精准答案概率论与数理统计河南理工大学陈昊

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1、11概率论与数理统计答案习题答案第1章三、解答题1设PAB0，则下列说法哪些是正确的1A和B不相容；2A和B相容；3AB是不可能事件；4AB不一定是不可能事件；5PA0或PB06PABPA解46正确2设A，B是两事件，且PA06，PB07，问1在什么条件下PAB取到最大值，最大值是多少2在什么条件下PAB取到最小值，最小值是多少解因为，又因为即所以01当时PAB取到最大值，最大值是06BAAPB2时PAB取到最小值，最小值是PAB060710313已知事件A，B满足，记PAP，试求PB解因为，即，1B所以1PP4已知PA07，PAB03，试求AP解因为PAB03，所以PAPAB03,PABPA

2、03,又因为PA07，所以PAB070304，601B5从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少解显然总取法有种，以下求至少有两只配成一双的取法10CNK法一分两种情况考虑5K24125其中为恰有1双配对的方法数241522法二分两种情况考虑216815CK25其中为恰有1双配对的方法数6185C法三分两种情况考虑4285K25其中为恰有1双配对的方法数142815法四先满足有1双配对再除去重复部分2815CK法五考虑对立事件10CK5412其中为没有一双配对的方法数452法六考虑对立事件41618041其中为没有一双配对的方法数6810所求概率为23410CK

3、P6在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码求1求最小号码为5的概率；2求最大号码为5的概率解1法一，法二1230P12305ACP2法二，法二3104C31047将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率解设M1,M2,M3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则,81AP69432AP643CMP8设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少解设M2,M1,M0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则,2

4、53CP6025131CP10251CP9口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率解设M1“取到两个球颜色相同”，M1“取到两个球均为白球”，M2“取到两个球均为黑球”，则212所以813C28521PP10若在区间0，1内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率解这是一个几何概型问题以X和Y表示任取两个数，在平面上建立XOY直角坐标系，如图任取两个数的所有结果构成样本空间X，Y0X，Y133事件A“两数之和小于6/5”X，YXY6/5因此251741AP图11随机地向半圆（为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求20XAY原点和该

5、点的连线与轴的夹角小于的概率X4解这是一个几何概型问题以X和Y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，表示原点和该点的连线与轴的夹角，在平X面上建立XOY直角坐标系，如图随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间X，Y20,2XA事件A“原点和该点的连线与轴的夹角小于”4X，Y,02XYA因此212142AAP12已知，求,31,4BAPBP解,2B,612|A3164A13设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少解题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件

6、是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。设A“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B“两件均为不合格品”；，32106CAP15204CBP/|B14有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少解设A“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则44，由全概率公式得52,3152APC,452353|1919CABPB由贝叶斯公式得234/|195AP15将

7、两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为002，而B被误收作A的概率为001，信息A与信息B传送的频繁程度为21，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少解设M“原发信息是A”，N“接收到的信息是A”，已知,01|,02|MNPP32P所以,9|,98|,由贝叶斯公式得19760398203|NPPMNP16三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是41,5多少解设AI“第I个人能破译密码”，I1,2,3已知所以,41,3,512APP,3,2,1AP至少有一人能将此密码译出的概率为54312132117设

8、事件A与B相互独立，已知PA04，PAB07，求解由于A与B相互独立，所以PABPAPB,且PABPAPBPABPAPBPAPB将PA04，PAB07代入上式解得PB05，所以50111或者,由于A与B相互独立,所以A与相互独立，所以50BP18甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为06和05，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少解设A“甲射击目标”，B“乙射击目标”，M“命中目标”，已知PAPB1,所以,50,60BPABPAA55由于甲乙两人是独立射击目标，所以80560460BPAPBAMP71|MAM19某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的

9、概率分别为03，02，01；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为03，02，试问1用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些2第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是03时，情况又如何解设AI“第1种工艺的第I道工序出现合格品”，I1,2,3；BI“第2种工艺的第I道工序出现合格品”，I1,2（1）根据题意，PA107，PA208，PA309，PB107,PB208,第一种工艺加工得到合格品的概率为PA1A2A3PA1PA2PA3,5049807第二种工艺加工得到合格品的概率为PB1B2PB1PB2,6可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。（2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的

