中小学作业设计大赛获奖优秀作品[模板]-《义务教育语文课程标准（2022年版）》-[信息技术2.0微能力]：中学九年级数学下（第一单元）

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1、中学九年级数学下（第一单元）义务教育语文课程标准（2022年版）微能力2.0认证-中小学作业设计大赛模板目 录作业设计方案撰写：TFCF优秀获奖作品3目录一、单元信息2 二、单元分析2 三、单元学习与作业目标3 四、单元作业与设计思路4 五、课时作业4 1. 反比例函数4 2. 反比例函数的图象和性质（1）7 3. 反比例函数的图象和性质（2）10 4. 实际问题与反比例函数（1）13 5. 实际问题与反比例函数（2）16六、单元质量检测及参考答案19 反比例函数单元作业设计一、单元信息基本信息学科年级学期教材版本单元名称数学九年级第二学期人教版反比例函数单元组织方式自然单元重组单元课时信息序

2、号课时名称对应教材内容1反比例函数第 26.1.1（P2-3）2反比例函数的图象和性质第 26.1.2（P4-6）3反比例函数的图象和性质第 26.1.2（P7-8）4实际问题与反比例函数第 26.2（P12-13）5实际问题与反比例函数第 26.2（P14-15）二、单元分析（一）课标要求本章要求学生理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式，根据具体情境体会反比例函数的实际意义，体会数学与实际生活的紧密性.课标在“知识技能”方面指出：能根据反比例函数的解析式画出函数图象， 并理解函数的图象和性质，能利用其图象的性质解决实际问题.在“数学思考” 方面指出:分析实际问题中变量之

3、间的关系建立反比例函数模型；理解双曲线与直线交点的代数意义，体会“数形结合”的基本思想.（二）教材分析1. 知识网络132. 内容分析人教版第二十六章反比例函数主要内容包括反比例函数的定义、形式、图象和性质，最后一节是反比例函数的实际应用.本章先从几个实际问题出发， 引进反比例函数的定义；再探究反比例函数的图象与性质；最后介绍了反比例函数的实际应用.整章知识内容充分体现了“数学来源于生活,又应用于生活”的基本思想. 而且本章是基于学习过一次函数和二次函数之后,再次进入函数领域,可以使学生更深入地理解函数,感受到函数的魅力.（三）学情分析反比例函数是学生在初中阶段学习的第三类函数，前面学习了一次

4、函数和二次函数，能为学好本章打下基础.初中阶段的学生逻辑思维能力、观察能力、想象力和记忆力在迅速发展，教师在教学中可抓住这些特点，尽可能发挥学生的主观能动性，达到很好的教学效果.三、单元学习与作业目标1. 理解反比例函数的定义、会用待定系数法求解析式，要具有动手能力，会画函数图象，并能根据图象总结出反比例函数的性质.2. 能在实际问题情境抽象出反比例函数关系；理解双曲线和直线交点的几何意义，能运用所学知识解决实际问题.3. 经历反比例函数的画图及性质的探究过程，加深对函数的理解，体现了数形结合的基本数学思想，为高中数学奠定了基础.四、单元作业整体设计思路人教版第二十六章反比例函数共两节内容,包

5、括 26.1 反比例函数和 26.2 实际问题与反比例函数，共 5 课时.每课时均设计“作业 1（基础性作业）”（要求学生必做）和“作业 2（发展性作业）”（要求学生有选择的完成）.本单元作业设计具有以下几个特点：1. 针对性每组课时作业紧扣课本内容及本节重点，具有明确作业目标，重难点突出， 作业设计内容具有针对性.2. 层次性每组课时作业由易到难，且分为必做与选做两类，具有层次性.让基础薄弱的学生找到自信，也让基础较好的学生得到提高，充分满足了不同层次学生的需要，让每位学生体会到学习的成功，激发学生对数学的兴趣.3. 综合性作业设计时，注重培养学生的综合能力，关注各学科之间的联系，充分发挥数

