【经济博弈论】两人讨价还价问题探讨

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1、合作博弈讨价还价问题探讨 小组成员：小组成员： 崔清德崔清德 周建栋周建栋 郭思尼郭思尼 合作博弈合作博弈 一般地，我们将允许存在有约束力协议的博弈称为“合作博 弈” 合作博弈亦称为正和博弈，是指博弈双方的利益都有所增加 ，或者至少是一方的利益增加，而另一方的利益不受损害， 因而整个社会的利益有所增加的。 合作博弈与非合作博弈的区别合作博弈与非合作博弈的区别 非合作博弈与合作博弈的根本区别，是前者不考虑博弈方之间可以运 用有约束力协议的情况，而后者则允许这种协议的存在。 合作博弈是研究人们达成合作时如何分配合作得到的收益，即收益分 配问题。而非合作博弈是研究人们在利益相互影响的局势中如何选决

2、策使自己的收益最大，即策略选择问题。 非合作博弈排斥有约束力的协议，就把分析对象限制在个体理性基础 上的个体决策上，个体理性决策是经济主体最基本的行为逻辑，个体 理性决策相对于联合理性基础上的合作行为而言比较简单，因而非合 作博弈分析不仅有很强的现实基础，而且比较容易分析和标准化。 为什么需要合作博弈理论为什么需要合作博弈理论 个体理性并不是人类经济行为背后的唯一逻辑，其中联合理性的集体决策 行为也相当普遍。非合作博弈理论虽然非常有效，但它无法分析现实中普 遍存在的联合理性行为。 合作博弈理论的发展也是非合作博弈理论本身的要求。非合作博弈分析经 常会遇到无帕累托优劣关系的多重纳什均衡问题。 例

3、如两个人分100元，作为非合作博弈，两博弈方策略就是各自所要求 的数额0si100,双方的策略组合（s1，s2）满足s1+s2100, 他们得益与策略 相等，否则得益为0。所有满足0si100且s1+s2=100的（s1，s2）都是纳什 均衡。 非合作博弈之所以无法解决上述问题，就在于忽视了博弈双方之间可能的 联合理性行为。如果博弈方可能采用联合理性行为，就能发现通过博弈方 的协调行为（协调方法正是本章要讨论的），完全可以解决这个非合作博 弈理论无法解决的多重纳什均衡问题。 合作博弈理论的特征和结构合作博弈理论的特征和结构 “协议”产生的本质原因 博弈方之间既存在共同利益但利益又不完全一致。如

4、果博弈方之 间的利益完全对立或完全一致，就不能产生这样一个“协议”。 如果博弈方之间利益完全对立或完全一致，就没有协调的余地或 不需要协调。 “协议”的内容 约定行为 利益分配 关于利益分配的讨价还价（bargain），是合作博弈的共同特征。 “协议”达成的前提 通过讨价还价对利益分割达成一致 不管合作博弈问题来源于经济交易，合作还是竞争，也不管人数多 少，合作博弈问题本质上都是关于利益分割的讨价还价。 举例说明举例说明 用合作博弈的思想分析两人分100元现金的问题，可以考虑博弈方用协议协调 双方的可能性。但签订协议的前提是双方对分配的方案达成共识，而这种共 识是通过讨价还价形成，因此两人分1

5、00元现金的合作博弈是关于利益分配的 讨价还价问题。 市场交易也是利益分配的讨价还价问题。设两人对某个物品进行交易，如果 卖方的主观价值评价是50元，买方的主观价值评价是80元，两人交易能够实 现总共80-50=30的交易利益，也就是消费者剩余和生产者剩余之和。双方对 交易价格的讨价还价，实际上就是对30元交易利益分配的讨价还价。博弈方 数量的增加也不会改变合作博弈的这种本质特征。 合作博弈的研究对象合作博弈的研究对象 两人讨价还价博弈 纯粹讨价还价的两人合作博弈，博弈方选择只有合作或不合作，以那 个方案合作。如:两个人分100元的问题 联盟博弈 多人合作博弈，博弈方之间可以联盟,三人分300

