中考复习讲义圆的基本概念与性质(含答案)

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1、圆的基本概念与性质内容基本要求略局要求较局要求圆的有关概念理解圆及其有关概念会过/、在同一直线上的二点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题F自检自查必考点1 .圆的定义：在一个平面内，线段 OA绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一个端点 A随之旋转所形成 的图形叫做圆，其中固定端点 O叫做圆心，OA叫做半径.2 .弧与弦：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍.弦心距：

2、从圆心到弦的距离叫做弦心距.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以 A B为端点的圆弧记作 AB ,读作弧AB.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.3 .垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。中考必做题一与圆有关概念【例1】判断题(1)直径是弦()(2)弦是直径()(3)半圆是弧()(4)弧是半圆()(5)长度相等的两条弧是等弧()(6)等弧的长度相等()两个劣弧之和等于半圆(8)半径相等的两个圆是等圆(9)两个半圆是等弧（10）圆的半径

3、是R,则弦长的取值范围是大于0且不大于2R【答案】（1） M （2）不（3）京（4）不（5） X; （6）您（7）不（8）叱（9）【例2】如图，点A、D、G M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO 均为矩形，设 BC = a , EF =b ,NH =c则下列格式中正确的是（B. a =b =cC.cabD. bcaA. a b c【例3】点A在直线li上，以点如图，直线l1 / LA为圆心，适当长为半径画弧， 分别交直线ll2于B、 则/ 1的大小为【例4】 如图，4ABC内接于LlO, AB =8, AC =4, D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接PA、PB、PC、PD

4、 ,当BD的长度为多少时，APAD是以AD为底边的等腰三角形？并加以证明.【答案】解：当BD =4时，APAD是以AD为底边的等腰三角形.证明：P是优弧ABC的中点PB =PCPB =PC在APBD与始CA中，PB =PC：ZPBD zpcbIBD =AC =4APBg APCASA3 . PD=PA,即BD=4时，AD是以AD为底边的等腰三角形.【例5】 如图，正方形 ABCD的边长为2,将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑 动.如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按 A= B= C= D= A滑动到A止，同时点R从点B 出发，沿图中所示方向按 B= C= D= A= B滑动

5、到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所 经过的路线围成的图形的面积为 【答案】4 二【解析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点M到正方形各顶点的距离都为1,故点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，点 M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积.二垂径定理及其应用【例6】 如图，AB是|_|0的直径，BC是弦，OD_LBC于E ,交弧BC于D .(1)请写出五个不同类型的正确结论；(2)若 BC =8,ED =2 ,求 |_|O 的半径.D【答案】(1)不同类型的正确结论有: BE =CE;弧 BD =MDC；/BE

6、D =90 :. BOD 乙AAC _OD;AC - BC; OE2 BE2 =OB2; S abc =bc ?oe；二BOD是等腰三角形；二 BOES【BAC.,.(2) OD _LBC ,1 1 BE =CE =BC =4设|O的半径为 R,则OE =OD DE =R2,在Rt_OEB中，由勾股定理得：222222OE BE =OB，即（R 2）4 =R ,解得：R =5 ,.|_|O的半径为5.【例7】 如图，在|_0中，NAOB =120AB =3,则圆心O到AB的距离=【答案】， 2【例8】如图，D内接于0, D为线段AB的中点，延长0D交10于点E,连接AE,BE则下列五个一1结论

7、AB_L DE ,AE= BE,0D = DE ,/AEO =/C ,AB =ACB ,正确结论的个2数是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【例9】 如图，AB为l_0的直径，CD为弦，AB_LCD ,如果NBOC = 70=，那么/ A的大小为（）A.703 B.35C.30D. 20【例10如图，AB是0的在直径，弦CD_LAB于点E,若CD=8, 0E = 3,则L0的直径为（AA. 10B. 12C. 14D. 16【答案】A【例11如图，。是AABC的外接圆，/BAC =60口，若O的半径OC为2,则弦BC的长为（A. 1B. 73C. 2D. 2M【答案】D【例12】小

8、英家的圆镜子被打破了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店,配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（）A. 2B. 5C. 2 - 2D. 3【答案】B【解析】考查垂径定理与勾股定理的应用.此题关键找到圆心，由不在同一条直线上的三点确定唯一一个圆.如图，作线段 AB,BC的垂直平分线交于点 。，点。即为圆镜的圆心，连结 OA,由图可知 AD =1,OD = 2 ,由勾股定理得半径 OA = yAD2 +OD2 = +22 = J5 .【例13如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为 O,直径AB是河底线，弦 CD是水位线，CD/AB,且 CD = 24 m

9、,OELCD于点 E.已测得 sin/DOE = 13(1)求半径OD;(2)根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干?【答案】(1) . OELCD于点 E, CD=24,/.ED = -CD =12.2在 RtDOE 中，sin/DOE =-ED =,，OD =13 (m).OD 13(2) OE= VOD2 -ED2 = 132 -122 =5 -将水排干需：5T0.5=10小时.【例14如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为()A. 5 米B. 8 米C. 7 米D. 5J3 米【答案】B【例15如图，AB为O