6、学作为基础学科的价值.4. 特色性在本章 26.2 实际问题与反比例函数的课时作业中，充分体现了本地特色. 题干从本地风土人情出发，符合生活实际，让学生体会到生活处处有数学，数学源于生活用于生活，感受数学的魅力和家乡的发展.五、课时作业第一课时（26.1 反比例函数） 作业 1（基础性作业）1.作业内容（1）判断下列函数中哪些是反比例函数？ y = 2x +1； y = - 2 ； y = -x2 +1 ；x y =3 ； xy = -8 ； y = 5x-2 .7xm -3（2）若 y =（m -1）x 2是 y 关于 x 的反比例函数，求 m 的值.（3） 已知 y 是 x 的反比例函数，

7、当 x=5 时，y=2.求出 y 关于 x 的函数解析式；当 x=4 时,写出 y 的值.（4） 已知下表：x-2-1234y3432- 34- 12- 3812判断 y 是关于 x 的哪种函数？说明理由； 求出该函数的解析式；当 x=12 时，求 y 的值. 2.时间要求（15 分钟以内）3. 评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等，答案正确，过程正确.B 等，答案正确，过程有问题.C 等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程.答题的规范性A 等，过程规范，答案正确.B 等，过程不够规范、完整，答案正确.C 等， 过程不规范或无过程，答案错误.解法的创

8、新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确.B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误. C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评价为综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等.4. 作业分析与设计意图作业第（1）题通过辨别解析式是否为反比例函数解析式，加深学生对反比例函数定义的理解；第（2）题强化学生对反比例函数定义的理解，及对反比例函数三种常见形式的掌握；第（3）（4）题引导学生用待定系数法求函数解析式，并且让学生深入理解反比例函数中自变量和函数之间的关系.作业 2（发展性作业）1. 作业内容（1） 若

9、 y = (6 - 2n)xn2 +n-13 是 y 关于 x 的反比例函数，求 n 的值.5（2） 若 y1 与(x+1)成反比例，y2 与 x 成正比例，且 y=y1-2y2；当 x=1 时,y=，4当 x= - 12时,y= 12.求出 y 关于 x 的函数解析式.2. 时间要求（10 分钟）3. 评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等，答案正确，过程正确.B 等，答案正确，过程有问题.C 等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程.答题的规范性A 等，过程规范，答案正确.B 等，过程不够规范、完整，答案正确.C 等， 过程不规范或无过程，答案错误.

10、解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确.B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误. C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC综合评价为综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等.4. 作业分析与设计意图作业第（1）题强化学生对反比例函数三种常见形式的理解，并运用一次函数和二次函数解题，帮助学生回顾旧识，也体现了各函数之间的关系；第（2） 题属于较难题型，学生用待定系数法求多函数解析式，有利于提高学生发现问题及解决问题的综合能力.第二课时（26.1（2）反比例函数的图象和性质）作业 1（基础性作业）1.

11、 作业内容（1） 反比例函数 y = 3 的图象大致是（）xABCD1122（2） 反比例函数 y = 8 的图象上有两点 A ( x ，y )，B ( x ，y)，且 A，xB 均在该函数图象的第一象限部分，若 x1 x2，则 y1 与 y2 的大小关系为（）A. y1 y2B. y1 = y2C. y1 y2D. 无法确定（3） 已知反比例函数 y = (3m - 2)x m -2 的图象所在每个象限内， y 随 x 的增大而减小，求m 的值.（4） 已知反比例函数 y = k （ k 为常数， k 0 ）的图象经过点 A（2，3）.x求这个函数的解析式；判断点 B（1，6），C（ 32，

12、4）是否在这个函数的图象上，并说明理由；当- 4 0) 图象上两点，过点 A、B 分别向 x 轴作x垂线，垂足分别是 C、D，连接 OA、OB，AC、OB 相交于点 F，AOF 的面积是 4，则梯形 FCEB 的面积为 （2） 直线 y = -kx + 3 与双曲线 y = k (k 0) 在同一坐标系内的图象可能是x（）.ABCD（3） 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为(- 3,4) ，21顶点C 在 x 轴的负半轴上，函数y = kx(x 0)的图象经过顶点B，则k 的值为（）.A-12B-27C-32D-36（4） 如图直线 y = ax + b

