2020年高考数学一轮复习 专题13 导数的概念及运算（含解析）

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1、专题13导数的概念及运算最新考纲1.了解导数概念的实际背景2.通过函数图象直观理解导数的几何意义3.能根据导数定义求函数yc(c为常数)，yx，yx2，yx3，y，y的导数4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，(理)能求简单的复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数.基础知识融会贯通1导数与导函数的概念(1)一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 ，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或，即f(x0) .(2)如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数yf

2、(x)在开区(a，b)间内的导函数记作f(x)或y.2导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即kf(x0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(

3、x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)5复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积【知识拓展】1奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数2af(x)bg(x)af(x)bg(x)3函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”重点难点突破【题型一】导数的计算【典型例题】求下列函数的导数（1）y2x33x24；（2）yx

4、lnx；（3）【解答】解：（1）y6x26x； （2）ylnx+1；（3）【再练一题】已知函数f（x）ex（2lnx），f（x）为f（x）的导函数，则f（1）的值为 【解答】解：根据题意，函数f（x）ex（2lnx）2exexlnx，其导数f（x）2exexlnx，则f（1）2e1e1ln1e，故答案为：e思维升华 导数计算的技巧(1)求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元【题型二】导数的几何意义命题点1求切线方程【典型例题】32已知曲线C：yx33x2+2x（1）求曲线C上斜率最小的切线方程（2）过原点引曲线C的切

5、线，求切线方程及其对应的切点坐标【解答】解：（1）y3x26x+23（x1）21，所以，x1时，y有最小值1，把x1代入曲线方程得：y0，所以切点坐标为（1，0），故所求切线的斜率为1，其方程为：yx+1 （2）设切点坐标为M（x0，y0），则y0x033x02+2x0，切线的斜率为3x026x0+2，故切线方程为yy0（3x026x0+2）（xx0），因为切线过原点，所以有y0（3x026x0+2）（x0），即：x033x02+2x0x0（3x026x0+2），解之得：x00或 所以，切点坐标为M（0，0）或，相应的切线方程为：y2x或即切线方程为：2xy0或x+4y0【再练一题】已知函数y

6、ex（1）求这个函数在xe处的切线方程；（2）过原点作曲线yex的切线，求切线的方程【解答】解：（1）函数yex，f（e）ee，则切点坐标为（e，ee），求导yex，则f（e）ee，即切线斜率为ee，则切线方程为yeeee（xe），化简得yeexee+1+ee；（2）yex，yex，设切点的坐标为（x0，ex0），则切线的斜率为f（x0）ex0，故切线方程为yex0ex0（xx0），又切线过原点（0，0），则ex0ex0（x0），解得x01，y0e，则切线方程为yex命题点2求参数的值【典型例题】若过点P（1，m）可以作三条直线与曲线C：yxex相切，则m的取值范围是（）A（，+）B（）C（0

7、，+）D（）【解答】解：设切点为（x0，y0），过点P的切线方程为，代入点P坐标化简为m，即这个方程有三个不等根即可，令，求导得到f（x）（x1）（x+2）ex，函数在（，2）上单调递减，在（2，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，故得到f（2）mf（1），即故选：D【再练一题】已知函数f（x）ex+ax2（aR），若曲线yf（x）在点 P（m，f（m）（m1）处的切线为l，且直线l在y轴上的截距小于1，则实数a的取值范围是（）A（，+）B1，+）C，+）D（1，）【解答】解：函数f（x）ex+ax2的导数为f（x）ex+2ax，可得曲线yf（x）在点 P（m，f（m）（m1）处的切线斜率

8、为em+2am，即有切线的方程为y（em+am2）（em+2am）（xm），可令x0可得yemmemam2，由题意可得emmemam21对m1恒成立，则a，由g（m）1，由emmem1+m2（1m）（em1m），由m1可得1m0，由yex1x的导数为yex1，当x0时，y0，函数y递增；当x0时，y0，函数y递减，可得yex1x的最小值为e0100，可得m1时，em1m0，则（1m）（em1m）0，即g（m）0，则1恒成立，可得a1，即a的范围是1，+）故选：B命题点3导数与函数图象【典型例题】已知三次函数f（x）ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则 【解答】解：f（x）3ax2+2bx