10、的直径，弦CD 1 AB，垂足是E ,连接OC ,若OC =5D 8 ,则AE =CB【例16】一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径OC是6,则水面宽人8是()OB = 10,截面圆圆心 O到水面的距离A. 16B. 10C. 8【答案】AD. 6Q与坐标轴交与 A (1,0)、B ( 5, 0)两点，点O1的纵坐标为 灰，求Q的半径。【例17已知，如图,【答案】过。作OC _L AB，垂足为C ,则有.由 A (1,0)、B( 5,0),得 AB = 4,二 AC = 2 .在 fRADC 1中，.。1 的纵坐标为 45。.|_01 的半径 O1A= JO1C2 +AC2 =1(

11、V5)2 +22 =3CD =48cm,求弦AB与CD间的距离.CD【例18】已知。的直径是50cm,。0的两条平行弦 AB = 40cm,【答案】本题有两种情况：(1) AB, CD在圆心O的同侧， 当AB , CD在圆心O的同侧时，作 OF _LAB于F , 交CD于E如右图所示. AB II CD ,OE_LCD11由垂径定理知： AF =_ AB =20cm CE =_CD =24cm 2，2连结 OA与 OC, OA=OC=25cm.OE = J252 242 =7cm，OF =J252 202 =15cm，AB与CD之间的距离 EF=15 7=8cm(2) AB, CD在圆心O的两

12、侧如右图所示，AB与CD之间的距离 EF =15+ 7 = 22cm .【例19】在半径为1的OO中，弦AB、AC的长分别为 有和鱼，则/BAC的度数为【答案】此题分两种情况讨论：(连结OA ,过O点分别作则 AD 一, AE ,221)若AR AC在圆心O的同侧，如图OD _L AB , OE _L AC ,垂足分别为 D、EZOAD =30% ZOAE =45,ZBAC =/DAE =451305，(2)若AR AC在圆心O的异侧，如图根据圆的对称性，/BAC=75 +综上所述，/BAC的度数为15 口或75，【例20如图，AB是。的直径，BC是弦，CD _L AB于E ,交BC于D，(1

13、)请写出四个不同类型的正确结论。(2)连接CD,BD ,设/CDB =ot,/ABC = P ,试找出u与P之间的关系，并给与证明。【答案】(1)BE=CE； BD =CD ； BED =90 ；/BOD =/A (2)答案不唯一，(如 AC / OD ; AC_L BC MBOEsABAC 等也可)(2) 同弦所对的圆周角相等或互补.- =180【例21】问题探究(1)在图的半径为 R的半圆O内(含弧)，画出一边落在直径 MN上的面积最大的正三角形， 并求出这个正三角形的面积？(2)在图的半径为 R的半圆O内(含弧)，画出一边落在直径MN上的面积最大的正方形，并求出这个正方形的面积？问题解决

14、（3）如图，现有一块半径 R =6的半圆形钢板，是否可以裁出一边落在MN上的面积最大的矩形？若存在，请说明理由，并求出这个矩形的面积；若不存在，、 /、jFTujTLJ LJV0N 鼠oN 【答案】如图正乙）M A g B NM b O V卬（1、2/3. d2 4 D2 （3、36说明理由？ /、M0NA_DAf、一 Jir35【例22如图，有一木制圆形脸谱工艺品,H、T两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点处打一小孔.现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不 同的方法确定点 D的位置（画出图形表示），并且分别说明理由.【答案】方法一：如图，画TH的垂

15、线L交TH于D ,则点D就是TH的中点,依据是垂径定理;方法二：如图，分别过点 T、H画HC _LTO ,TE _L HO , HC与TE相交于点F ,过点O、F画直线L交HT于点D ,则点D就是TH的中点,由画图知， Rt|_HOCRt|_TOE,易得HF =TF ,又 OH =OT ,所以点O、F在HT的中垂线上，所以HD =TD ;方法三：如图.（原理同方法二）*课后作业【题1】 如图，已知 AB是|_O的弦，半径 OA=6,/AOB =120,则AB = 【答案】作 OC_LAB于C,则 OC 平分 AB；NAOB =120Q./A = 30=.3-AC = OA|_cos 一 A =

16、 6 = 3 3 , 2.AB =2AC = 6.3O的一部分）区【题2】 如图，海边立有两座灯塔 A B,暗礁分布在经过 A、B两点的弓形（弓形是 域内，ZAOB=80.为了避免触礁，轮船 P与A、B的张角/APB的最大值为 【答案】401【解析】当点P在优MAB上时，/APB的值最大，等于 -AOB = 40.已知 D = 30【题3】如图，AB是UO的直径，点C、D都在LIO上，连结CA, CB, DC ,DB .BC =3,则AB的长是【答案】6【解析】：BC = BC/A=/D=30: ；/ACB=902，AB=2BC=2m3 = 6【题4】 如图，点O为优弧ACB所在圆的圆心， /