13、与反比例函数 y = k 相交于 A（2,4），B（ n ，-2）x求一次函数和反比例函数解析式；求AOB 的面积；直接写出不等式ax + b k 的解集.x2. 时间要求（15 分钟以内）3. 评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等，答案正确，过程正确.B 等，答案正确，过程有问题.C 等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程.答题的规范性A 等，过程规范，答案正确.B 等，过程不够规范、完整，答案正确.C 等， 过程不规范或无过程，答案错误.解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确.B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误. C 等，常规解

14、法，思路不清楚，过程复杂或无过程.综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC综合评价为综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等.4. 作业分析与设计意图作业第（1）题考察反比例函数系数k 的几何意义，体会数形结合思想作业第（2）题考查了反比例函数与一次函数的图象问题，属于基础题，关键掌握一次函数 y=ax+b 中的 a、b 与反比例函数 y = k 中 k 的正负对函数图象的几何影x响作业第（3）题求反比例函数解析式中k 值，只需知道图象上一点的坐标， 利用待定系数法即可.本题的关键是利用菱形的性质求出 B 点坐标.作业第（4） 题考查了一次函数与反比例函数的

15、综合应用，常涉及到求交点坐标、确定函数解析式、根据函数图象解不等式、以及求三角形的面积问题，在求三角形面积时要充分利用数形结合思想，即用“坐标”求“线段”，用“线段”求坐标.作业 2（发展性作业）1. 作业内容(1) 反比例函数 y = k ( k 为常数且k 0 )的图象经过点 A（a,3），B（2a+1,1）x求反比例函数的解析式；在 x 轴上找一点P 使PAB 的周长最小，(i) 求满足条件的点P 的坐标；(ii)求PAB 的面积2. 时间要求（10 分钟）3. 评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等，答案正确，过程正确.B 等，答案正确，过程有问题.C 等，答案不正

16、确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程.答题的规范性A 等，过程规范，答案正确.B 等，过程不够规范、完整，答案正确.C 等， 过程不规范或无过程，答案错误.解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确.B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误. C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评价为综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等.4. 作业分析与设计意图本题主要考查反比例函数的图象上点的坐标特征，轴对称的意义，利用过对称点的直线与 x 轴的交点坐标是求最小距离的常用方法.第四课时(26

17、.2（1）实际问题与反比例函数）作业 1（基础性作业）1. 作业内容（1）2019 年 12 月 1 日，凤台南站随着商合杭高速铁路的建成投运而投入使用.建设初期该站需要处理掉总量为106 m3土石方，政府聘请某运输公司承担此次的运送任务，该运输公司平均运送土石方的速度 v （单位： m3/天）与完成运送任务所需的时间 t （单位：天）之间的函数关系式是（）106Av =B v = 106tC v =1 t 2106D v = 106 t 2（2） 某知名煤矿购进一批排风扇，由于导购粗心，未记录排风扇的风量大小，但是提供了下图，已知 q 与 K 成反比，排风扇的风量大小是该反比例系数的100

18、倍，那么这批排风扇的风量大小是m/min.（3） 一学生观察出学校伸缩门由一个个菱形构成，已知每一个菱形的面积是 10 cm 2 ，它的两条对角线 y 与 x 的函数关系式.（4） 暑假小明去某地游乐园游玩，游乐园内的“水上滑梯”项目很火，在排队过程中小明发现如图所示的侧面图，其中BD 段可看成双曲线的一部分，矩形 OABC 是向上攀爬的阶梯部分通过现场了解得知 OC=5 米，入口平台 BC=1.8 米，滑梯的出口 D 点到水面的距离 DE 为 0.75 米（O、A、E 在一条直线上）求 B、D 之间的水平距离 AE 的长2. 时间要求（15 分钟以内）3. 评价设计作业评价表评价指标等级备注

19、ABC答题的准确性A 等，答案正确，过程正确.B 等，答案正确，过程有问题.C 等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程.答题的规范性A 等，过程规范，答案正确.B 等，过程不够规范、完整，答案正确.C 等， 过程不规范或无过程，答案错误.解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确.B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误. C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC综合评价为综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等.4. 作业分析和设计意图第（1）题通过对家乡高铁站建成的相关背景知识

