这些个体变元称自由变元。,18,2.3 约束变元与自由变元,例2.3.1 指出下列各合式公式中的量词辖域、个体变元的约束出现和自由出现。 (x)(P(x)(y)Q(x,y) (x)H(x)L(x,y) (x)(y)(P(x,y)Q(y,z)(x)R(x,y),19,2.3 约束变元与自由变元,解 (x)的辖域是(P(x

12、)(y)Q(x,y)，(y)的辖域为Q(x,y)；对于(y)的辖域而言，y为约束出现，x为自由出现。对于(x)的辖域来说，x和y均为约束出现，x约束出现2次，y约束出现1次。 (x)的辖域是H(x)，x为约束出现，L(x,y)中的x和y都为自由出现。对于整个公式来说，x的约束出现1次，自由出现1次，y自由出现1次。 在(x)(y)(P(x,y)Q(y,z)中，(x)和(y)的辖域分别为(y)(P(x,y)Q(y,z)和 (P(x,y)Q(y,z)，显然x和y为约束出现，z为自由出现。(x)的辖域是R(x,y)，x为约束出现，y为自由出现。在整个公式中，x为约束出现，y为约束出现又为自由出现，z

13、为自由出现。,20,2.3 约束变元与自由变元,定义2.3.2 设A为任意一个公式，若A中无自由出现的个体变元，则称A为封闭的合式公式，简称闭式。 由闭式定义可知，闭式中所有个体变元均为约束出现。例如，(x)(P(x)Q(x)和(x)(y)(P(x)Q(x,y)是闭式，而(x)(P(x)Q(x,y)和(y)(z)L(x,y,z)不是闭式。,21,2.3 约束变元与自由变元,从上面讨论可以看出，在一公式中，有的个体变元既可以是约束出现，又可以是自由出现，这就容易产生混淆。为了避免混淆，采用下面两个规则： 约束变元改名规则，将量词辖域中某个约束出现的个体变元及相应指导变元，改成本辖域中未曾出现过的

14、个体变元，其余不变。 自由变元代入规则，对某自由出现的个体变元可用个体常元或用与原子公式中所有个体变元不同的个体变元去代入，且处处代入。,22,2.3 约束变元与自由变元,例2.3.2 将公式(x)(P(x)Q(x,y)R(x,y)中的约束变元改名。 解 正确改名是把约束变元x改为z，得(z)(P(z)Q(z,y) R(x,y)，其中R(x,y)的x为自由变元，所以不改名。而(z)(P(z)Q(x,y)R(x,y)和(y)(P(y)Q(y,y)R(x,y)均为错误改名。,23,2.3 约束变元与自由变元,例2.3.3 对公式(x)(P(y)Q(x,y)R(x,y)中的自由变元代入。 解 正确地

15、代入是把z代入自由变元y，得(x)(P(z)Q(x,z)R(x,z)，而(x)(P(z)Q(x,z)R(x,y)和(x)(P(x)Q(x,z)R(x,x)是错误代入。,24,2.3 约束变元与自由变元,改名规则与代入规则的共同点都是不能改变给定公式中的约束关系，而不同点是： 施行的对象不同。改名是对约束变元施行，代入是对自由变元施行。 施行的范围不同。改名可以只对公式中一个量词及其辖域内施行，即只对公式的一个子公式施行；而代入必须对整个公式同一个自由变元的所有自由出现同时施行，即必须对整个公式施行。 施行后的结果不同。改名后，公式含义不变，因为约束变元只改名为另一个个体变元，约束关系不改变。约

16、束变元不能改名为个体常元；代入，不仅可用另一个个体变元进行代入，并且也可用个体常元去代入，从而使公式由具有普遍意义变为仅对该个体常元有意义，即公式的含义改变了。,25,2.3 约束变元与自由变元,定义2.3.3 令A是任意合式公式，x为自由出现，以及给定项t。如果x不出现在A中项t所含的任意个体变元y的量词(y)或(y)的辖域内，则称项t对A中的x是自由的或可代入的。 例如，取A为(x)P(x,y)(z)Q(x,z)，则项f(x,w)对y不是自由的，项g(y,z)对y是自由的，项h(x,z)不是自由的，项y对x是自由的。 由定义可知，对任何公式A和任意个体变元x，不管x在A中是否自由出现，x对

