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1、课时作业13空间向量与立体几何12019安徽芜湖质检如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值解析：(1)证明：因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以BB1AC.因为ACBD且BDBB1B，所以AC平面BB1D，又B1D平面BB1D，所以ACB1D.(2)易知AB，AD，AA1两两垂直，如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.设ABt，则A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1
2、,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)，因为ACBD，所以t2300，解得t或t(舍去)所以(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)，设n(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则即取x1，则y，z，所以n(1，)是平面ACD1的一个法向量设直线B1C1与平面ACD1所成的角为，则sin |cosn，|，故直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.22019广东五校第一次诊断如图，在菱形ABCD中，ABC60，AC与BD交于点O，AE平面ABCD，CFAE，ABAE2.(1)求证：BD平面ACFE；(2)当直线FO
3、与平面BED所成的角为45时，求异面直线OF与BE所成角的余弦值解析：(1)证明：四边形ABCD是菱形，BDAC.AE平面ABCD，BD平面ABCD，BDAE.又ACAEA，AC，AE平面ACFE，BD平面ACFE.(2)连接OE，以O为原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则B(0，0)，O(0,0,0)，E(1,0,2)，F(1,0，a)(a0)，则(0，0)，(1,0,2)，(1,0，a)设平面EBD的法向量为n(x，y，z)，则有即得y0.令z1，则x2，n(2,0,1)是平面EBD的一个法向量由题意得sin45|cos，n|，得a3或a，由a0
4、，得a3，(1,0,3)，(1，2)，cos，所以异面直线OF与BE所成角的余弦值为.32019广东惠州一调如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，侧面是正方形，DAB60，E是棱CB的延长线上一点，经过点A，C1，E的平面交棱BB1于点F，B1F2BF.(1)求证：平面AC1E平面BCC1B1；(2)求二面角EAC1C的余弦值解析：(1)证明：设四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长为a，B1F2BF，B1C1FBEF，BE.由DAB60ABE，得ABC120，由余弦定理得AE，ACa.CEBEBC，AE2CE2AC2，AECE.又ABCDA1B1C1D1是直四棱柱，C1C平面AB
5、CD，又AE平面ABCD，C1CAE.CECC1C，AE平面BCC1B1.AE平面AC1E，平面AC1E平面BCC1B1.(2)解法一过C作CGAC1于G，CHC1F于H，连接GH.由平面AC1E平面BCC1B1，平面AC1E平面BCC1B1C1E，得CH平面AC1E.CHAC1，又CGAC1，CGCHC，AC1平面CGH，AC1GH，CGH是二面角EAC1C的平面角在RtACC1中，ACa，CC1a，AC12a，CGa，在RtECC1中，CEa，CC1a，EC1a，CHa，GHa，cosCGH，二面角EAC1C的余弦值为.解法二以E为坐标原点，EC，EA所在直线分别为x轴，y轴，平行于BB1
6、的直线为z轴建立空间直角坐标系Exyz，则E(0,0,0)，A，C1，则，.设平面EAC1的法向量为n(p，q，r)，则即不妨取n(2,0,3)连接BD，B，D，易知平面AC1C的一个法向量为n1.设二面角EAC1C的平面角为，则|cos |，又由题图知为锐角，二面角EAC1C的余弦值为.42019河南洛阳统一考试如图1，平面多边形PABCD中，PAPD，AD2DC2BC4，ADBC，APPD，ADDC，E为PD的中点，现将APD沿AD折起，如图2，使PC2.(1)证明：CE平面ABP；(2)求直线AE与平面ABP所成角的正弦值解析：(1)证明：取PA的中点H，连接HE，BH，如图E为PD的中
7、点，HE为APD的中位线，HEAD，且HEAD.又ADBC，BCAD，HEBC，HEBC，四边形BCEH为平行四边形，CEBH.BH平面ABP，CE平面ABP，CE平面ABP.(2)由题意知PAD为等腰直角三角形，四边形ABCD为直角梯形取AD的中点F，连接BF，PF，AD2BC4，平面多边形PABCD中，P，F，B三点共线，且PFBF2，翻折后，PFAD，BFAD，PFBFF，DF平面PBF，BC平面PBF，PB平面PBF，BCPB.在直角三角形PBC中，PC2，BC2，PB2，PBF为等边三角形取BF的中点O，DC的中点M，连接PO，OM，则POBF，DF平面PBF，DFPO.又DFBFF
8、，PO平面ABCD.以O为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(1,0,0)，D(1,2,0)，P(0,0，)，A(1，2,0)，E，(2,2,0)，(1,0，)设平面ABP的法向量为n(x，y，z)，则故可取n(3，3，)，cosn，直线AE与平面ABP所成角的正弦值为.52019天津卷如图，AE平面ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，ABAD1，AEBC2.(1)求证：BF平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角EBDF的余弦值为，求线段CF的长解析：本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识考查用
9、空间向量解决立体几何问题的方法考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力依题意，可以建立以A为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系Axyz(如图)，可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0，1,0)，E(0,0,2)设CFh(h0)，则F(1,2，h)(1)依题意，(1,0,0)是平面ADE的法向量，又(0,2，h)，可得0，又因为直线BF平面ADE，所以BF平面ADE.(2)依题意，(1,1,0)，(1,0,2)，(1，2，2)设n(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨令z1，可得n(2,2,1)因此有cos，n.所以，直线CE与平面B
10、DE所成角的正弦值为.(3)设m(x，y，z)为平面BDF的法向量，则即不妨令y1，可得m.由题意，有|cosm，n|，解得h.经检验，符合题意所以，线段CF的长为.62019四川成都模拟如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A平面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E为棱AA1的中点(1)证明：B1C1CE；(2)求二面角B1CEC1的正弦值；(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长解析：(1)证明：在B1C1E中，EB1，B1C1，EC1，B1CECEB，B1C1EC1，AA1平面ABCD，AA1BC，CC1B1C1
11、，而CC1EC1C1，B1C1平面CC1E.CE平面CC1E，B1C1CE.(2)由题可知，DA，AA1，AB两两垂直，如图，以点A为原点，分别以AD，AA1，AB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)，(1，2，1)，(1,1，1)，(1,0，1)，设平面B1CE的法向量为m(x，y，z)，则即消去x，得y2z0，不妨令z1，所以x3，y2，则m(3，2,1)为平面B1CE的一个法向量由(1)知，B1C1平面CEC1，故(1,0，1)为平面CEC1的一个法向量所以cosm，从而sinm，所以二面角B1CEC1的正弦值为.(3)由(2)知(0,1,0)，(1,1,1)，设，则(，)(01)，则(，1，)易知(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量设为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则sin |cos，|，得(负值舍去)，所以，|，故线段AM的长为.- 9 -
2020版高考数学大二轮复习 课时作业13 空间向量与立体几何 理
