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1、第四讲 用数学归纳法证明不等式讲末综合检测 (时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1用数学归纳法证明不等式12(n2，nN)时，第一步应验证不等式()A12B12C12 D12解析：选A.第一步验证n2时不等式成立，即12.设S(n)，则()AS(n)共有n项，当n2时，S(2)BS(n)共有n1项，当n2时，S(2)CS(n)共有n2n项，当n2时，S(2)DS(n)共有n2n1项，当n2时，S(2)解析：选D.S(n)的项数应为n2(n1)n2n1，S(2)，故选D.3设f(n)(nN)，那么f(n1)
2、f(n)等于()A BC D解析：选D.因为f(n)，所以f(n1)，所以f(n1)f(n).4k棱柱有f(k)个对角面，则k1棱柱的对角面个数f(k1)为()Af(k)k1 Bf(k)kCf(k)k1 Df(k)k2解析：选C.当k棱柱变为k1棱柱时，新增的一条侧棱与和它不相邻的k2条侧棱确定k2个对角面，而原来的一个侧面变为对角面，所以共增加k1个对角面5已知数列an中，a11，a22，an12anan1(nN)，用数学归纳法证明a4n能被4整除，假设a4k能被4整除，然后应该证明()Aa4k1能被4整除 Ba4k2能被4整除Ca4k3能被4整除 Da4k4能被4整除解析：选D.由假设a4
3、k能被4整除，则当nk1时，应该证明a4(k1)a4k4能被4整除6设0，a12cos ，an1，则猜想an等于()A2cos B2cosC2cos D2sin解析：选B.因为a12cos ，所以a2 2.又因为0，所以00(i1，2，3，n)，考察下列式子：a11；(a1a2)4；(a1a2a3)9.归纳对a1，a2，an都成立的类似不等式，并用数学归纳法证明解：由所给不等式可归纳(a1a2an)n2.证明如下：(1)当n1时，显然成立(2)假设当nk(k1，kN)时，不等式成立当nk1时，(a1a2ak1)(a1a2ak)ak1(a1a2ak)1k21k22k1(k1)2，即nk1时，不等
4、式成立综上，(a1a2an)n2.20(本小题满分12分)设函数f(x)xxln x，数列an满足0a11，an1f(an)(1)证明：函数f(x)在区间(0，1)上是增函数；(2)证明：anan11.证明：(1)f(x)1(1ln x)ln x.因为x(0，1)，所以ln x0，所以f(x)在(0，1)上为增函数(2)运用数学归纳法证明0an1，当n1时，由于0a11，所以不等式成立假设当nk(k1，kN)时，0ak1，则当nk1时，ak1f(ak)akakln akak(1ln ak)因为ln ak0.因为f(x)在(0，1)上为增函数，又0ak1，所以ak1f(ak)f(1)101.即对于任意的正整数n均有0an0，所以an1an，故anan10，b0及a，得abab.因为a0，b0，所以ab2，从而ab4，abab4.进而akbabk222k2，则当nk1(kN)时，(ab)k1ak1bk1(ab)(ab)kakbkakbabk4(ab)kakbk2k24(22k2k1)2k222(k1)2(k1)1，所以当nk1时，不等式也成立由(1)(2)知，对nN，不等式(*)成立，即原不等式成立9
2018-2019学年高中数学 第四讲 用数学归纳法证明不等式综合检测 新人教A版选修4-5
