2019-2020学年高中数学 阶段质量检测（二）平面向量 北师大版必修4

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1、阶段质量检测（二） 平面向量(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若3x2(xa)0，则向量x ()A2aB2aC.aDa解析：选B由题意知3x2x2a0，故x2a.2若a为任一非零向量，b是模为1的向量，则下列各式：|a|b|；ab；|a|0；|b|1.其中正确的是 ()ABCD解析：选B中，|a|的大小不能确定，故错误；中，两非零向量是否平行取决于方向是否相同或相反，故错误；显然正确；中，向量的模是一个非负实数，故错误故选B.3已知向量a(1，m)，b(m,2)，若ab，则实数m等于 ()AB.

2、C或D0解析：选C由题意知12m20，m.4已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则 ()A4B3C2D1解析：选B因为mn(23,3)，mn(1，1)，由(mn)(mn)，可得(mn)(mn)(23,3)(1，1)260，解得3.5已知D是ABC所在平面内一点，则 ()A.B.C.D.解析：选B由题意，得()，所以选B.6某人在静水中游泳，速度为4 km/h，水流的速度为4 km/h.他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为()A90 B30C45 D60解析：选D如图，用表示水速，表示某人垂直游向对岸的速度，则实际前进方向与河岸的夹角为AOC.于是t

3、anAOC，AOC60，故选D.7已知向量a，b满足|a|1，ab，则向量a2b在向量a方向上的投影为 ()A1B.C1D.解析：选A设为向量a2b与向量a的夹角，则向量a2b在向量a方向上的投影为|a2b|cos .又cos ，故|a2b|cos |a2b|1.8如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|ab| ()A20B.C2D.解析：选C由题意，知ae1e2，be1e2，所以ab2e14e2，所以|ab|2，故选C.9已知直角坐标系内的两个向量a(1,3)，b(m,2m3)使平面内的任一个向量c都可以唯一表示成cab，则m的取值范围是 ()A(，0)(0，)B(，3)(3，)C(，

4、3)(3，)D3,3)解析：选B由已知，知a与b不共线，即1(2m3)3m，m3.10. 如图，在ABC中，ADDB，AEEC，CD与BE交于点F.设a，b， xayb，则(x，y)为 ()A.B.C.D.解析：选CADDB，AEEC，F是ABC的重心，则，()ab，x，y.11在矩形ABCD中，设(a,0)，(0，b)，当时，求得的值为()A3 B2C. D.解析：选D如图，.(0，b)，又，0，.12已知RtABC的斜边AB的长为4，点P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是 ()A.B.C3,5D12，12解析：选C建立如图所示的直角坐标系，设A(a,0)，B(0，b)，

5、P(x，y)，其中a0，b0，由已知得a2b216，x2y21，所以(ax，y)(x，by)x2axy2by1(axby)，令axbyt，由1得4t4，故的取值范围是3,5二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中的横线上)13已知a(1,2)，b(x,4)，且ab10，则|ab|_.解析：由题意，得abx810，x2，ab(1，2)，|ab|.答案：14(2019全国卷)已知a，b为单位向量，且ab0，若c2ab，则cosa，c_.解析：c2(2ab)24a24ab5b29，|c|3.又aca(2ab)2a2ab2，cosa，c.答案：15在平行四边形ABCD中，e

6、1，e2，则_(用e1，e2表示)解析：e2，e2.，e2e1，(e2e1)，(e2e1)e2e1e2.答案：e1e216已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|，则_.解析：由弦长|AB|，可知ACB60，|cosACB.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知|a|2|b|2，且向量a在向量b的方向上的射影的数量为1，求：(1)a与b的夹角；(2)(a2b)b.解：(1)由题意知，|a|2，|b|1，|a|cos 1，ab|a|b|cos |b|1，cos .由于0，即为所求(2)(a2b)bab2b

7、2123.18(本小题满分12分)如图所示，平行四边形ABCD中，a，b，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且BFBC.(1)以a，b为基底表示向量 与；(2)若|a|3，|b|4，a与b的夹角为120，求.解：(1)由已知得ab.连接AF，ab，HAbab.(2)由已知得ab|a|b|cos 120346，从而|a|2ab|b|232(6)42.19(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，|2|2，OAB，(1，)(1)求点B，C的坐标；(2)求证：四边形OABC为等腰梯形解：(1)连接OB，设B(xB，yB)，则xB|cos(OAB)，yB|sin(OAB)，(1，)

8、，B，C.(2)证明：，3，.又易知OA与BC不平行，|2，四边形OABC为等腰梯形20.(本小题满分12分)如图，G是OAB的重心，OG的延长线交AB于点M，又P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线(1)设，将用，表示；(2)设x，y，证明：是定值解：(1)()(1).(2)由(1)及x，y，得(1)(1)xy.G是OAB的重心，OM().由得，而，不共线，解得3，即是定值21(本小题满分12分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，2e1e2，e1e2，2e1e2，且A，E，C三点共线(1)求实数的值；(2)若e1(2,1)，e2(2，2)，求的坐标；(3)已知点D(

9、3,5)，在(2)的条件下，若四边形ABCD为平行四边形，求点A的坐标解：(1)(2e1e2)(e1e2)e1(1)e2.A，E，C三点共线，存在实数k，使得k ，即e1(1)e2k(2e1e2)，则(12k)e1(k1)e2.e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，解得k，.(2)3e1e2(6，3)(1,1)(7，2)(3)四边形ABCD为平行四边形，.设A(x，y)，则(3x,5y)(7，2)，解得即点A的坐标为(10,7)22(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a(1,2)，且点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin ，t)，.(1)若a，且|，求向量；(2)若向量与向量a共线，当k4，且tsin 取最大值4时，求.解：(1)因为(n8，t)，且a，所以8n2t0，即n82t.又|，所以564(n8)2t25t2，解得t8.所以(24,8)或(8，8)(2)因为(ksin 8，t)，与a共线，所以t2ksin 16.又tsin (2ksin 16)sin 2k2，当k4时，10，所以当sin 时，tsin 取得最大值；由4，得k8，此时，故(4,8)，所以848032.- 9 -