2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质练习(含解析)新人教A版选修2-1

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1、2.3.2 双曲线的简单几何性质A基础达标1已知双曲线的实轴和虚轴等长,且过点(5,3),则双曲线的方程为()A1B1C1 D1解析:选D由题意知,所求双曲线是等轴双曲线,设其方程为x2y2(0),将点(5,3)代入方程,可得523216,所以双曲线的方程为x2y216,即1.2已知双曲线C:1(a0,b0)的离心率e,且其右焦点F2的坐标为(5,0),则双曲线C的方程为()A1 B1C1 D1解析:选B依题意得e,又c5,故a4,所以b3,所以双曲线C的方程为1.故选B3(2018高考全国卷)已知双曲线C:1(a0,b0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A B2C D2解析

2、:选D法一:由离心率e,得ca,又b2c2a2,得ba,所以双曲线C的渐近线方程为yx.由点到直线的距离公式,得点(4,0)到C的渐近线的距离为2.故选D法二:离心率e的双曲线是等轴双曲线,其渐近线方程是yx,由点到直线的距离公式得点(4,0)到C的渐近线的距离为2.故选D4若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则它的离心率为()A BC2 D3解析:选B不妨设双曲线的标准方程为1(a0,b0),则22b2a2c,即b.又b2c2a2,则c2a2,所以3c22ac5a20,即3e22e50,注意到e1,得e.故选B5如图,双曲线C:1的左焦点为F1,双曲线上的点P1与P2关于y轴对称,则|

3、P2F1|P1F1|的值是()A3 B4C6 D8解析:选C设F2为右焦点,连接P2F2(图略),由双曲线的对称性,知|P1F1|P2F2|,所以|P2F1|P1F1|P2F1|P2F2|236.6中心在原点,实轴在x轴上,一个焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是_解析:由双曲线的实轴在x轴上知其焦点在x轴上,直线3x4y120与x轴的交点坐标为(4,0),故双曲线的一个焦点为(4,0),即c4.设等轴双曲线方程为x2y2a2,则c22a216,解得a28,所以双曲线方程为1.答案:17已知ab0,椭圆C1的方程为1,双曲线C2的方程为1,C1与C2的离心率之积为,则C2的

4、渐近线方程为_解析:依题意得 ,化简得a22b2.因此C2的渐近线方程为yxx,即xy0.答案:xy08设M为双曲线C:1(a0,b0)右支上一点,A,F分别为双曲线的左顶点和右焦点,且MAF为等边三角形,则双曲线的离心率为_解析:设双曲线的左焦点为F,因为MAF为等边三角形,所以|MF|AF|ac,从而|MF|3ac,在MFF中,由余弦定理可得(3ac)2(ac)24c222c(ac)cos 60,解得e4或e1(舍去)答案:49求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)两顶点间的距离是6,两焦点所连线段被两顶点和中心四等分;(2)渐近线方程为2x3y0,且两顶点间的距离是6.解:(1)由两顶点

5、间的距离是6,得2a6,即a3.由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c4a12,即c6,于是有b2c2a2623227.由于焦点所在的坐标轴不确定,故所求双曲线的标准方程为1或1.(2)设双曲线方程为4x29y2(0),即1(0),由题意得a3.当0时,9,36,双曲线方程为1;当0时,9,81,双曲线方程为1.故所求双曲线的标准方程为1或1.10设双曲线1(0aa,所以e212,则e2.于是双曲线的离心率为2.B能力提升11(2019福州八中检测)已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,则E的离心率为()A B2C D解析:选D设双曲线的方程为

6、1(a0,b0),不妨设点M在双曲线的右支上,如图,|AB|BM|2a,MBA120,作MHx轴于点H,则MBH60,|BH|a,|MH|a,所以M(2a,a)将点M的坐标代入双曲线的方程1,得ab,所以e.故选D12若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为()A32,) B32,)C D解析:选B因为F(2,0)是已知双曲线的左焦点,所以a214,即a23,所以双曲线方程为y21.设点P(x0,y0)(x0),则y1(x0),可得y1(x0),易知(x02,y0),(x0,y0),所以x0(x02)yx0(x02)12x01

7、,此二次函数对应的图象的对称轴方程为x0.因为x0,所以当x0时,取得最小值32132,故的取值范围是32,)13已知双曲线E:1.(1)若m4,求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程;(2)若双曲线E的离心率为e,求实数m的取值范围解:(1)m4时,双曲线方程化为1,所以a2,b,c3,所以焦点坐标为(3,0),(3,0),顶点坐标为(2,0),(2,0),渐近线方程为yx.(2)因为e21,e,所以12,解得5m10,所以实数m的取值范围是(5,10)14(选做题)已知双曲线C1:x21.(1)求与双曲线C1有相同的焦点,且过点P(4,)的双曲线C2的标准方程;(2)直线l:yxm分别交双曲线C1的两条渐近线于A,B两点当3时,求实数m的值解:(1)双曲线C1的焦点坐标为(,0),(,0),设双曲线C2的标准方程为1(a0,b0),则解得所以双曲线C2的标准方程为y21.(2)双曲线C1的渐近线方程为y2x,y2x,设A(x1,2x1),B(x2,2x2)由消去y化简得3x22mxm20,由(2m)243(m2)16m20,得m0.因为x1x2,x1x2(2x1)(2x2)3x1x2,所以m23,即m.- 6 -

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