上海市徐汇区2015-2016学年高二上期末数学试卷含答案解析

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1、第 1 页（共 15 页） 2015年上海市徐汇区高二（上）期末数学试卷 一、填空题（本大题满分 36 分）本大题共 12 小题，每个空格填对得 3 分，否则一律得 0分 . 1直线 3x 4y 5=0 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示） 2若 =（ 5， 4）， =（ 7， 9），则与 同向的单位向量的坐标是 3若线性方程组的增广矩阵为 ，解为 ，则 a+b= 4行列式中 中元素 3 的代数余子式的值为 7，则 k= 5以点 P（ 3， 4）和点 Q（ 5， 6）为一条直径的两个端点的圆的方程是 6若顶点在原点的抛物线的焦点与圆 x2+4x=0 的圆心重合，则该抛物线的准线方程为

2、7在 ， |3， |7， |5，则 在 方向上的投影是 8已知双曲线 的一条渐进线的方向向量 =（ 2， 1），则 k= 9在正三角形 ， D 是 的点， ， ，则 = 10已知 双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的两个焦点， P 是双曲线 C 上一点，且 ，若 面积为 16，则 b= 11若点 O 和点 F 分别为椭圆 + 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则|+| 的最小值为 12在平面直角坐标系中，两个动圆均过点 A（ 1， 0）且与直线 l： x= 1 相切，圆心分别为 动点 M 满足 2 = + ，则 M 的轨迹方程为 二、本大题共 4 小题，每小题 4 分，在每小题

3、给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 13 “ ”是 “方程组 有唯一解 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条 C充要条件 D既不充分又不必要条件 14某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 k 的值是（ ） 第 2 页（共 15 页） A 4 B 5 C 6 D 7 15已知集合 P=（ x， y） |x|+2|y|=5， Q=（ x， y） |x2+，则集合 PQ 中元素的个数是（ ） A 0 B 2 C 4 D 8 16已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为 y= x（ a 0， b 0），若双曲线上有一点 M（ 使 b| a|则该双曲线的焦点（ ） A在 x 轴上

4、B在 y 轴上 C当 a b 时，在 x 轴上 D当 a b 时，在 y 轴上 三、解答题（本大题满分 48 分）本大题共 5 小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17已知： 、 、 是同一平面内的三个向量，其中 =（ 1， 2） （ 1）若 | |=2 ，且 ，求 的坐标； （ 2）若 | |= ，且 +2 与 2 垂直，求 与 的夹角 18已知直线 l 经过点 P（ 2， ），并且与直线 x y+2=0 的夹角为 ，求直线 19如图所示， A（ 2 ， 0）、 B、 C 是椭圆 E： + =1（ a b 0）上的三点， 椭圆 E 的中心且斜率为 1，椭圆长轴的一个端点与短轴的

5、两个端点内构成正三角形 （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）求 面积 第 3 页（共 15 页） 20如图所示的封闭区域的边界是由两个关于 x 轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是 x2+4y 4=0，双曲线的左右顶点 A、 B 是该圆与 x 轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于 x 轴的一条直径的两个端点 （ 1）求双曲线的方程； （ 2）记双曲线的左、右焦点为 在封闭区域的边界上求点 P，使得 直角 21对于曲线 C： f（ x， y） =0，若存在非负实常数 M 和 m，使得曲线 C 上任意一点 P（ x，y）有 m | M 成立（其中

6、 O 为坐标原点），则称曲线 C 为既有外界又有内界的曲线，简称 “有界曲线 ”，并将最小的外界 为曲线 C 的外确界，最大的内界 为曲线 C 的内确界 （ 1）曲线 x 与曲线（ x 1） 2+ 是否为 “有界曲线 ”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由； （ 2）已知曲线 C 上任意一点 P（ x， y）到定点 1， 0）， 1， 0）的距离之积为常数 a（ a 0），求曲线 C 的外确界与内确界 第 4 页（共 15 页） 2015年上海市徐汇区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题满分 36 分）本大题共 12 小题，每个空格填对得 3 分，否则一律

7、得 0分 . 1直线 3x 4y 5=0 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示） 【考点】 直线的倾斜角 【分析】 根据所给的直线 3x 4y 5=0，得到直线的斜率时 ，直线的斜率是倾斜角的正切，得到 ， 0， ，根据倾 斜角的范围和正切的反三角函数的值域确定结果 【解答】 解： 直线 3x 4y 5=0， 直线的斜率时 ， 直线的斜率是倾斜角的正切， ， 0， ， = 故答案为： 2若 =（ 5， 4）， =（ 7， 9），则与 同向的单位向量的坐标是 （ ， ） 【考点】 平行向量与共线向量 【分析】 根据坐标运算求出向量 ，再求与 同向的单位向量 即可 【解答】 解： =（ 5，