17、AOC=108口。点D在AB延长线上，BD = BC, 则/D =.【答案】271 1【解析】 / ABC = / AOC =-x108=54s2 21 1一,BC =BD, D = BCD = ABC 54 =272 2【题5】 如图，/BAC所对的（图中BC）的度数为120，。的半径为5,则弦BC的长为【答案】5 .3【解析】连结OB、OC ，过。作OD _L BC于D .；NBAC所对的BC的度数为120口，BOC =1201180 -120 O OB OC, / OBD 302又；OB =5,，在 RMOBD 中,BD =OBcos OBD=5 cos30 = 5,3 5.32 一 2

18、由垂径定理得弦BC = 2BD = 2 m 55=5石.2=3,则Lo的半径是【题6】 如图，|_|0的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为 E,且AB = CD,已知CE = 1, ED【解析】如图，作OF _LCD于F , OG_LAE于G ,11由垂径 7E 理得， CD =DF CD (1 3)=2 22, OF =EF =1.连结 OD ,在 AODF 中，由勾股定理得， OD = JOF2 +DF2 = +22 = 45 .部分,【题7】 高速公路的隧道和桥梁最多. 如图是一个隧道的横截面， 若它的形状是以 O为圆心的圆的 路面AB=10米，净高CD =7米，则此圆的半径 OA=()A

19、. 5B. 737C.5D.377【解析】考查了垂径定理、勾股定理.特别注意此类题经常是构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行计算.解：CD _L AB,根据垂径定理和勾股定理可得.由垂径定理得AD=5米,设圆的半径为r,则结合勾股定理得 OD2+AD2=OA2,即(7r)2+52 = r2 ,.一 37解得r = 37米.7【题8】 如图，已知 AB是|_0的弦，半径OA=20cm,/AOB =1201求AAOB的面积.4星如图，作OC_LAB于C,则AC =BC,1,S&OB=2ABD0c.作 OC _L AB 于点 C ,则有 AC = CB, /AOC1=/AOB =60，2

20、在 RtAAOC 中，OA = 20cm所以 AC =10j3cm,OC =10cm,所以 SOB=1 ABOC =100.3(2一2、cm )100 .3【题9】如图，台风中心位于点 P,并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为40千米/时，受影响区域的半径为260千米，B市位于点P的北偏东75方向上，距离P点480千米.(1)说明本次台风是否会影响 B市;(2)若这次台风会影响 B市，求B市受台风影响的时间.北B【答案】(1)作BH _LPQ于点H .在 Rt_BHP 中，由条件知， PB =480, /BPQ =75 45 = 30)BH =480sin30=24O, AC =6 ,

21、BC=8,则 MBC的内切圆半径为 考点十七：圆与圆的位置关系【例39若两圆的半径分别是 3 cm和4 cm,圆心距为7cm,则这两圆的位置关系是（）A.内切B.相交C.外切D.外离【例40若两圆的半径分别为 5和7,圆心距为2,则这两圆的位置关系是（）A.内含B.内切C.相交D.外切【例41】已知O Oi与。2相切，O Oi的直径为9 cm , O O2的直径为4 cm ,则O1O2的长是（）A . 5cm 或 13cmB . 2.5cmC.6.5cmD .2.5cm 或 6.5cm【例42如图，点A、B在直线MN上，AB =11 cm ,圆A,圆B的半径为1 cm ,圆A以每秒2 cm的速

22、度自左向右运动，与此同时，圆B的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式r =1 t(t _0)试写出点A、B间的距离d （ cm ）与时间t （秒）间的函数表达式问A出发后多少秒两圆相切 ？考点十八：正多边形与圆【例43】边长为a的正六边形的边心距为（）A. aB. -aC. - aD. 2a【例44】同一个圆的内接正方形与内接正六边形边长之比为（）A. 2:3B. 3: 2C. , 2 :2D. 2 :1考点十九：扇形有关计算【例45如图，A是半彳5为1的圆O外一点，OA = 2, AB为圆O的切线,AC ,求阴影部分的面积【例46如图，RtZiABC 中，/C =9

23、0, AC=4, BC=2,分别以 AC、B为切点，弦BC II OA,连接BC为直径画半圆，则图中阴影【例47】已知：如图，直角 MBC 中，/ACB=90 AC=BC=1, DEF影部分的面积相等，那么 AD的长是 （结果不取近似值）.的圆心为A,如果图中两个阴A部分面积为（结果保留几）【例48如图，是用边长为 2cm的正方形和边长为 2cm正三角形硬纸片拼成的五边形ABCDE在桌面上由图1起始位置将图片沿直线l不滑行地翻滚，翻滚一周后到图2的位置. 则由点A到点A4所走路径的长度为 （）10二A. cmB.8 3, 2 二cm12,27:C.-cm13二D.3cm考点二十：圆柱和圆锥有关计算_ .一 一一，一.1 一、.一，【例49如图，如果从半径为 9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝3处不重叠），那么这个圆锥的高为（A. 6cmB.C. 8cmD.5 3 cm剪去【例50】圆锥的母线AB=6,底面半径CB=2,则其侧面展开图扇形的圆心角a的度数为（）oA. 90oB. 100oC. 120oD. 150