9、+c；根据图象知，x1，2是f（x）的两个极值点；x1，2是方程3ax2+2bx+c0的两实数根；根据韦达定理，；2b3a，c6a；故答案为：1【再练一题】如图所示，yf（x）是可导函数，直线l：ykx+3是曲线yf（x）在x1处的切线，若h（x）xf（x），则h（1） 【解答】解：直线l：ykx+3是曲线yf（x）在x1处的切线，点（1，2）为切点，故f（1）k，f（1）k+32，解得k1，故f（1）1，f（1）2，由h（x）xf（x）可得h（x）f（x）+xf（x），h（1）f（1）+f（1）1，故答案为：1思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已

10、知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值kf(x0)(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况基础知识训练1点P在曲线上移动，若曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ）A BC D【答案】A【解析】，即切线的斜率范围是，那么倾斜角的范围是，故选A2已知，若，则的值等于（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意知，所以，解得.3如图所示，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）A B C D【答案】B【解析】由题中图象知由导数的几何意义知.4下面说法正确的是（ ）

11、A若不存在，则曲线在点处没有切线B若曲线在点处有切线，则必存在C若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在D若曲线在点处没有切线，则有可能存在【答案】C【解析】的几何意义是曲线在点处切线的斜率当切线与轴垂直时，切线斜率不存在，可知选项A，B，D不正确.5函数在处的导数的几何意义是（ ）A在点处的斜率B在点处的切线与轴所夹的锐角的正切值C曲线在点处切线的斜率D点与点连线的斜率【答案】C【解析】由导数的几何意义可知，函数在的导数为曲线在点处的切线的斜率6函数在闭区间内的平均变化率为（ ）A BC D【答案】D【解析】，该函数在区间内的平均变化率为，故选D.7若，则（ ）A BC D【答案】B【解析】根

12、据导数的定义可知，所以，故选B.8已知为的导数，且，则（ ）A BC D【答案】D【解析】9【湖南省岳阳市2019届高三第二次模拟考试】曲线处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】，所以，且，所以切线方程为，即，此直线与轴、轴交点坐标分别为，所以切线与坐标轴围成的三角形面积是，故选B.10【河北省邯郸市2019届高三第一次模拟考试】过点引曲线的两条切线，这两条切线与轴分别交于两点，若，则（ ）ABCD【答案】B【解析】设切点坐标为，即.解得，即.故.故选：B11【甘青宁2019届高三3月联考】若直线与曲线相切，则（ ）A3BC2D【答案】A【解析】设切点为，由得，代

13、入得，则，故选A.12【广东省梅州市2019届高三总复习质检】设点P在曲线上，点Q在曲线上，点R在直线上，则的最小值为ABCD【答案】D【解析】由题意，函数的导数为，设曲线与直线的平行线相切的切点为，可得，即，可得切点为，此时PR的最小值为，的导数为，设曲线与直线的平行线相切的切点为，可得，即，可得切点为，此时RQ的最小值为，则P，Q重合为，R为，取得最小值为故选：D13【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试】已知函数的图像上存在关于原点对称的对称点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】函数的图像上存在关于原点对称的对称点，方程，即上有解，方程有解设，且的切线，设切点为，由，则

14、有，解得 由图象可得，要使直线的图象有公共点，则，解得所以实数的取值范围是故答案为：14【2019年3月高三第一次全国大联考（新课标卷)】若曲线处的切线与直线垂直，则切线、直线轴围成的三角形的面积为_【答案】【解析】由题可得，故切线的斜率为，又切点坐标为，所以切线的方程为，因为切线与直线垂直，所以，所以直线的方程为，易得切线与直线的交点坐标为，因为切线轴的交点坐标为，直线轴的交点坐标为，所以切线、直线轴围成的三角形的面积为15【广东省揭阳市2019届高三一模】在曲线的所有切线中，斜率为1的切线方程为_.【答案】【解析】，所以切点为，切线方程为16【广东省潮州市2019届高三上学期期末教学质量检