20、的介绍，让学生从中抽象出反比例函数的模型，从而激发学生对家乡热爱之情.第（2）、（3）题从身边常见事物出发，激发学生兴趣，促使学生养成学会观察学会思考的习惯.第（4）题从游乐场常见的水上滑梯入手，更容易让学生建立反比例函数模型，有利于快速的解决问题.通过上述 4 题让学生切身感受到数学是要面对实际生活和社会实践的，反比例函数的知识在实际生产生活中经常用到，掌握这些知识对学生参加实践活动，解决日常生活中的实际问题具有实际意义，进一步体现函数与现实生活间的密切联系.作业 2（发展性作业）1.作业内容（1） 为提高饮水质量，学校为各班级更换一批新的饮水机，小明通过查阅资料了解到：饮水机将水加热到 1

21、00时，自动停止工作，随后水温开始下降， 此时水温（）与开机后用时（min）成反比，当水温降低到 30时，饮水机自动开启加热功能，不断重复此过程若在水温为 30时接通电源，水温 y（） 和时间 x（min）的关系如图所示，水温从 100降到 40需要多长时间？（2） 数学活动：尝试找出与生活实际相关的反比例关系. 2.时间要求（10 分钟）3. 评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等，答案正确，过程正确.B 等，答案正确，过程有问题.C 等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程.答题的规范性A 等，过程规范，答案正确.B 等，过程不够规范、完整，答案正确

22、.C 等， 过程不规范或无过程，答案错误.解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确.B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误.C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC综合评价为综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等.4. 作业分析与设计意图第（1）题研究了反比例函数与生活中饮水机工作情况的关系，在应用反比例函数知识解决实际问题时，让学生注意将生活实际问题转化成数学问题，本题根据图象得出 y 与 x 的函数关系式是关键，同时要注意实际问题中自变量 x 的取值范围，结合实际解答.第（2）题是开放型题目，

23、学生从实际生活出发自主探索, 体会数学与现实生活的紧密联系.第五课时（26.2（2）实际问题与反比例函数）作业 1（基础性作业）1. 作业内容（1）设某一辆车的车头与随后的车相隔的距离为 d，而行驶的车速为 v,则交通流量可定义为n = v ，若车速固定，那么以下图像正确的是（）d（2）2022 年冬奥到来之际，小明经常收看中央广播电视台的冬奥来了节目，通过查阅资料小明了解到中央广播电视台的发射频率 f （单位:Hz）与波长 l （单位：m）满足函数关系式 f3108=，已知该电台节目的发射频率为l1.161106 Hz，则波长约为 （精确到 1m）.（3）小明想知道凤台二桥有多长，骑自行车以

24、 15km/h 的速度匀速从东头前往西头，用时 20 分钟.平均速度 v 与时间 t 满足什么关系？到达桥西头后，小明接到好朋友小华的电话，约好 15 分钟后在桥东头集合，挂掉电话号，小明立马返程，请问小明至少多大速度返程？2. 时间要求（10 分钟）3. 评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等，答案正确，过程正确.B 等，答案正确，过程有问题.C 等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程.答题的规范性A 等，过程规范，答案正确.B 等，过程不够规范、完整，答案正确.C 等， 过程不规范或无过程，答案错误.解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正

25、确.B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误. C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC综合评价为综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等.4. 作业分析和设计意图第（1）题通过提出现实生活中常见的交通堵塞问题，引导学生思考并发现相关原理.第（2）题通过对实际问题的建模，激发学生学习兴趣，倡导学生独立思考的学习方式.第（3）题中反比例函数在现实生活中和生产中应用很多，本题旨在进一步引导学生把实际问题转化成反比例函数模型，再利用反比例函数和相应的数学知识加以解决，体会数学的建模思想.作业 2（发展性作业）1. 作

26、业内容（1）在物理学中，气体质量m 一定时，密度r（单位：kg / m3 ）与体积V （单位： m3 ）成反比，其关系式为r= m ( m 为常数)，在一个可以改变容积的封闭V容器中，装有一定质量的某种气体，当改变气体的体积V 时，密度r也随之变化， 其函数图象如图所示：求该气体的质量m ；若该密闭容器的容积可在 3 m3 7 m3 范围内变动，求该容器中气体密度的范围；若使容器中气体的密度不低于 2 kg / m3 ，则该容器的容积至少是多少？ 2.时间要求（10 分钟）3. 评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等，答案正确，过程正确.B 等，答案正确，过程有问题.C 等

