近世代数复习提纲

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1、近世代数复习提纲群论部分、基本概念1、群的定义（四个等价定义）2、基本性质（1）单位元的唯一性；（2）逆元的唯一性；（3）（ab），二b，（a）=a；（4）ab二ac=b=c；（5）ax二b=x=ab；ya=b=y=baA。3、元素的阶使am=e成立的最小正整数m叫做元素a的阶，记作|a|=m;若这样的正整数不存在，则称a的阶是无限的，记作|a|=：。（1）|a|=|a|,|a|=|gag|（-gG）。（2）若am二e,则 |am； |a|=m=由ae可得m|n。（3）当群G是有限群时，VG，有|a|且|a|G|。（4）丨a丨=n=丨ar丨=n，其中d=（r,n）。dnr证明设|ar|=k。因

2、为（ar）“=（an）d=e，所以k。d另一方面，因为（ar）k=ark=e，所以nrk，从而k，又（d所以nk，故k=。d注：仆|ab躬a|b|，但若ab=ba，且（a|lb=，则有|ab|=|a|b|（P70.3）。2|G|：=-a三G,|a|：:;但一a三G,|a|：=|G|：:。例1令G二aC|nZ,an=1，则G关于普通乘法作成群。显然，1是G的单位元，所以-aG，有|a|：:，但|G|=：:。二、群的几种基本类型1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。3、变换群：集合A上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合A上的变换

3、群。（1）变换群的单位元是A的恒等变换。（2）A的所有变换的集合关于变换的乘法作成A上最大的变换群。（3）一般地，变换群不是交换群。（4）任一个群都与一个变换群同构。4、置换群：有限集合A上的一一变换叫做置换，若干置换作成的变换群叫做置换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。例2设=（123）,（13）（24）是中元素，求。12345*12345、*12345、*1234523145丿&2145丿J4325/冲325丿:;=(123)(13)(24)=(142)（1）n元集合A的所有置换作成的置换群，叫做n次对称群，记作Sn。（2）61二n!。（3）每个n元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环

4、置换的乘积。（4）（diQ（ik7）。（5）任一有限群都与一个置换群同构。5、循环群：若群G中存在元素a，使得G=（a）二an|nZ，则称G是循环群（1）循环群是交换群（P61.1）。（2）素数阶群是循环群（P70.1）。(3) 循环群的子群是循环群(P65.4)。当lG|=n时，G三Z二G=,aaJ,e=a0,a,a2,;当|G|=n时，G=Zn二G二e二a0,a,a2,anJ。(4) |G|=|a|当|G|m时，G有且仅有两个生成元a,a_1;当|G|=n时，G有且仅有(n)个生成元，这里(n)表示小于n且与n互素的正整数个数。且当(m,n)=1时，am是G的生成元。(5) 若G与G同态，

5、贝U1 G也是循环群；2 当时，g=(a)；3 G的阶整除G的阶。例3(P793)三、子群1、定义：设H是群G的非空子集，若H关于G的于是也构成群，则称H是G的子群，记作HZG。2、等价条件群G的非空子集H是子群二-a,H，有ab,aJH=-a,bH，有abH(1) 群G的非空有限子集H是子群二-a,H，有abH。3、运算(1) 若已，HG，则已HG(可推广到任意多个情形)。(2) 若已，H2G，则比H2未必是G的子群。(3) 若已，HG，则H1H2二54山*已，hH2未必是G的子群。(4) 若H1,HG，则已-出不是G的子群。4、陪集设H乞G,则G的子集aH=ah|hH叫做H的包含a的左陪集

6、；G的子集Ha=ha|h.H叫做H的包含a的右陪集。(1) 一般地，aH=Ha。(2) aH=bH二baH;Ha=Hb二abH;aH(Ha)=H二aH。(3) aH(Ha)乞GuaH。(4) aH=bH(Ha=Hb)=(aH)(bH)=-(Ha)(Hb)二。aH|aG是G的一个分类，Ha|aG也是G的一个分类。即G=aH，且(aH)(bH)二(当aH=bH时)a:G或G二Ha，且(Ha)(Hb)二(当Ha=Hb时)aiG5、指数:群G的子群H的左陪集(右陪集)个数叫做H的指数，记作G:H。当|G|：时，有|G|=|H|G:H。6不变子群设H是群G的子群，若-a，G，都有aH二Ha，则称H是G的

7、不变子群，记作H_G。群G的子群H是不变子群二-aG，有aHa二H=-aG,hH，有ahaH。例4(P741)例5(P743)1?不变子群的交是不变子群。2?交换群的子群是不变子群。3?群G的中心C(G)二aG|G,xa=ax是G的不变子群。4?设H-H1G且有一个是不变子群，则H_,H2_G。7、商群设H_G，令GH=aH|aG,-aH,bHGH，定义(aH)(bH)=(ab)H则它是GH的代数运算，叫做陪集的乘法。GH关于陪集的乘法作成群，叫做G关于H的商群。当|G|:时，有|GH|二旦。|H|四、群同态设是群G到G的同态满射，贝U1、G也是群；2、(e)4;3、W(a);4、|(a)|a