17、A中的x是自由的。,26,2.4 公式解释与类型,1公式解释 定义2.4.1 一个解释I由下面4部分组成： 非空个体域DI。 DI中部分特定元素a，b，。 DI上的特定一些函数f，g，。 DI上特定谓词：P，Q，。 在一个具体解释中，个体常元、函数符号、谓词符号的数量一般是有限的，并且其解释一旦确定下来就不再改变，只是个体变元的值在个体域DI内变化，量词符或仅作用于DI中的元素。下面用例子说明公式的解释。,27,2.4 公式解释与类型,例2.4.1 给定解释I如下： DI=3,6。 DI中特定元素a=3。 DI上特定函数f(x):f(3)=6，f(6)=3。 DI上特定谓词P(x):P(3)

18、0，P(6) 1；Q(x,y):Q(i,j)1，i,j=3,6；R(x,y):R(3,3) R(6,6) 1，R(3,6) R(6,3) 0。 在解释I下，求下列各公式的真值。 (x)(P(x)Q(x,a) (x)(P(f(x)Q(x,f(x) (x)(y)R(x,y),28,2.4 公式解释与类型,解 在解释I下： 式(P(3)Q(3,3)(P(6)Q(6,3) (01)(11) 0 式(P(f(3)Q(3,f(3)(P(f(6)Q(6,f(6) (P(6)Q(3,6)(P(3)Q(6,3) (11)(01) 1 式(y)R(3,y)(y)R(6,y) (R(3,3)R(3,6)(R(6,3

19、)R(6,6) (10)(01) 11 1,29,2.4 公式解释与类型,2公式类型 定义2.4.2 若一公式在任何解释下都是真的，称该公式为逻辑有效的，或永真的。 若一公式在任何解释下都是假的，称该公式为矛盾式，或永假式。 若一公式至少存在一个解释使其为真，称该公式为可满足式。 从定义可知，逻辑有效式为可满足式，反之未必成立。,30,2.4 公式解释与类型,例2.4.5 判断下列公式的类型： (x)P(x)(x)P(x) (x)P(x)(x)P(x)(y)Q(y) (x)(y)P(x,y)(x)(y)P(x,y) 解 设I为任意解释，其个体域为DI。若存在aDI，使P(a)为假，则(x)P(

20、x)为假，故(x)P(x)(x)P(x)为真；若对xDI，都有P(x)为真，则(x)P(x)、(x)P(x)均为真，所以(x)P(x)(x)P(x)为真。因此，在解释I下，原公式为真。由于I的任意性，所以原公式是逻辑有效的。,31,2.4 公式解释与类型,中的公式是对公式P(PQ)实施了以(x)P(x)处处代入P，以(y)Q(y)代入Q得到的，根据代入规则及P(PQ)为重言式可知，中公式是重言式。 设解释I为： () 个体域 为自然数集合NI。 () P(x,y)为x=y。 在该解释下，中公式前件(x)(y)P(x,y) (x)(y)(x=y)，这是真的；公式后件(x)(y)P(x,y)(x)

21、(y)(x=y)，这是假的。因此，在该解释下，原公式为假。这说明中公式不是逻辑有效的。 若将上述解释I中，把P(x,y)改为xy，得到新的解释I，可知在I下，前后件都是真的，故公式为真。这说明中公式也不是矛盾的。综上，中公式为可满足式。,32,2.5 等价式与蕴涵式,引入： 语句：班上每个学生都学过一门微积分课 p(x): x学过一门微积分课 (x)P(x) 语句的否定为：并非班上每个学生都学过一门微积分课 等价于：班上有个学生没有学过微积分 (x) P(x) 这个例子说明了什么？,33,2.5 等价式与蕴涵式,1等价式 定义2.5.1 设A、B为任意两个谓词公式，若AB为逻辑有效的，则称A与

22、B是等价的，记为AB，称AB为等价式。 由于重言式(永真式)都是逻辑有效的，可见1.3节中的命题定律（基本等价式）都是Lp中等价式。,34,2.5 等价式与蕴涵式,下面给出涉及量词的一些等价式，它们的证明略去了。 (1) 量词否定等价式： (a)(x)A(x)A (b)(x)A(x)A (2) 量词辖域缩小或扩大等价式 设B是不含x自由出现，A(x)为有x自由出现的任意公式，则有： (a) (x)(A(x)B)(x)A(x)B (b) (x)(A(x)B)(x)A(x)B (c) (x)(A(x)B)(x)A(x)B,35,2.5 等价式与蕴涵式,(d) (x)(BA(x)B(x)A(x) (