27、，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程.答题的规范性A 等，过程规范，答案正确.B 等，过程不够规范、完整，答案正确.C 等， 过程不规范或无过程，答案错误.解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确.B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误. C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评价为综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等.4. 作业分析与设计意图第（1）题设置密度问题，使学生感受反比例函数在物理学科中的广泛应用， 让学生体会到数学与其他学科的融合.六、单元质量检测作业

28、（一）单元质量检测作业内容一、选择题 （单项选择）1. 下列函数关系式中属于反比例函数的是().A. y = 3xB. y = - 2xC. y = x2 + 3D. x + y = 522. 已知函数 y = k ，当 x = 1 时， y = -3 ，那么这个函数的解析式是（）xA. y = 3xB. y = - 3xC. y = 13xD. y = - 13x3. 反比例函数 y m - 3 的图象，当 x0 时，y随 x的增大而增大，则 m 的x取值范围是（）.Am3Bm3Cm3Dm34. 经调查我市一家出版社的一台印刷机每年可印刷的书本数量 y（万册） 与它的使用时间 x（年）成反比

29、例关系，当 x=2 时，y=20则 y与 x的函数图象大致是（）.ABCD 225. 如图，直线 y1= 1 x + 2 与双曲线 y22= 6 交于xA(2，m) 、B (-6，n) 两点，则当 y1 y2 时，x的取值范围是（）A x 2C x -6 或0 x 2B -6 x 2D -6 x 0 时，yx0，这时函数图象位于第象限；对于函数 y = - 3 ，当 x 0 时，yx0，这时函数图象位于第象限7. 近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400 度近视眼镜镜片的焦距为0.25 米，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为 （无需确定x 的取值范围）28.

30、 如图，点 B在反比例函数 y x （x0）的图象上，过点 B分别向 x轴，y轴作垂线，垂足分别为 A，C，则矩形 OABC的面积为 三、解答题9. 已知反比例函数 y = k 的图象经过点(-3, 2) x(1) 求反比例函数的解析式；(2) 在如图所示的正方形网格中画出这个函数的图象10. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于 A、B两点，点 A的坐标为（2，3）（1） 求反比例函数的解析式；（2） 根据图象直接写出使反比例函数的值小于正比例函数的值的 x取值范围 11. 截止 2021 年 12 月 15 号，我国自主研发的新冠疫苗已接种超过 26 亿剂次，疫苗已经经过三期临床试验，测

31、得成人注射一针疫苗后体内抗体浓度 y（miu/ml）与注射时间 x天之间的函数关系如图所示（当 x 20 时，y 与 x 是正比例函数关系；当 x 20 时，y 与 x 是反比例函数关系）（1） 根据图象求当 x 20 时，y 与 x 之间的函数关系式；（2） 根据图象求当 x 20 时，y 与 x 之间的函数关系式；（3） 体内抗体浓度不低于 140miu/ml 的持续时间为多少天？（二）单元质量检测作业属性表序号类型对应单元作业对应学习水平难度来源完成时间了解理解应目标用1选择题1易原创30分钟2选择题1、2易改编3选择题1、2易改编4选择题1易选编5选择题1中改编6填空题1易原创7填空题

32、1、2中改编8填空题1、2中选编9解答题1易改编10解答题1较难改编11解答题1、2较难改编教学知识转变是指将学校外部的学科知识或者某些对象引进课堂时产生的数学知识变化过程。其研究目的是刻画在学校所教的知识、内容是什么。这些知识是从学校外部转移到学校的，需要适应性转变, 才能被运用于学校提供的新环境里。由于被转换的知识是反映学校外部的社会要求，不是在学校内部发生的，因此，转换过程其实就是重构学校外部的知识。学校外部的知识的存在不是为了教学，是为了使用而产生的。如患者找医生是为了求医生的医学知识和经验，不是为了学医学的。这种知识与学校的教学知华东师范大学博士学位论文11识有区别，有相对的独立性。