8、 4）， =（ 7， 9）， =（ 12， 5）， | |= =13； 与 同向的单位向量的坐标为 =（ ， ） 故答案为：（ ， ） 3若线性方程组的增广矩阵为 ，解为 ，则 a+b= 2 【考点】 几种特殊的矩阵变换 第 5 页（共 15 页） 【分析】 根据增广矩阵的定义得到 是方程组 的解，解方程组即可 【解答】 解：由题意知 是方程组 的解， 即 ， 则 a+b=1+1=2， 故答案为： 2 4行列式中 中元素 3 的代数余子式的值为 7，则 k= 3 【考点】 三 阶矩阵 【分析】 由题意可知求得 =k+4，代入即可求得 k 的值 【解答】 解：由题意可知：设 A= ， 元素 3

9、的代数余子式 =k+4， k+4=7， k=3， 故答案为： 3 5以点 P（ 3， 4）和点 Q（ 5， 6）为一条直径的两个端点的圆的方程是 （ x+1） 2+（ y 5） 2=17 【考点】 圆的标准方程 【分析】 由中 点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出圆半径，由此能求出圆的方程 【解答】 解： 点 P（ 3， 4）和点 Q（ 5， 6）， 以点 P（ 3， 4）和点 Q（ 5， 6）为一条直径的两个端点的圆的圆心为（ 1， 5）， 圆的半径 r= = = 圆的方程为：（ x+1） 2+（ y 5） 2=17 故答案为：（ x+1） 2+（ y 5） 2=17 6若顶点在原点的抛

10、 物线的焦点与圆 x2+4x=0 的圆心重合，则该抛物线的准线方程为 x= 2 【考点】 抛物线的标准方程；圆的一般方程 【分析】 由已知得抛物线的焦点 F（ 2， 0），由此能求出该抛物线的准线方程 【解答】 解： 顶点在原点的抛物线的焦点与圆 x2+4x=0 的圆心重合， 抛物线的焦点 F（ 2， 0）， 该抛物线的准线方程为 x= 2 第 6 页（共 15 页） 故答案为： x= 2 7在 ， |3， |7， |5，则 在 方向上的投影是 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 利用余弦定理求出 A，则 与 的夹角为 A 【解答】 解： = = 在 方向上的投影是 | | A） =3

11、= 故答案为 8已知双曲线 的一条渐进线的方向向量 =（ 2， 1），则 k= 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据题设条件知求出渐近线的斜率，建立方程求出 k 【解答】 解： 双曲线 的渐近线的一条渐近线的方向向量 =（ 2， 1）， 渐近线的斜率为 = ， k= 故答案为： 9在正三角形 ， D 是 的点， ， ，则 = 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 利用向量的加法法则化 ，展开后利用数量积运算得答案 【解答】 解：如图， ， ， B=60， = = = 故答案为： 第 7 页（共 15 页） 10已知 双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的两个焦点， P 是双曲线

12、C 上一点， 且 ，若 面积为 16，则 b= 4 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 ，由勾股定理及双曲线的定义， 积为 16，即可求出 b 【解答】 解：设 |m， |n， ，得 0， m2+ 面积 为 16， 2 4 m n） 2=464， b2=6， b=4 故答案为： 4 11若点 O 和点 F 分别为椭圆 + 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则|+| 的最小值为 2 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 先求出左焦点坐标 F，设 P（ x， y），根据 P（ x， y）在椭圆上可得到 x、 y 的关系式，表示出 |+|，再将 x、 y 的关系式代入组成二次函数进而可确定

13、答案 【解答】 解：由 题意， F（ 1， 0），设点 P（ x， y），则有 +，解得 ， 因为 |+|=x2+ x+1） 2+y2= x+1） 2+2 x+1） 2+2， 此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x= 1， |+| 的最小值为 2 故答案为： 2 12在平面直角坐标系中，两个动圆均过点 A（ 1， 0）且与直线 l： x= 1 相切，圆心分别为 动点 M 满足 2 = + ，则 M 的轨迹方程为 x 1 【考点】 轨迹方程 【分析】 由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为 x，利用 2 = + ，确定坐标之间的关系，即可求出 M 的轨迹方程 【解答】 解：由抛物线的定义可得动圆的