10、概率仍为0504，而PB1PB207,第二种工艺加工得到合格品的概率为PB1B2PB1PB24907可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。1设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件ABC，且已知,21CPBA，求PA69CBAP解因为ABC，所以PABC0,因为A，B，C两两相互独立，所以,P23APCB由加法公式得BCACA即16932P014考虑到得,21A42设事件A，B，C的概率都是，且，证明2CBAP21证明因为，所以P将11ABCPBPAPBABABP代入上式得到2C23C整理得66212ACPBAPBC3设01时，Y21101YYE所以；1,021YEFYY（2），2PYFX当时

11、，为不可能事件，则，EX02YEPYFXY当时，则，100LNY0LNLN2DXYY当时，则，YDXEYY1LNLN02根据得22YFFYY；1,022F（3），33YXPYYY1818当时，0Y023YXPYFY当时，YYXEDX103所以；0,23YEYFY71证明由题意知。,XXF，21211YEPYYYFEYXYX当时，即，0Y0）（F当时，YDXEYXY2LN2L1当时，Y1LN021DXEYPYF故有，可以看出服从区间（0，1）均匀分布；0,1FYY（2）1221222YEPYEYYEXXX当时，EPFXY当时，10，YDXEYXYYYXY21LN0221LN12当时，0L2PEP

12、FY由以上结果，易知，可以看出服从区间（0，1）均匀分布。10,2YYF2Y第三章1解X,Y取到的所有可能值为1,1,1,2,2,1由乘法公式PX1,Y1PX1PY1|X1|2/31/2/3同理可求得PX1,Y11/3PX2,Y11/3X,Y的分布律用表格表示如下YX12191911/31/321/302解X，Y所有可能取到的值是0,1,21PXI,YJPXIPYJ|XI|,I,J0,1,2,IJ232822328或者用表格表示如下YX01203/286/281/2819/286/28023/28002PX,YAPXY1PX0,Y0PX1,Y0PX0,Y09/143解PA1/4,由PB|A得P

13、AB1/82/14/ABP由PA|B得PB1/42/1BPAX,Y取到的所有可能数对为0,0,1,0,0,1,1,1,则PX0,Y0P1APBPAB5/81PX0,Y1PBPBAPBPAB1/8APX1,Y0PAPABPAPAB1/8BPX1,Y1PAB1/84解1由归一性知1,故A4,101042PXY03PX14010,1,012,1,00时，,0,1,|XYXYXFYXFYYX所以，,1|,|XYXFYXFYYX12解由得,|FFYYX,00,115|,2|YXYXYFXFYXFYX647,501502XDDFP13解ZMAXX,Y,WMINX,Y的所有可能取值如下表PI00501502

14、007011022004007009X,Y0,10,00,11,11,01,12,12,02,1MAXX,Y001111222MINX,Y100101101ZMAXX,Y,WMINX,Y的分布律为Z0122323PK020602W101PJ01605303114解0,1XEXFXX0,YEYFYY由独立性得X，Y的联合概率密度为,0,1,2YXEYXFY则PZ1PXY211,02XYXYXDEDFPZ01PZ105故Z的分布律为Z01PK050515解,0,2YXYXF01|,1,212XDYDYXFFXX同理，0|,122YFY显然，所以X与Y不相互独立XFFYX16解1,01X,01YYF

15、利用卷积公式求FZZDXZFZFYXZXFYX,01,1X2424210,02,10ZDXZFXZFZZYXZ2,01XXFX0,YYEYF利用卷积公式DFZFZFYXZ,01,YYEYFZFYXDYFZFZFYXZ10,10,10ZEZYEZZ17解由定理31（P75）知，XYN1,2故50211P18解1X012,0XXEDYEXDYXFFX同理，Y012EYFYY显然，所以X与Y不相互独立XFYX2利用公式DXZZZ,0,21,0,0,21,XZZEXZEXXFZXDXZFZFXZ,2120ZZDZZ19解并联时，系统L的使用寿命ZMAXX,Y因XE,YE,故25250,1XEFXX0,

16、1YEFYY,1XEFX,1YEFY0,0,ZEZZZZYXZ0,0,111ZEEZFZZZZ串联时，系统L的使用寿命ZMINX,Y0,1111ZEZFZZFZYXZ0,0,1ZEZFZZB组1解PX0A04,PXY1PX1,Y0PX0,Y1ABPX0,XY1PX0,Y1A由于X0|与XY1相互独立,所以PX0,XY1PX0PXY1即AA04AB1再由归一性知04AB0112解1,2得A04,B012解12472,2102XYXDYXDFYXP2利用公式计算ZFZFZ,2626,010,2,XZXZXZF2,01,2,01,10ZZZDXDXZFZFZZ3解1FYYPYYPX2Y当Y5时，当5