33、知识体（body of knowledge）是在学校外部建构的，符合特定的要求以及在特殊条件下形式。其中一些知识由不同行动者和不同时间组成的社会结构选择、界定、重新组织，进而重新定义后到达课堂（Bosch & Gascn, 2006，52-54）。因此，不像那些为了使用而产生的知识，实际教学的知识需要社会的承认以及正当化（Kang & Kilpatrick, 1992，4）。经过知识的不同要素的解构并重建的过程，工具性的知识转变到学校或者课堂中可教学的知识。如图 2-1，知识的转变过程围绕着知识的产生、投入使用、选择、设计到实际教学的转换。数学学科知识（Scholarly knowledge）

34、是以大学或者数学研究所等的机关形成，引进学校或者课堂的时候，这些知识应该要“可教的”、有意义的、有用的知识，需要一定的加工与转变过程，形成期望教学的知识（Knowledge to be taught）。这种知识是由课程（curricula）设计的，不一定是原有的数学学科知识。而实际教学知识（taught knowledge）是在课堂中教师实际教过的知识，与学生实际学习的知识（learned knowledge）同步进行，两者是教学过程的重点也是新课的始点。因此，数学是在社会机构内产生、教授、学习、实践和传播的，为了理解哪些数学知识是在学校教过的，需要掌握教学知识的来源和证明，以及在不同教学机构

35、中对这种知识的解释（Bosch & Gascn, 2006，54-58；Chevallard &Bosch，2014，171-172）。图2 2- -2 2 教学知识 转变 过程（ Bosch & & Gascn, , 20 06, 56 ）舍瓦拉德设置教学智能圈（didactic noosphere）概念。他把知识生产者、教师、课程设计者等与教学相关的人所属的空间称为“教学智能圈。”知识转换接受学校外部的政治家、数学家、教育体系内的成员（如教师）以及历史和制度条件等的影响，强制以及限制在学校能做什么。教学智能圈的主要作用是作为教学体系（如学校）和社会的中介，保持学校所教知识的“真实性”的同时

36、，协商和应对社会对教学体系的要求。学科知识和期望教学的知识之间的关系如果发生异常，在教学智能圈里可能发生冲突,引学科知识制度内产生、使用的知识期望教学的知识教育体系、noosphere实际 教学 的知识课堂实际学习的，可用知识学习共同体发相关的讨论，从而出现可以解决问题的中间地带。图2-2中的“期望教学的知识”是通过人类知识圈（noosphere）产生（包括官方课程、教材、教学材料等）的，强调在时间的流程中建构、保持以及发展，并满足一定的条件和限制。因此，教学知识分析不能限制于教材的评介，应该问为什么教、为什么这样组织、来源是什么以及教材所显示或者隐藏的现象是什么（Bosch & Gascn,

37、 2006, 54-58; Bosch & Gascn,2014,68-70）。也就是说，这是社会要求和其他要素协商的结果。智能圈有两种，一个是从外部的知识或对象变换到内部的全域智能圈（Inclusivenoosphere），比如在图2-2的学科知识与期望教学的知识之间的转换所形成的空间。另外一个是教育体系内部形成的转换空间，称为局部智能圈（local noosphere），比如图2-1中在期望教学的知识和实际教学的知识之间形成的转换空间。期望教学的知识并不是学校内部发明的，也不是学科知识的复制品，但它应该保留学科知识的主要元素。因此，知识转变过程的研究应该分析什么知识是转变，为什么转变，以及

38、为什么有些知识被省略、被取消（Chevallard & Bosch，2014）。图2 2- -3 3 教材教学知识 转 换过程 （ Kang ， 1991 ）有些研究是基于教学知识变化的视角下，通过分析教材表明从学科知识到教授知识的转换过程。Kang（1991）提出了图2-3的模型解释知识的转换过程。个人的知识具有个性化/情景化（personalized/contextualized）的特征。为了成员之间的交流，知识需要以给定的形式来组织，在这个过程中，知识会与个人的背景和情境相剥离，以脱离个性/脱离情境depersonalization/decontextulization）的形态形成不同知

