高中数学完整讲义排列与组合排列组合问题的常见模型

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1、 排列组合问题的常见模型1 知识内容 基本计数原理1 加法原理nm种不同的方法，在第二类办法中分类计数原理：做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有1nm?LN?m?mmm种类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有有种方法，在第n21n2 不同的方法又称加法原理 乘法原理nm种不同的方法，做第二个个子步骤，做第一个步骤有分步计数原理：做一件事，完成它需要分成1nmm有事共这么完成件种不同的方法骤步有种不同方法，做第步个骤有那n2mL?m?m?N? 种不同的方法又称乘法原理n12 加法原理与乘法原理的综合运用使用分类计数原如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，那么

2、计即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，理如果完成一件事的各个步骤是相互联系的， 算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问分类计数原理、 题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用 排列与组合2个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从排列：一般地，从个不同的元素中任取nn)mnm( 个元素的一个排列（其中被取的对象叫做元素）个不同元素中取出m个不同元素中取出叫做从个元素的所有排列的个数，排列数：从个不同的元素中取出nn)m(mnm 个元素的排列数，用符号表示Amnm，并且排列数公式： 1)mL(n?A

3、?n(n?1)(n?2)nmN，n?mn?全排列：一般地，个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列 nn的阶乘：正整数由到的连乘积，叫作的阶乘，用表示规定： nnn1?n!0!1组合：一般地，从个不同元素中，任意取出个元素并成一组，叫做从个元素中任nnm)(mn取个元素的一个组合 m组合数：从个不同元素中，任意取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素nnm)mn(m表示 中，任意取出个元素的组合数，用符号CmnL(n?m2)?1)n!1)(n(n?n?m，并且 组合数公式：nmN?m,n?C ?nm!m!(n?m)!n?mmm?1mm0） ：（规定1组合数的两个性质：性质：

4、；性质21?CC?C?CC?Cnn?nnn1n 排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； 2分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏 3排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法 4捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其

5、它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列 5插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空 6插板法：个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题把个元素排成一排，nn)nm(m1m? 个空，各插一个隔板，有从个空中选C1?n?1m1?n7分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别一般地平均分成堆（组），必须除以！，如果有堆（组）元素个数相等，必须除以！ mnmn8错位法：编号为1至的个小球放入编号为1到的个盒子里，每个盒子放一个小球，要求nnnn小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当，3，4，5时的错位数各为1，2，2n?9，

6、44关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题 1排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： 元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； 位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； 间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答 2具体的解题策略有： 对特殊元素进行优先

7、安排； 理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； 对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； 对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； 顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； 对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面 对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型 典例分析 排队问题 】三个女生和五个男生排成一排【例1 如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法 如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法 如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法 6个人站成一排： 2】 【例其中甲、乙两人必须相邻有多少种

8、不同的排法 其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法 其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法 其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法 【例3】 7名同学排队照相 若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法 若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法 若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法 若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法 6个队员排成一排， 4】 【例共有多少种不同的排法 若甲必须站在排头，有多少种不同的排法 若甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的排法 五个字

9、母排成一排，若的位置关系必须按A在前、B居中、C在后的原则，ABCABCDE 】【例5共有_种排法（用数字作答） 【例6】 用1到8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻， 5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有_ _个（用数字作答） 记者要为名志愿者和他们帮助的位老人拍照，要求排成一排，位老人相邻但不排在5 】【例722两端，不同的排法共有（ ） A种 B种 C种 D种 4809607201440 名同学合影，站成前排人后排人，现摄影师要从后排人中抽人调整到前排，若882124 8】【例其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ） 22262222 DC B ACC

10、CAAAAC86358868 【例9】 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） A1440种 B960种 C720种 D480种 ?，?3，1，2五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是【例10】 在数字与符号（ ） 618 D B AC2412 【例11】 计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有_种 【例12】 6人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_种不同的排法（用数字作答） 【例13】 一条长椅

11、上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻位不相邻，共有几种坐法 位男生和位女生共位同学站成一排，若男生甲不站两端，位女生中有且只有两位女3336 14【例】生相邻，则不同排法的种数是（ ） A B C D 21628836096 【例15】 古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有 种（结果用数值表示） 中，使相邻两数都互质的排列方在的任一排列76，5，1，2，3，4aa，a，a，a，a，a 16】【例1437526式