6、元，分配方案按民主 表决（少数服从多数）通过。 博弈方1和博弈方2可以结成联盟，强行通过剥夺博弈方3的利益并对 他们两人有利的分配方案。当然博弈方3也可以通过分化瓦解博弈方1和 2的联盟，并与其中一方形成联盟加以对抗等等。 两人讨价还价问题两人讨价还价问题 两人讨价还价是合作博弈理论的基本问题，也是博弈论最早研究的问 题，两人讨价还价实质上都是两个经济主体之间对特定利益的分配分割 。 交易双方的价格谈判 劳资双方的工资争端 合作者的利润奖金分配 等等 两人讨价还价两人讨价还价问题问题 两人讨价还价博弈的分配一般用s=(s1 , s2)表示，其中s1和s2分别 代表两个博弈方的分配。 分配受问题

7、条件和基本理性要求的约束，例如在两个人分100元的 问题中，分配必须满足双方利益之和不超过100，其次双方的利益分配 必须都在0到100之间。满足上述两个要求的分配称为本博弈的“可行 分配” 两人讨价还价的可行分配可以用集合 ，其中 i=1,2, m是最大可分配利益，集合S也称为“可行分配集”。 可行可行分配集分配集：满足问题条件和基本理性要求约束的分配构成的集合。 1212 =,| 0, i Ss ssm ssm u分配与可行分配：分配与可行分配： u可行分配集可行分配集 两人讨价还价问题两人讨价还价问题 u效用配置与效用函数效用配置与效用函数 两人讨价还价问题两人讨价还价问题 谈判破裂时博

8、弈双方的利益称为“谈判破裂点”或“破裂点”通常 用 d=(d1 , d2)表示，其中di是博弈方i在谈判破裂时可以得到的收益。 谈判破裂点也是讨价还价双方的可行选择之一 假如甲乙两人进行一个项目的合作谈判，假设该项目的预期利润是10000元。 但甲不搞这个项目还有另外一个能获利2000元的项目，而乙则没有其他的获 利机会，那么如果甲和乙之间的谈判破裂，甲可获得2000元，乙则一无所有。 用谈判破裂点表示就是 d=(d1 , d2) =(2000,0) u谈判破裂点谈判破裂点 其中S是可行分配集，d为破裂点，u1，u2是两个博弈方 各自的效用函数 u两人讨价还价问题定义：两人讨价还价问题定义：

9、两人讨价还价问题纳什解导出两人讨价还价问题纳什解导出 分配满足效率和公平两个基本要求。 效率要求可以包含帕累托效率和总体利益最大化两个层次的要求，而总体 利益最大化经常与个体理性相矛盾，因而效率要求我们采用与个体理性没有矛 盾的帕累托效率。 帕帕累托效率公理累托效率公理 两人讨价还价问题两人讨价还价问题 帕累托效率公理也可以表达为“讨价还价问题的解落在帕累托边界上”。 帕累托效率公理表明虽然讨价还价的结果可能与双方的谈判技巧相关，但 两个对手讨价还价的结果必须落在该边界上，双方谈判的内容只是究竟取 决该边界上哪一点而已。 对称性公理介绍对称性公理介绍 在自愿交易、合作活动中，人们比较容易接受公

10、平的交易或合作方 案，如果人们认为一个方案不公平，即使能够带来更大的利益，也常常 会拒绝接受。如果双方的情况是对称的，双方得到相同待遇显然是普遍 接受的公平原则。这可以归纳为如下所列的“对称性公理” 对称性公理对称性公理 图图1 对称性公理图示对称性公理图示 对称线 有了上述帕累托效率和对称性两个公理，就可以找到两人讨价还价 问题的解了，下面以100元现金讨价还价问题为例进行说明。 1）两人分100元的讨价还价问题是对称的，即两人均可以在0,100之 间进行讨价还价。 2) 以横、纵轴分别表示两个博弈方得到的效用（此处等于利益）。 3) 同时满足对称性和有效性两个公理的分配。 以图2进行解释：