39、识。这现实世界些循环过程中，知识以不同形式和表征进行交流，并在交流的过程中进行知识的转换（Kang，1991,82-83）。2.1.4 中韩 教学 知识 变换研究中国和韩国有诸多数学课堂中发生的教学知识转变的研究。首先，在中国的知识转变研究一般是针对突破数学难以学习的情况下展开的。张奠宙（2005）提出了数学知识的原始形态、学术形态、教育形态概念，指出教师的任务在于“知识的学术形态转化为教育形态”。数学课堂应该指向的是“数学本质”。文章中还提出几个课堂活动案例，如课堂活动中，只有测量活动，没有探究的教学情境，缺乏数学概念之间的因果关系的活动等。原始形态是指数学家研究的时候，如发现真理或者证明时

40、候的生动活跃的思考，这些思考用文字发表论文后形成的知识就是学术形态，原始的思考显示出很简洁、冰冷的形式化特征。教育形态是指教师为了启发学生的数学思考，加工学生可接受的知识。为了指向数学本质，把教材中形式化的知识转换为火热的思考，再创造数学化的过程变换成学生可操作的知识，联结并融合知识等。此研究很多部分与知识转换理论相通，区分教学知识和学科知识。只是，文章中提出教材也是属于一个形式化的知识，教学不只是把教材的内容抄在黑板上的行为（张奠宙，王振辉，2002；张奠宙，2005；2007）。ADT理论中，教材是属于期望教学的知识，与学科知识有区别。还有，ADT理论把期望教学的知识和实际教学的知识分开，

41、课堂教学前后的知识也有区别。张景中院士提出教育数学的概念，数学教育要研究教什么（教材）和怎么教（教法）方面，也是强调数学知识的再创造的过程，提出三个优化的标准：（1）逻辑结构的简洁；（2）平易直观的概念引入；（3）能够通用的解题工具。根据Lee(2016)的研究，韩国的教学知识转变研究大致分类两种数学教材研究和数学课堂研究。Kang（1991）介绍教学知识转变理论和特征，提出教学知识、尤其是教材的知识是为了教与学所需要的知识，有些教学知识在课堂中用完了以后就不用，很容易消失。研究教材就是研究这些过渡性知识，提出特点和需要改善的部分（Kang，1991；1992；Lee, 2016）。现有的韩国

42、教材教学知识转变研究主题有圆的面积、四边形、分数、统计、正态分布图等（Choi & Kang, 2003; Kang,2000; 2001; 2014; Kim & Kang,2008; Lee,2018;Lim & Kang, 2003）。另外，针对教学的研究，主题为初中数学课堂(Bae, 2015)、研究者-教师研究共同体（Na,2010; Song，2019）、职前数学教师知识（Kwon，2019）、课堂中涉及教学工具等(Shin & Lee, 2008；Lee, 2010)的教学知识转变研究。研究结果提出影响课堂知识转变的因素和教学意义，启示需要减少教学知识转变过程中发生的知识易碎（F

43、ragility of knowledge）现象（Lee，2016）。韩国的教学知识转变研究虽然不是很多，还是对于数学教学知识本质提示的不少。2.2 分数与 分数除法的教学分数除法是小学数学教学的重点和难点。学生经过由易到难的教学后将算法统一成“除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数”（巩子坤,王敏,程玲,吴敏霞,赵雨晴，2020）。其实掌握分数除法的算法并不难（除数颠倒相乘），但是以学生的立场来说，理解分数除法的算理有所困难。因为分数除法蕴含着两个数学概念“分数”和“除法”。尽管学生已经学会了整数除法运算，然而分数除法的运算方式和理解有所差异，因此学生容易发生错误（Tirosh, 2000,

44、 6-8; Adu-Gyamfi et al., 2019, 507-508）。这些困难不只是在学生的身上。马立平(2010)访谈中美小学数学教师，其中一个任务是要求教师提出分数除法的具体情境。出乎意料的是，老师也没有掌握分数除法，分不清的情境。不管是教师还是学生，分数除法是教学中的一个难题。2.2.1 分数的意义分数是儿童从整数扩展到有理数概念的过程中碰到的一个关口。分数不像整数，不是通过计数活动学习的数。由于分数概念比较抽象，在小学数学教学中通常会设计不同的方法来理解。数学中对有理数的代数定义是， 所有形如 𝑎𝑎𝑏𝑏 的数集称