17、时，0XF33025XXFEX1|5D所以这种家电的平均寿命EX10年9在制作某种食品时，面粉所占的比例X的概率密度为0,1,425XXF求X的数学期望EX解EX1/4DXDXF1052410设随机变量X的概率密度如下，求EX3232XY101,12302XXF解00122DXDXDXFXE11设，求数学期望,4PBSINXE解X的分布律为，K0，1，2，3，4，KPCPX取值为0，1，2，3，4时，相应的取值为0，1，0，1，0，所以2SI1SIN3431PPE12设风速V在0，A上服从均匀分布，飞机机翼受到的正压力W是V的函数，（K0，常数），求W的数2学期望解V的分布律为，所以,0AVV

18、FAAVKDXFKWE03022|12K13设随机变量X,Y的分布律为YX01203/289/283/2813/143/14021/2800求EX，EY，EXY解EX03/289/283/28）13/143/14021/28007/141/2EY0（3/283/141/28）19/283/14023/280021/283/4EXYEXEY1/23/41/414设随机变量X，Y具有概率密度，求EX，EY，EXY,01,0,124,XYXYXF解EX10242DDXYDX1024X104325216043X333315234526381345/22406410102XXDXXDYYDXYEXXDY

19、15某工厂完成某批产品生产的天数X是一个随机变量，具有分布律X1011121314PI0203030101所得利润（以元计）为,求EY，DY120Y解EYE100012X1000121002121103121203121301121401400EY2E1000212X2100021210202（1211）203（1212）203（1213）201（1214）20116106DYEY2EY216106400214410616设随机变量X服从几何分布，其分布律为,21,1KPKXP其中0321SIN2CO13/3/XDDXF所以EY4P2，DY4P1P1，EY2DYEY21453设随机变量U在区间

20、2，2上服从均匀分布，随机变量1,1,1UUX若若若若试求1和的联合分布律；2X解1,0241UUFUPX1,Y1PU1且U1PU1，412DUPX1,Y1PU1且U10，PX1,Y1P11且U1PU1，421所以和的联合分布律为3838XY1111/41/2101/42和的边缘分布律分别为X11PI1/43/4Y11PI3/41/4所以EX1/43/41/2，EY3/41/41/2，EXY1/41/21/40，EX21/43/41，EY21，DX11/43/4，DY11/43/4，COVX，Y1/4，DXYDXDY2COVX，Y3/43/42/424设随机变量X的期望EX与方差存在，且有，证

21、明0,BXDAEBAXY1,0证明首先证明E（Y）存在1若随机变量X为离散型随机变量，分布律为,21,IPXPI则由EX存在知，绝对收敛，且1IIPXAXE记,则绝对收敛，GBAYBIIIII11IIX所以E（Y）存在，,0BAXEDAYD2若X为连续型随机变量，其概率密度为FX,则1101XDBABXDYAXEBAEYEXDFBXDFXFAFXFBAD5设离散型随机变量X的分布律为，且EX，EX2，DX都存在，试证明函数,21,KPXPK在时取得最小值，且最小值为DX12KKPXXFE证明令，01KKPXDF则，1KKPX3939，所以，011XXEPXKKXEX又，所以时，取得最小值，此时

22、02DF12KKPF12DPXXEFKK6随机变量X与Y独立同分布，且X的分布律为X12PI2/31/3记，,MIN,AXVU1求U，V的分布律；2求U与V的协方差COVU，V解1X,Y的分布律YX1214/92/922/91/9X,Y（1，1）（1，2）（2，1）（2，2）PIJ4/92/92/91/9U1222V1112VU1214/9024/91/92EU4/925/914/9，EV4/92/92/921/910/9，EUV4/924/941/916/9,COVU，V16/9140/814/817随机变量X的概率密度为,024/10,XXFX令为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求COV

23、X，Y,2YXFY解40403/26/54/187,8/74/2/6/5/4/14/12/130120333012022202XEXEYXCOVDXDXDXFXEFYXDXDDXFXXE8对于任意二事件A和B，015366,故N至少为16X5从正态总体中抽取样本X1，X2，X102,N1已知0，求；104IP2未知，求12675II解（1）因为XIN0，052，即,1,0NI102XI令，则122II21II由于1642102102PXPXIII查表知，所以160262102PI2）因为XIN，052，即，所以05,NX,7,I102NXI102752IIX，10265IIP10104565I