15、测】曲线在点处的切线与圆相切，则_【答案】【解析】的导数为，可得切线的斜率为，切点为，即有在处的切线方程为，即为，由切线与圆相切，可得，可得故答案为：17已知曲线.（1）试求曲线在点处的切线方程；（2）试求与直线平行的曲线的切线方程【答案】（1）（2）或【解析】（1），求导数得，切线的斜率为，所求切线方程为，即（2）设与直线平行的切线的切点为，则切线的斜率为又所求切线与直线平行，解得，代入曲线方程得切点为或，所求切线方程为或，即或18在赛车中，赛车位移与比赛时间存在函数关系（的单位为，的单位为）求：（1），时的与；（2）时的瞬时速度【答案】（1），（2）【解析】（1）.（2）.当，时，.答：，

16、时的为，为，在时的瞬时速度为.19求下列函数的导数:(1)f(x)=(x+1)2(x-1); (2)f(x)=2-2sin2;(3)f(x)=; (4)f(x)=2tan x.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】(1)因为f(x)=(x+1)2(x-1)=(x2+2x+1)(x-1)=x3+x2-x-1,所以f (x)=3x2+2x-1.(2)因为f(x)=2-2sin2=1+cos x,所以f (x)=-sin x.(3)f (x)=.(4)因为f(x)=2tan x=,所以.20 求满足下列条件的函数.(1) 是三次函数,且(2) 是二次函数,且.【答案】(1) (2) 【解析】

17、(1)由题意设则 由已知得解得,故(2)由题意设,则所以,化简得,因为此式对任意x都成立,所以,解得,故.能力提升训练1【内蒙古集宁一中(西校区)2018-2019学年高二下学期第一次月考】下列式子不正确的是 ( )ABCD【答案】C【解析】对于选项C，C错误故选C2【四川省棠湖中学2018-2019学年高二下学期第一次月考】若函数f(x)满足f(x)x3f(1)x2x，则f(1)的值为()A1B2C0D1【答案】C【解析】依题意，令，解得，故选C.3【湖北省部分重点中学2019届高三第二次联考高三】已知函数，若函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程是（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意

18、得，函数为奇函数，又，所求切线方程为，即故选B4【吉林省长春市普通高中2019届高三质量监测（二)】已知曲线在点处的切线为，则下列各点中不可能在直线上的是（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意，画岀切线扫过的区域，如图所示，当时，此时切线都在轴的上方，所以不可能在直线上的点为.故选C.5【山东省日照市2017届高三下学期第一次模拟考试】曲线的一条切线l与轴三条直线围成的三角形记为，则外接圆面积的最小值为A B C D【答案】C【解析】设直线l与曲线的切点坐标为（），函数的导数为则直线l方程为，即，可求直线l与yx的交点为A（），与y轴的交点为，在OAB中，当且仅当22时取等号由正弦定理可

19、得OAB得外接圆半径为，则OAB外接圆面积，故选：C6【福建省厦门外国语学校2018-2019学年高二下学期第一次】等比数列中，函数（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意知，所以，令，则=，故选C7【四川省双流县棠湖中学2019届高三上学期期末考试】已知直线是曲线与曲线的一条公切线，与曲线切于点，且是函数的零点，则的解析式可能为( )ABCD【答案】B【解析】由可得，由可得，设公切线在上的切点坐标为，在上的切点坐标为，利用导函数研究函数切线的性质可得：，整理可得：， 结合斜率公式有：， 将代入中整理可得：，则的解析式可能为.本题选择B选项.8【四川省南充市阆中中学2018-2019学年高二3月

20、月考】已知函数 (1)求(2)求曲线在点处的切线的方程；【答案】（1）（2）【解析】(1) (2)可判定点在曲线上在点处的切线的斜率为.切线的方程为即9【江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校2018-2019学年高二上学期期末考试】设函数f（x）=aexlnx+，（1）求导函数f（x）（2）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=e（x1）+2,求a，b【答案】(1)见解析（2）a=1,b=2【解析】（1）由f（x）=aexlnx+，得;（2）由于切点既在函数曲线上，又在切线上，将x=1代入切线方程得：y=2将x=1代入函数f（x）得：f（1）=bb=2将x=1代入导函数，则f（1）=ae=ea=110【海南省三亚华侨学校2018-2019学年高二上学期第三次月考】求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）6x-sinx；（3）lnx+【解析】（1）y=6x-sinx （2）y=（3）y=lnx+故答案为：6x-sinx；lnx+21