45、为有理数集，其中a 、 b都是整数，且𝑏𝑏 0。然而这样的抽象定义儿童是难以理解的（辛自强，张睆，2012）。这种定义都是分数的形式化定义，并没有说明在实际情境中的分数 𝑎𝑎𝑏𝑏 是如何。在小学教学中分数的难点是：（1）与整数概念形成方式不同；（2）不同分数的意义操作模型的方式也都不同。由于分数的概念很抽象，在小学数学中，儿童的分数概念理解是基于现实情境和实物，蕴含不同的分数意义。如图2-4，根据研究者的观点，分数的意义的分类都不同（崔钰，2014；张奠宙，2010）。图2 2- -4 4 对分数本

46、质的认识（ 崔钰 ， 2014, , 62) )比较广泛接受的分数的意义是Kieren的五种分类。其中，部分-整体是把整体平均分成几份中的若干份表示为𝑎𝑎𝑏𝑏 ，中韩教材引入分数的时候开头是对连续量的平均分(Cho,2015,70)。但是部分-整体概念还有两种说法。如，平均分成5份中的3份是五分之三。另外，平均分成5份，其中一份是五分之一，有三个五分之一，就是五分之三。刘加霞（2011）把用整体-部分之间的比率关系刻画分数的方法叫“率”的分数（图2-5），计数分数单位的方式叫“量”的分数(图2-6)。学生从率的倍比关系来理解分数，

47、不强调分数单位和单位的个数的方式，就是学生心中不承诺分数也是个“数”。刘加霞（2011）讨论了华应龙老师上的“分数的意义”的公开课，华老师所说的“分数是先分后数的数”解释为“分”是创造一个单位，“数”是计数一个单位，从分数单位角度来理解分数的意义。这样，从自然数的认识引进“分数单位的累加”，还可以真正理解分数加减法同分母分数加减是“分子相加减而分母不变”，异分母分数加减是“先通分，然后再分子相加减，分母不变”的意义。图2 2- -5 5 韩国三年级第一学期率的分数定义（ KOFAC ， 2018a a ,115) )图2 2- -6 6 中国3 3 上量的分数定义（ PEP ， 2014a ，

48、9 92 2 ）比率的分数是表示两个量之间的关系，基准量m和比较量n之间的关系，将n:m的比值表示为𝑛𝑛𝑚𝑚 。商的分数是指表示整数相除的结果。测量的分数是从测量的起源衍生出来的概念，以给定的单位不能测量的量，平均分成“单位”，表示测量结果的。运算元（算子）的分数是以𝑎𝑎𝑏𝑏 来放大或缩小的情况，如，图形缩为三分之二，或者求12厘米彩带的三分之二，求苹果12个的三分之二都是蕴含着算子的分数意义（KOFAC,2018，293-294）。分数概念的错误在以实际量表示分数的

49、时候比较常见。以离散量的分数表示来为例，求6个苹果的三分之二（图2-7），学生可能发生认识论上的错误。在分数概念的引入中学生获得的是平均分成连续量的学习经验，当时分的是一个苹果，现在要分的是六个苹果，分数的整个单位和计数单位不一致。因此，人教版的教材用“单位1”的概念代表分数单位的“整体”“1”。韩国教材的离散量分数教学方式有所不同，教材建议把部分的量卷起来，表现几捆中的几捆来表示分数（图2-8）。图2 2- -7 7 中国3 3 上 离散量的分数（ PEP ，2 2 014a, 100)图2 2- -8 8 韩国3 3- -2 2 教材离散量的分数（K K OFAC,2018c ， 79 ）Confrey & Carrejo (2005)提示图2-9的图，用两种问题进行访谈。（1）以分数表示涂色的部分。（2）四个人一起吃两个披萨，用数字回答“每个人吃了多少？”。访谈结果，题1的典型回答是四分之一，题2的典型回答是二分之一（一半）。在题1，如果一个圆当成1，涂色的部分是二分之一，总共四块图看成1，回答是四分之一。但是在题2有了实际单位一个披萨，而且现实情境密切有关，典型答案是二分之一。知识备份（根据实际情况删减）2