14、圆心轨迹方程为 x， 设 a， b）， m， n）， M（ x， y），则 2 = + ， 2（ x m， y n） =（ a m， b n） +（ 1 m， n）， 2x=a+1， 2y=b， a=2x 1， b=2y， 第 8 页（共 15 页） a， （ 2y） 2=4（ 2x 1），即 x 1 故答案为： x 1 二、本大题共 4 小题，每小题 4 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 13 “ ”是 “方程组 有唯一解 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据两

15、直线间的位置关系，从而得到答案 【解答】 解：由 a1 a2 直线 直线 平行， 方程组 有唯一解， 故选： C 14某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 k 的值是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：当 S=0 时，满足继续循环的条件，故 S=1， k=1； 当 S=1 时，满足继续循环的条件，故 S=3， k=2； 当 S=3 时，满足继续循环的条件，故 S=11， k=3； 当 S=11 时，满足继续循环

16、的条件，故 S=2059， k=4； 第 9 页（共 15 页） 当 S=2049 时，不满足继续循环的条件， 故输出的 k 值为 4， 故选： A 15已知集合 P=（ x， y） |x|+2|y|=5， Q=（ x， y） |x2+，则集合 PQ 中元素的个数是（ ） A 0 B 2 C 4 D 8 【考点】 交集及其运算 【分析】 做出 P 与 Q 中表示的图象，确定出两集合的交集，即可做出判断 【解答】 解：对于 P 中 |x|+2|y|=5， 当 x 0， y 0 时，化简得： x+2y=5； 当 x 0， y 0 时，化简得： x 2y=5； 当 x 0， y 0 时，化简得： x

17、+2y=5； 当 x 0， y 0 时，化简得： x 2y=5， 对于 Q 中， x2+，表示圆心为原点，半径为 的圆， 做出图形，如图所示， 则集合 PQ=，即 PQ 中元素的个数是 0 个， 故选： A 16已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为 y= x（ a 0， b 0），若双曲线上有一点 M（ 使 b| a|则该双曲线的焦点（ ） A在 x 轴上 B在 y 轴上 C当 a b 时，在 x 轴上 D当 a b 时，在 y 轴上 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 利用题设不等式，令二者平方，整理求得 0，即可判 断出焦点的位置 【解答】 解： a| b| 0 平方 10 页（共

18、15 页） 0 焦点在 y 轴 故选： B 三、解答题（本大题满分 48 分）本大题共 5 小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17已知： 、 、 是同一平面内的三个向量，其中 =（ 1， 2） （ 1）若 | |=2 ，且 ，求 的坐标； （ 2）若 | |= ，且 +2 与 2 垂直，求 与 的夹角 【考点】 数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角 【分析】 （ 1）设 ，由 | |=2 ，且 ，知 ，由此能求出 的坐标 （ 2）由 ，知 ，整理得 ，故，由此能求出 与 的夹角 【解答】 解：（ 1）设 ， | |=2 ，且

19、 ， ， 解得 或 ， 故 或 （ 2） ， ， 即 ， ， 整理得 ， 第 11 页（共 15 页） ， 又 0， ， = 18已知直线 l 经过点 P（ 2， ），并且与直线 x y+2=0 的夹角为 ，求直线 【考点】 两直线的夹角与到角问题 【分析】 根据条件求出直线 l 的倾斜角，可得直线 l 的斜率，再用点斜式求得直线 l 的方程 【解答】 解：由于直线 x y+2=0 的斜率为 ，故它的倾斜角为 ， 由于直线 l 和直线 x y+2=0 的夹角为 ，故直线 l 的倾斜角为 或 ， 故直线 l 的斜率不存在或斜率为 再根据直线 l 经过点 P（ 2， ），可得直线 l 的方程为 x

20、= 2，或 y = （ x+2）， 即 x= 2，或 x+ y 1=0 如图： 19如图所示， A（ 2 ， 0）、 B、 C 是椭圆 E： + =1（ a b 0）上的三点， 椭圆 E 的中心且斜率为 1，椭 圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形 （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）求 面积 【考点】 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 第 12 页（共 15 页） 【分析】 （ 1）由题意可得 a=2 ，再由正三角形的条件可得 a= b，解得 b，进而得到椭圆方程； （ 2）由题意写出 A 点坐标，直线 程，联立直线方程与椭圆方程可求得交点 C、 B 的纵坐标， S |代入数