24、IIIPP查表知，所以452909207102IIX6已知XTN，求证X2F1，N证明因为XTN，存在YN0，1，Z2N，Y与Z独立，使，4747由于，且Y2与Z独立，所以12Y2NZ,12NFYX第七章7（A）三、解答题1设总体服从几何分布，分布律为，求的矩估计量X,21,1KPKXP10P解因为，所以X的一阶矩,2,1PKPK1112/1PPENKKNKKNK用样本的一阶A1代替总体X的一阶矩EX得到,所以的矩估计量为PP2求均匀分布中参数的矩估计量,BAU,解设X1，X2，XN为总体X的一个样本，总体X的一阶、二阶矩分别为21BAE2EX2DXEX2322BA用样本的一阶、二阶矩A1和A

25、2分别代替总体的一阶、二阶矩1和2，得到32BAA解得的矩估计量为BA,NIINIIXXAA121221133IIIIAB23设总体的概率密度为X，|21XEF是来自的简单随机样本，求参数的矩估计量1,N解总体X的一阶为212A4848|1212121|2122121XXXXXXXXXXXDEDEDEDEDEDEDEXE用样本的一阶A1代替总体X的一阶矩EX得到4设总体的概率密度为，其中是未知参数，是来自的,01/XEXFX,01,NX简单随机样本，求和的矩估计量解总体X的一阶为|1/1XXXXXDEDXEEDDXEXE总体X的二阶为22222/2/222|1DXXEEXDDXEXXEXXXX

26、用样本的一阶、二阶矩A1和A2分别代替总体的一阶、二阶矩1和2，得到22A212A4949解得和的矩估计量为，NIIXA1221NIIA1221215设，M已知，未知，是来自的简单随机样本，求的最大似然估计量,PBX0P,NXP解由于X的分布律为MKPCXPMK,0,1基于样本观测值X1，X2，XN的似然函数为IIXNIXMNPLP,121,11NIXMXIINICP,LLLL11NIXNIIIX,0LND1PXXPLNII解得1MXNPI,01LD222PXNPLII的最大似然估计值为P1XNI的最大似然估计量为MXP6设总体的概率密度为，今从X中抽取10个个体，得数据如下0,XEXF105

27、0110010801200130012501340106011501150试用最大似然估计法估计解设X1，X2，XN为总体X的一个样本，基于样本观测值X1，X2，XN的似然函数为,00,211211NNIINXEFXLI当时，令0,21NXI1LL，0LN1NIXLD解得1XPNII5050XNI1考虑到0LN22LD所以，的最大似然估计值为X1将数据代入计算，的最大似然估计量为00008587设某电子元件的使用寿命的概率密度为X,02XEXF为未知参数，是的一组样本观测值，求的最大似然估计值0NX,21解设X1，X2，XN为总体X的一个样本，基于样本观测值X1，X2，XN的似然函数为,0,2

28、1121NXNIINXEFLII容易看出越大L越大，在约束下，NX,21,MIN21N即为最大似然估计值。8设是取自总体N，1的一个样本，试证下面三个估计量均为的无偏估计量，并确定最有效的一个21,X，213X214321X证明因为独立均服从N，1，且21,32121EE41434,21X所以，均为的无偏估计量。又因为213X213421X,91094321DD856621XE,2X所以最有效。212X9设总体X的数学期望为，是来自的简单随机样本是任意常数,证明1,NXNA,215151是的无偏估计量011NIINIAXA证明因为XI的数学期望均为，所以,111111NIINIINIINIIN

29、IINIIAAXAEAE故是的无偏估计量01IINIA10设总体是来自X的一个样本21,NXN1试确定常数C，使为2的无偏估计1NIII2试确定常数C，使为2的无偏估计2S解（1）因为2121211121211112121NCCXEXEXECCNIINIININIIINIIIIIIIIIINNIINIINIII所以当时，为2的无偏估计。2C12IIIXE1NIIIX（2）因为2222CNXCDESCES所以当时，为2的无偏估计。NC12CXEX11设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为60，57，58，65，70，63，56，61，50设干燥时间总体服从N，2；在下面两种情况下，求