11、 图图2 两人分两人分100元的合作博弈解元的合作博弈解 对称线 (100,0) (0,100) (50,50) 这样，(50,50)同时满足了公平与效率两方面要求，是该种情况下 的唯一分配，是双方最能够接受的的“合理”分配解。 事实上，所有两人对称的讨价还价问题，都可以用对称性和帕累托 效率两个公理进行求解。 然而，现实生活中的许多种因素会造成讨价双方的处境不对称。对于 非对称的讨价还价问题，对称行公理无法直接运用。 引起两人讨价还价博弈不对称的原因引起两人讨价还价博弈不对称的原因：双方谈判破裂点d的差异，如 图3所示。 图图3 两人谈判破裂点示意图两人谈判破裂点示意图 非对称讨价还价博弈问

12、题的求解非对称讨价还价博弈问题的求解 图图4 谈判破裂点非对称问题的解决谈判破裂点非对称问题的解决 对称线 线性变换不变性公理介绍线性变换不变性公理介绍 现实生活中，除了谈判破裂点外，还有许多因素会引起讨价还价问 题的不对称性，如博弈方来自物价差异较大的不同地方，同样的收入有 不同的购买力等等情况。 线性变换不变性公理线性变换不变性公理 线性变换不变性公理表明了讨价还价问题解的不变性，是指实质性的 结果，也就是利益分配不变，效用配置的结果其实还是变化的，也要做 与效用函数相同的线性变换。 公理应用： 利用线性变换不变性公理，可以把许多非线性讨价还价问题通过线 性变化转化为对称问题，根据对称性和

13、帕累托效率公理求解以后，再 得到原讨价还价问题的解。 下面针对果农和粮农分100亩土地的问题，对线性变换不变性公理 进行进一步解释。 果农和粮农分果农和粮农分100亩土地的问题亩土地的问题 图图5 两两人分土地问题的效用配置人分土地问题的效用配置 集集 80000 50000 图图6 分土地问题的线性不变性公理示意图分土地问题的线性不变性公理示意图 对称线 100 100 (50,50) 果农和粮农分果农和粮农分100亩土地的问题亩土地的问题 这样，根据线性变换不变性公理，类似上述不影响偏好结构的博弈方本 身因素引起非对称问题都可以得到解决。 但是如果存在有博弈方风险态度和效用偏好引起的偏好结

14、构差异，且理 论上讨价还价的效用配置集可以很不规则，无法用线性变换转变成对称集 合的情况，就无法用线性变换不变性公理得到解决。需要用另外一种对称 化的方法进行求解，如下所述： 求解无法用线性变换对称化的讨价还价问题的方法思路：求解无法用线性变换对称化的讨价还价问题的方法思路： 增加实际上不会被选择的“无关”分配方案，把非对称的效用配置集扩 展成对称的效用配置集，从而用对称性公理和帕累托效率公理进行求解， 如图7所示： 图7 对称扩展问题和原问题的解示意图 独立于无关选择公理介绍独立于无关选择公理介绍 上述对称扩展问题和原问题的求解实际上用到了一个普遍意义的结论，那就 是如果一个具有更大选择范围

15、问题的最优解在其中的一个小范围内，那么这个 小范围中的最优解就是大范围内的最优解。 在两人讨价还价问题中这个结论可以归结为下列“独立与无关选择公理”。 独立与无关选择公理独立与无关选择公理 求解求解思路思路： 1）利用独立与无关选择公理解决非对称讨价还价问题的关键，是要让扩 展问题的解在原问题的效用配置集中。 2）由于扩展问题是对称的，其解一定在对称线与帕累托交点处，因此只 有当原问题的效用配置集与扩展问题的效用配置集边界在该点相切才符合 要求，但这并不一定能够做到，如图7所示： 图7 扩展问题的解在原问题效用配置集外 图8 线性变换和无关选择公理的结合 2) 然后,用逆线性变换的到原来效用的