23、e) (x)(A(x)B)(x)A(x)B (f) (x)(A(x)B)(x)A(x)B (g) (x)(A(x)B)(x)A(x)B (h) (x)(BA(x)B(x)A(x)。 (3) 量词分配律等价式： (a) (x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x) (b) (x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x) 其中，A(x)，B(x)为有x自由出现的任何公式。,36,2.5 等价式与蕴涵式,(4) 多重量词等价式 (a) (x)(y)A(x,y)(y)(x)A(x,y) (b) (x)(y)A(x,y)(y)(x)A(x,y) 其中A(x,y)为含有x和y自由出现的任意公

24、式。,37,2.5 等价式与蕴涵式,例2.5.1 证明(x)(y)(A(x)B(y)(x)A(x)(y)B(y) 其中x,y为分别不在公式B(y)、A(x)中自由出现。 证明 (x)(y)(A(x)B(y) (x)(A(x)(y)B(y) 根据(2)中(d) (x)A(x)(y)B(y) 根据(2)中(c),38,2.5 等价式与蕴涵式,2. 蕴涵式 由于LS中蕴涵式（或永真条件式）在Lp中都是逻辑有效的，而且使用代入规则得到蕴涵式也都是Lp中逻辑有效的。 例如，(x)P(x)(x)P(x)(y)Q(y) 附加 (x)P(x)Q(x,y)(x)P(x) Q(x,y) 假言推理 下面将给出Lp中

25、的一些蕴涵式，其证明省略了。 (1) (a) (x)A(x)(x)B(x)(x)(A(x)B(x) (b) (x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x) (c) (x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x) (d) (x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x) 其中，A(x)和B(x)为含有x自由出现的任意公式。,39,2.5 等价式与蕴涵式,(2) (a) (x)(y)A(x，y)(x)A(x，x) (b) (x)A(x，x)(x)(y)A(x，y) (c) (x)(y)A(x，y)(y)(x)A(x，y) (d) (y)(x)A(x，y)(x)(y)A(x，y) (

26、e) (x)(y)A(x，y)(y)(x)A(x，y) 其中，A(x，y)为含有x、y的自由出现的任意公式。,40,2.6 谓词公式范式,1.前束范式 定义2.6.1 一个合式公式称为前束范式，如果它有如下形式： (Q1x1)(Q2x2)(Qkxk)B 其中Qi(1ik)为或，B为不含有量词的公式。称Q1x1Q2x2Qkxk为公式的首标，B为母式。 特别地，若中无量词，则也看作是前束范式。 可见，前束范式的特点是，所有量词均非否定地出现在公式最前面，且它的辖域一直延伸到公式之末。 例如，(x)(y)(z)(P(x,y)Q(y,z),R(x,y)等都是前束范式，而(x)P(x)(y)Q(y)，(

27、x)(P(x)(y)Q(x,y)不是前束范式。,41,2.6 谓词公式范式,定理2.6.1 (前束范式存在定理) Lp中任意谓词公式A都有与之等价的前束范式。 例2.6.1 将公式(x)P(x)(y)Q(y)(x)R(x)化归为前束范式。 解 原式(x)P(x)(y)Q(y)(z)R(z) 约束变元改名 (x)(y)(z)(P(x)Q(y)R(z) 量词前移 由于量词前移的顺序不同，可得到不同的并且都是等价的前束范式。可见，前束范式一般不是唯一的。 例如，例2.6.1的前束范式有：(x)(y)(z)(P(x)Q(y)R(z) 和(y)(x) (z)(P(x)Q(y)R(z)。,42,2.6 谓

28、词公式范式,2.斯柯林范式 前束范式的的优点是全部量词集中在公式前面，其缺点是各量词的排列无一定规则，这样当把一个公式化归为前束范式时，其表达形式会显现多种情形，不便应用。1920年斯柯林(Skolem)提出对前束范式首标中量词出现的次序给出规定：每个存在量词均在全称量词之前。 按此规定得到的范式形式，称为斯柯林范式。显然，任一公式均可化为斯柯林范式。它的优点是：全公式按顺序可分为三部分，公式的所有存在量词、所有全称量词和辖域。这给Lp的研究提供了一定的方便。,43,2.6 谓词公式范式,例2.6.2 求公式(x)(P(x)(y)Q(y,z)(z)R(y,z)的斯柯林范式。 解 原式(x)(P