30、的置信水平为095的置信区间1由以往的经验知06小时2未知解（1）由于06，求的置信区间由公式计算，22,ZNXZ其中N9，005，196，代入计算得的置信水平为095的置信区间为（5608，6392）025Z691IX（2）由于未知，求的置信区间由公式计算，1,122TNSTNS其中N9，005，2306，80252TT691IX30212IIXS5252代入计算得的置信水平为095的置信区间为（5558，6442）12某机器生产圆筒状的金属品，抽出9个样品，测得其直径分别为101，097，103，104，099，098，099，101，103公分，求此机器所生产的产品，平均直径的置信水平为

31、99的置信区间假设产品直径近似服从正态分布解设XN,2,由于2未知，的置信区间为，1,122NTSXNTSX其中N9，001，3548052TT05691IX，612NIIXS代入计算得的置信水平为99的置信区间为（0978，1033）13某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取9只进行寿命测试，取得数据如下（单位小时）1050，1100，1080，1120，1250，1040，1130，1300，1200设灯泡寿命服从正态分布，试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信水平为95的置信区间解设XN,2,由于未知，的置信区间为，1,122NTSXNTSX其中N9，005，2306，80252TT491I

32、X13612NIIXS代入计算得的置信水平为95的置信区间为（107178，121045）14假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布，现随机抽取此种香烟8支为一样本，测得其尼古丁平均含量为186毫克，样本标准差S24毫克，试求此种香烟尼古丁含量方差的置信水平为099的置信区间解设XN,2,由于未知，2的置信区间为1,122NSN其中N8，001，S24，98207,7015105N代入计算得的置信水平为95的置信区间为（199，4076）15从某汽车电池制造厂生产的电池中随机抽取5个，测得其寿命分别为19，24，30，35，42，求电池寿命方差的置信水平为95的置信区间，假设电池寿命近似服从正态

33、分布解设XN,2,由于未知，2的置信区间为1,122NSN其中N5，005，480,4319750105N，351IX8212IIXS代入计算得方差的置信水平为95的置信区间为（029，673）16设使用两种治疗严重膀胱疾病的药物，其治疗所需时间（以天计）均服从正态分布试验数据如下使用第一种药物5,7,4211SN使用第二种药物8962X假设两正态总体的方差相等，求使用两种药物平均治疗时间之差的置信水平为99的置信区间21解设两正态总体分别为XN1,12，YN2,22，由于1222未知，的置信区间为125353，2121NSNTYXW其中51,7,421SX896228716412NSSW查T

34、分布分位数表知T/2N1N22T00052821199故得的置信水平为099的置信区间为（33，2）2117测得两个民族中各8位成年人的身高（单位CM）如下A民族16261702172716511575158416021622B民族17531778167618031829180517841804假设两正态总体的方差相等，求两个民族平均身高之差12的置信水平为90的置信区间解由于总体方差相等但未知，可采用21212NSNTYXW计算12的置信区间其中，由两个民族的观测数据计算得639,63,81SXN4722Y158271SSW查T分布分位数表知T/2N1N22T005141761故得12的置信

35、水平为090的置信区间为1878，98018工人和机器人独立操作在钢部件上钻孔，钻孔深度分别服从N1，12和N2，22，1，2，12，22均未知，今测得部分钻孔深度（单位CM）如下工人操作402394403402395406400机器人操作401403402401400399402400试求的置信水平为090的置信区间21解由于1和2未知，可采用计算的置信区间1,1,212212NFSNFS21/由两样本观测值计算得，01，查F分布的分位数表知089,71SN07SF0056,7387，F0956,746,5故得的置信水平为095的置信区间为21/39,82401789,31078919求12

36、题中的置信水平为095的单侧置信区间下限解设XN,2,由于2未知，的的单侧置信下限可由下面公式计算得到1NTSX5454其中N9，001，8591805T05619IX，6122NIIXS代入计算得的置信水平为95的单侧置信下限09985913065120求14题中香烟尼古丁含量方差的置信水平为099的单侧置信区间置信上限解由于XN，2且未知，2的单侧置信上限为21NS其中N8，001，1239，S24，7190N代入计算得的置信水平为99的单侧置信区间置信上限为543972221设总体，已知，要使总体均值的置信水平为的置信区间长度不大于L，问应抽取多,2NX01大容量的样本解由于，已知，总体均值的置信水平为的置信区间为,22020,ZNXZ令置信区间为长度，解得LZN20/4LN