16、解，从而进一步得到分配集合的 解。 有了上述一系列处理方法，不管问题是对称的还是非对称的，也不 管非对称的原因和情况如何，理论上可以解决所有讨价还价的问题。 实际上，上述在四个基本公理基础上的两人讨价还价解，早已被纳 什总结在其著名的纳什解法中了，因此并不需要根据上述公理去逐步求 解。下面介绍 “纳什讨价还价解法”： 纳什讨价还价纳什讨价还价解法解法 同时满足帕累托效率、对称性、线性变换不变性、独立于无关选择四个同时满足帕累托效率、对称性、线性变换不变性、独立于无关选择四个 公理的，两人讨价还价问题的唯一解，就是下列约束最优化问题的解：公理的，两人讨价还价问题的唯一解，就是下列约束最优化问题的

17、解： 12 1122 , max(u (s)u (d)(u (s)u (d) s s 这个最优化问题的解被称为讨价还价问题的“纳什解”，或者“纳什讨 价还价解”，是非线性优化问题的最优化点，其目标函数也称为“纳什 积”。 因为该纳什积一般是凹函数，效用配置集合一般是凸紧集，因此该最优 化问题通常有唯一的解。 图9 讨价还价问题的纳什解 运用运用“纳什解法纳什解法” 求解两人分求解两人分100元现金的问题元现金的问题 图图10 风险偏好差异博弈方分风险偏好差异博弈方分100元的效用配置集和纳什解元的效用配置集和纳什解 100 运用运用“纳什解法纳什解法” 求解两人分求解两人分100元现金的问题元

18、现金的问题 12 ,u max u 1 max u 纳什纳什解法总结：解法总结： 从上述求解结果可以看出，讨价还价双方风险偏好的差异对讨价还 价的结果有明显影响。双方所得分配的差异取决于反映风险偏好的系数 b，b越小，风险规避程度越严重，所得的分配就越小，所得效用更小。 如b=0.5时，博弈方2所得只为博弈方1的一半。 纳什解法的重要性所在：纳什解法的重要性所在： u 满足对称性、帕累托效率、线性变换不变性和独立于无关选择四个 公理，满足公平与效率两方面的要求。 u 纳什解优化分析目标函数中的联动效用函数，也就是纳什积，也显 示了纳什解对双方的利益分配都很重视，不鼓励一味追求自身利益 而忽略对

19、方利益等。 纳什解法实际上是一种寻找讨价还价“合理”结果的公理化方法， 其关键是能够反映公平、效率和一些技术要求的公理。然而这些公理始 终有一定的主观性主观性，不一定能够被普遍接受，因此纳什解并不是在所 有情况下都是合理的，例如讨价还价双方在对标的的要求权方面存在差 异，解决破产清算中的债权人之间持有债券不同时，纳什解的合理性就 可能存在问题，下面介绍解决这个问题K-S解法。 两人讨价还价问题分析扩展两人讨价还价问题分析扩展K-S解法介绍：解法介绍： 两人讨价还价问题分析扩展两人讨价还价问题分析扩展K-S解法介绍：解法介绍： K K 对称线 K K 对称线 两人讨价还价问题分析扩展两人讨价还价问题分析扩展K-S解法介绍：解法介绍： 解决思路解决思路： 根据上述分析中提到的按照清偿比例构造合理解按照清偿比例构造合理解是很重要思路。 K K 对称线 K K 对称线 K-S线 K-S线 若讨价还价问题的谈判破裂点并不一定在原点，那么上述解法可进 一步改进为解分配与博弈方要求权减去破裂点利益成比例，也就是K-S 线是从谈判破裂点到双方要求权决定的最大效用配置组合点的连线。 根据不同情况，以及人们对于公平和效率的不同理解，两人讨价还价 问题还有其他的合作博弈解法，例如平均主义的平均分配方法等等， 具体应根据实际情况、逻辑而定。 谢谢老师！ 谢谢大家！