8、|;5、ker即二aG|(a_G;6、G；ker:(二：aker:-):-(a)；7、H空G=i(H)空G;8、H_G：(H)_G;9、HH)EG;10、H_G=:H)_g。注：若HG,则映射:aaH(=G)是G到GH的同态满射，叫做自然同态。环论部分一、基本概念1、环的定义设R是一个非空集合，“+”与“。”分别是加法与乘法运算，若(1) R关于“+”作成交换群(叫做加群)；(2) R关于“。”封闭；(3) -a,b,c二R，有a(bc)=(ab)c；-a,b,cR，有a(bc)=abac(bc)a=baca则称R关于“+”与“。”作成环。2、基本性质(1) a(b_c)二ab_ac，(b-c

9、)a二ba_ca;(2) 0a二a0=0；(3) (-a)b=a(_b)-(ab)；(4) (-a)(_b)=ab；a(dbn)=ababn,(6bn)a弋abna；mnmn(ajCbj)八aibj；iAj吕ijmnm“nm、nmn(5) aaa,(a)a；当R是交换环时，-a,bR，有(a+b)n=an+cnanb+C：abn_l+bn。3、环的几种基本类型设R是环(1) 交换环：-a,bR，有ab=ba。例6(P89.2)(2) 有单位元环：存在1R，使得-aR，有1a二a1二a。(3) 无零因子环：-a,bR，当a=0,b=0时，ab=0。注:无零因子环的特征：无零因子环R中的非零元关于

10、加法的阶，叫做R的特征。1 无零因子环R的特征，或是：或是素数；2 当无零因子环R的元素个数|R|有限时，R的特征整除|R|。（4）整环：有单位元无零因子的交换环。（5）除环：有单位元1（=0），且非零元都有逆元。（6）域：交换的除环。二、两类特殊的环1、模n剩余类环:Zn=0,1,2,n。（1）乙是有单位元的交换环，且1是Zn的单位元；（2）-aZn，a=0，则a不是零因子二（a,n）=1；（3）乙无零因子二n是素数；（4）-aZn，a=0，则a不是零因子=a是可逆元；（5）乙是域二n是素数。2、多项式环：Rx二f（x）二anxn亠亠乂玄|an,a1,a0R。例7（P109.2）三、理想1、

11、定义：设U是环R的非空子集，若（1）-a,bU，有a-bU；（2）-aU,-rR，有ar,raU。则称U是环R的理想子环，简称理想。注：1理想一定是子环，但子环不一定是理想。2环的中心是子环，但未必是理想。2、运算（1）若U1,U2是环R的理想，贝UU1U2也是环R的理想（可推广到任意多个情形）。（2）若U1,U2是环R的理想，贝UU1U2未必是环R的理想。若U1,U2是环R的理想，则U1Uu1u2|uU1,u2U2也是环R的理想。(2) 若Ui,U2是环R的理想，贝UUi-U2不是环R的理想。3、生成理想：设A环R的一个非空子集，则R的所有包含A的理想的交仍是R的理想，这个理想叫做由A的理想

12、，记作(A)。(1) (A)是R的包含A的最小理想。(2) 当A=a时，记(A)=(a)，叫做由a生成的主理想。当R是交换环时，(a)二rana|rR,nZ；m1 当R是有单位元环时，(a)二二Xiayi|Xi,yrR；2 当R是有单位元的交换环环时，(a)=ra|rR0A=ai,a?,a“，记(A)=(a,a?,an)。且有(ai,a2,an)=(ai)(a2)(an)例8(P113.例3)例9(P114.3)4、最大理想：设U是环R的理想，且U=R0若包含U的环R的理想，只有U与R，则称U是环R的最大理想(极大理想)环R的理想U(=R)是最大理想=当R的理想三适合U二辽二R时，必有B=U或

13、三=R(1) 环R的理想U(=R)是最大理想二商环RU只有平凡理想。(2) 设R是有单位元的交换环，则R的理想U(=R)是最大理想二商环RU是域。例10(P119.1)已知：R二abi|a,bZ求证：R(1i)是域。证明：因为R是有单位元的交换环，所以-abk(1i)，存在xyrZ(i)使得abi=(xyi)(1i)=(x-y)(xy)i所以a二x-y,b二xy，由此可见，当x,y奇偶性相同时，a,b同为偶数；当x,y一奇一偶时，a,b同为奇数。反之，当a,b的奇偶性相同时，取x=a-,y=a-，就有22ab(xyi)(1i)(1i)所以(1i)=abi|a,bZ且a,b奇偶性相同=R设U是R的理想，且(1i)U，若U=(1i),则存在abhU，但a-bi(1i)，所以a,b奇偶性不同，从而a1,b奇偶性相同，因而有(a1)br(1i)U于是1=(a1)bi-(abirU，因而U二R，从而(Vi)是R的最大理想。故R(1i)是域。