12、共有（ ）种 A B C D 1152576288864 ?集合从个元素排成一排与（字母和数中各任取2P85，6，7，9Q，R，S，40，12，3， 】【例17字均不能重复）每排中字母和数字至多只能出现一个的不同排法种数是0Q_（用数字作答） 从集合（字母和中各任取个元素排成一排与08，9，3，4，5，67，12R，SP，OQ， 【例18】2数字均不能重复）每排中字母和数字至多只能出现一个的不同排法种数是0QO，_（用数字作答） 个人坐在一排个座位上，问 106 】【例19 空位不相邻的坐法有多少种 个空位只有个相邻的坐法有多少种 34 个空位至多有 个相邻的坐法有多少种24 位男生和位女生共

13、位同学站成一排，若男生甲不站两端，位女生中有且只有两位女3336 【例20】生相邻，则不同排法的种数是（ ） A B C D 21628836096 12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排， 】【例21其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有（ ） 22262222 B C D ACACACAAC86836588 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷本，共本将它们任意地排8 【例22】1成一排，左边本恰好都属于同一部小说的概率是_ 4 年月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧为了支援南200712 】【例23方地区抗

14、灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤某铁路货运站对列电煤6货运列车进行编组调度，决定将这列列车编成两组，每组列，且甲与乙两列列车不在36同一小组如果甲所在小组列列车先开出，那么这列列车先后不同的发车顺序共有63 ） （A种 B种 C种 D种 43210821636 数字问题 给定数字、，每个数字最多用一次， 9350 】【例2421可能组成多少个四位数可能组成多少个四位奇数 可能组成多少个四位偶数可能组成多少个自然数 【例25】 用0到9这10个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数 在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4，6，8中任取两个数字，可组成多少个不 【例】26

15、同的五位偶数 2，3，4，51，aa，a，a，a用】位数 ，满足【例27的字成排一个数不重复五15423a?a，a?a，a?a，a?a的五位数有多少个 53344212 0，12，L，9这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是28】 用【例，则这样的四位数共有多少个 2 用数字组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字6，4，51，2，3，0， 】【例29之和为偶数的四位数共有_个（用数学作答） 84，341，2，12，3，的蓝色卡片，从这张分别标有数字的红色卡片和张分别标有数字【例30】 有4410，则不同的排法张卡片排成一行如果取出的张卡片所标数字之

16、和等于张卡片中取出44数一共有 种 432； 83567863行，从中取出，列，要】【例31 有，张卡片分别标有数字，张卡片排成214235，则不同的排法共有（ ）求 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为134412481056960种 种 CD种A种 B 81，34，1，23，4244张分别标有数字有的蓝色卡片，从这【例的红色卡片和张分别标有数字32】 10，则不同的排法张卡片所标数字之和等于张卡片中取出张卡片排成一行如果取出的44 种（用数字作答）_共有 【例33】 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是_

17、（用数字作答） 1,2,3,4,520000大的五位偶数共有（ 数字） 可以组成没有重复数字，并且比】【例34 用183648个 C个A B个 D个24 6109，8，1，2，3个数中，取出两个，使其和为偶数，则共可得到 【例35】 从这个这样的 不同偶数 求无重复数字的六位数中，能被整除的数有_个 3 【例36】 用数字组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字65，4，20，1，3 【例37】之和为偶数的四位数共有 个（用数学作答） 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的从0，4，5，123 【例38】个数为（ ） A B C D 16230021618

18、0 从这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的54，2，3，0，1 】【例39个数为（ ） A B C D 162180216300 从到的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问： 9 【例40】1能组成多少个没有重复数字的七位数其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个 上述七位数中三个偶数排在一起的有几个 中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个 其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个 用到这九个数字可组成多少个没有重复数字的四位偶数 90 】【例41 814，2，3，1，23，4张分别标有数字】 有的蓝色卡片，从这【例42张分别标有数字的红色卡片和441044，则不同

19、的排法张卡片中取出张卡片所标数字之和等于张卡片排成一行如果取出的共有_种（用数字作答） 在由数字组成的所有没有重复数字的位数中，大于且小于的数5，2，3，4143521523145 43】【例共有（ ）个 A个 B个 C个 D个 60585756 由0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个 【例44】?，则_数列 a?an19A B C D 1430203420141432 从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程 45【例】2，其中有实数根的有几个 0?bx?cax? ?2?43，3，?2，1，012，cy?ax?bx?从 46问能的系数，【例中任选三个不同元素作为二次函数】 组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线