21、值即可求得面积 【解答】 解：（ 1） A 的坐标为（ 2 ， 0），即有 a=2 ， 椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形， 可得 a= b，解得 b=2， 则椭圆 E 的方程为 ， （ 2）直线 方程为 y=x， 代入 椭圆方程 2，得 y=x= ， S | 2 =6， 面积为 6 20如图所示的封闭区域的边界是由两个关于 x 轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是 x2+4y 4=0，双曲线的左右顶点 A、 B 是该圆与 x 轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于 x 轴的一条直径的两个端点 （ 1）求双曲线的方程； （ 2）记双曲

22、线的左、右焦点为 在封闭区域的边界上求点 P，使得 直角 【考点】 圆锥曲线的实际背景及作用；双曲线的标准方程 【分析】 （ 1）根据上半个圆所在圆的方程得出两圆的圆心与半径，再求出双曲线的顶点坐标与标准方程； （ 2）设点 P 的坐标，根据 直角得出方程 x2+，分别与双曲线和圆的方程联立，即可求 出点 P 的坐标，注意检验，排除不合题意的坐标 【解答】 解：（ 1）上半个圆所在圆的方程为 x2+4y 4=0，圆心为（ 0， 2），半径为 2 ； 则下半个圆所在圆的圆心为（ 0， 2），半径为 2 ； 双曲线的左、右顶点 A、 B 是该圆与 x 轴的交点，即为（ 2， 0），（ 2， 0），

23、即 a=2， 由于双曲线与半圆相交于与 x 轴平行的直径的两端点，则令 y=2，解得 x= 2 ， 即有交点为（ 2 ， 2）； 设双曲线的方程为 =1（ a 0， b 0）， 第 13 页（共 15 页） 则 =1，且 a=2，解得 b=2； 所以双曲线的方程为 =1； （ 2）双曲线的左、右焦点为 2 ， 0）， 2 ， 0）， 若 直角，设点 P（ x， y），则有 x2+， 由 ， 解得 ， ； 由 ， 解得 y= 1（不满足题意，应舍去）； 所以在封闭区域的边界上所求点 P 的坐标为（ ， ）和（ ， ） 21对于曲线 C： f（ x， y） =0，若存在非负实常数 M 和 m，使得

24、曲线 C 上任意一点 P（ x，y）有 m | M 成立（其中 O 为坐标原点），则称曲线 C 为既有外界又有内界的曲线，简称 “有界曲线 ”，并将最小的外界 为曲线 C 的外确界，最大的内界 为曲线 C 的内确界 （ 1）曲线 x 与曲 线（ x 1） 2+ 是否为 “有界曲线 ”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由； （ 2）已知曲线 C 上任意一点 P（ x， y）到定点 1， 0）， 1， 0）的距离之积为常数 a（ a 0），求曲线 C 的外确界与内确界 【考点】 曲线与方程 【分析】 （ 1）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，数形结合得答案； （ 2）由题意求出曲线

25、 C 的方程，进一步得到 x 的范围，把 x2+化为含有 x 的代数式，分类讨论得答案 【解答】 解：（ 1） x 的图象为开口向右的抛物线，抛物线上的点到原点的距离的最小值为 0，无最大值， 曲线 x 不是 “有界曲线 ”； 曲线（ x 1） 2+ 的轨迹为以（ 1， 0）为圆心，以 2 为半径的圆，如图： 由图可知曲线（ x 1） 2+ 上的点到原点距离的最小值为 1，最大值为 3，则曲线（ x 1）2+ 是 “有界曲线 ”， 其外确界为 3，内确界为 1； （ 2）由已知得： ， 整理得：（ x2+） 2 4x2= ， 0， ， （ ） 2 4x2+ （ 1） 2 1 a a+1， 第 14 页（共 15 页） 则 = ， 1 a a+1， （ a 2） 2 4x2+（ a+2） 2， 即 ， 当 0 a 1 时， 2 a ，则 ， ，则曲线 C 的外确界与内确界分别为 ； 当 1 a 2 时， 2 a ，则 ， 0 ，则曲线 C 的外确界与内确界分别为 ， 0； 当 2 a 3 时， a 2 ，则 a 3 1 a+1， 0 ，则曲线 C 的外确界与内确界分别为 ， 0； 当 a 3 时， a 2 ，则 a 3 1 a+1， ，则曲线 C 的外确界与内确界分别为 ， 第 15 页（共 15 页） 2016 年 9 月 6 日