29、(x)(y)Q(y,z)(z)R(y,z) (x)(P(x)(u)Q(u,z)(v)R(y,v) 改名 (u)(v)(x)(P(x)Q(u,z)R(y,v) 量词前移,44,2.7 谓词逻辑的推理理论,定义2.7.1 在谓词公式A(x)中，若x不自由出现在量词(y)或(y)的辖域， 则称A(x)对于y是自由的。 由定义可知，若y在A(x)中不是约束出现，则A(x)对于y一定是自由的。 例2.7.1 令A(x)是下列公式，考察A(x)对y是否自由。若是，请给出A(y)。 P(x,y)(y)Q(y) (P(x)Q(y)(x)R(x) P(x,y)(y)Q(x,y) (y)(P(y)Q(x),45,

30、2.7 谓词逻辑的推理理论,解 和对y是自由的，相应的A(y)分别为： A(y):P(y,y)(y)Q(y)； A(y):(P(y)Q(y)(x)R(x)。 和分别成为：P(x,y)(z)Q(x,z)和(z)(P(z)Q(x)，这时它们对y又都是自由的。 因此，此时相应的A(y)分别为： A(y):P(y,y)(z)Q(y,z)；A(y):(z)(P(z)Q(y)。 可见，使用改名规则，可使A(x)对y原来不是自由的可化为是自由的。,46,2.7 谓词逻辑的推理理论,1.有关量词消去和产生规则 量词消去规则： (1) 全称量词消去规则(简称UI或US规则) 有两种形式：(x)A(x)A(c)

31、其中c为任意个体常元 (x)A(x)A(y) A(x)对y是自由的 (2) 存在量词消去规则(简称EI或ES规则) 有两种形式：(x)A(x)A(c) 其中c为特定个体常元 (x)A(x)A(y),47,2.7 谓词逻辑的推理理论,量词产生规则： (3) 存在量词产生规则(简称EG规则) 有两种形式：A(c)(y)A(y) 其中c为特定个体常元 A(x)(y)A(y) (4) 全称量词产生规则(简称UG规则) A(x)(y)A(y) 应该强调的是，要掌握和理解上述四规则的成立条件，否则会产生错误推理。,48,2.7 谓词逻辑的推理理论,例2.7.7 试证明下面苏格拉底论证： 所有人都是要死的，

32、 苏格拉底是人， 因此，苏格拉底是要死的。 证明 令M(x):x是人，D(x):x是要死的，s:苏格拉底，原题可符号化为： (x)(M(x)D(x)，M(s)D(s) 推证如下： 1 （1） (x)(M(x)D(x) P 1 （2） M(s)D(s) UI，（1） 3 （3） M(s) P 1，3 （4） D(s) T,(2),(3),I,49,2.7 谓词逻辑的推理理论,例2.7.8 每个大学生或者享有奖学金或者交费学习。每个大学生当且仅当学习评优者享有奖学金。并非所有大学生学习都能被评优。因此，有些大学生要交费学习。 解 令S(x):x是大学生，E(x):x享有奖学金，P(x):x要交费学

33、习，T(x):x学习被评优。 本例应符号化： (x)(S(x)(E(x)P(x)，(x)(S(x)(T(x)E(x)， (x)(S(x)T(x)(x)(S(x)P(x),50,2.7 谓词逻辑的推理理论,推证如下： 1 (1) (x)(S(x)T(x) P 1 (2) (x)(S(x)T(X) T,(1),E 1 (3) S(c)T(c) EI,(2) 4 (4) (x)(S(x)(T(x)E(x) P 4 (5) (S(c)(T(c)E(c) UI,(4) 1 (6) S(c) T,(3),I 1, 4 (7) T(c)E(c) T,(5),(6),I 1, 4 (8) (T(c)E(c)(

34、E(c)T(c) T,(7),E 1, 4 (9) E(c)T(c) T,(8),E 1 (10) T(c) T,(3),I,51,2.7 谓词逻辑的推理理论,1, 4 (11) E(c) T,(9),(10)I 12 (12) (x)(S(x)(E(x)P(x) P 12 (13) S(c)(E(c)P(c) UI,(12) 1,12 (14) E(c)P(c) T,(6),(13),I 1,12 (15) E(c)P(c) T,(14),I 1, 4,13 (16) P(c) T,(11),(15),I 1, 4,13 (17) S(c)P(c) T,(6)(16),I 1, 4,13 (18) (x)(S(x)P(x) EG,(17) 注意，在前提中有(x)和(x)时，应先使用EI规则，再使用UI规则。,