2022年《分式的基本性质》典型例题

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1、分式的基本性质典型例题例 1 下列分式的变形是否正确，为什么？（1）2aabab（2）acbcab例 2写出下列等式中的未知分子或未知分母。（1）322)(baabba（2）)(111232aaaa例 3不改变分式的值，将下列各分式中的分子和分母中的各项系数都化为整数. （1）yxyx02.05.03.02.0（2）yxyyx324112 .0例 4不改变分式的值，使下列各分式中的分子、分母的最高次项系数为正数. （1）32211aaaa（2）2332xxx例 5已知不论x取什么数时，分式53bxax（05bx）都是一个定值，求a、 b应满足的关系式，并求出这个定值. 例 6已知一个圆台的下底

2、面是上底面的4 倍，将圆台放在桌面上，桌面承受压强为 P 牛顿/2米，若将圆台倒放，则桌面受到的压强为多少？例 7不改变分式的值，使下列分式的分子、分母前都不含“ ” 号：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 例 8不改变分式的值，使分式yxyx4.05 .03121的分子、分母中的多项式的系数都是整数例 9判定下列分式的变形是不是约分变形，变形的结果是否正确，并说明理由：（1）bbaa11；（2）b

3、ababa122；（3）xxxxxx2222323；（4）baabba122例 10化简下列各式：（1）323453baba；（2）bbaa821624；（3）62332222xxxxxxxx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 参考答案例 1 分析 分式恒等变形的根据是分式的基本性质，应该严格地用基本性质去衡量，0M是基本性质的生果组成部分，应特别注意. 解 （1）已知分式ab/中已隐含了0a，用a

4、分别乘以分式的分子、分母，分式的值不变，故（1）是正确的 . （2）因为已知分式ba /中，没限制c，c可以取任意数，当然也包括了0c，当分式的分子、分母都乘以0c时，分式没意义，故（ 2）是错误的 . 例 2分析（1）式中等号两边的分母都是已知的，所以从观察分母入手， 显然，32ba是由2ab乘以 ab得到的，由分式的基本性质，ba也要乘以 ab，所以括号内应填abba)(（2）式中等号两边分子都已知，所以先观察分子，22)1(12aaa除以1a得到右边分子1a，按照分式的基本性质，1) 1()1(23aaaa，故括号内应填.12aa解： （1）322)(baabbaabba（2）)1(11

5、12232aaaaaa例 3分析 要把分式的分子、分母中各项系数都化为整数，可根据分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个恰当的不为零的数，怎样确定这个数呢？（1）中分子、分母中的各项系数是小数，这个数应是各项系数的最小公倍数. （2）中分子、分母中各项系数(512 .0)是分数，这个数应该是各项系数的分母的最小公倍数，即5，2，4，3 的最小公倍数 60. 解： （1）法 1：原式50)02.05.0(50)3.02 .0(yxyxyxyx251510名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - -

6、 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 法 2：原式100)02.05.0(100)3 .02.0(yxyxyxyxyxyx2515102503020（2）原式yxyxyxyx4015301260)3241(60)2151(说明在将分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的数时，要遍乘分子分母的每一项，防止漏乘. 例 4分析（1）式中分子要变号，分母也要变号，所以应该同时改变分子、分母的符号. （2）式中分母需要变号，分子不需要变号，所以需要同时改变分母和分式本身的符号 . 解： （1）32211aaaa)1 ()1(322aaaa1123

7、2aaaa（2）2332xxx)23(32xxx2332xxx例 5分析在研究某些有关特值的数学问题时，我们可以不考虑一般值，而是直接利用取符合条件特殊值代入研究解决，这就是所谓的特殊值法. 解：当0 x时，5353bxax1x时，5353babxax不论x取什么实数，53bxax是一个定值5353ba，153155aaba35ba53把ba53代入原式，得535)5(53535353bxbxbxbxbxax名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共

8、 7 页 - - - - - - - - - a、 b 的关系为ba35；定值为53例 6解： 设圆台的压力为 G 牛顿， 下底面积为1S2米， 上底面积为2S2米. 则1SGP,214SS214PSPSG当圆台倒放时，桌面受到的压强为：PSPSSG44222(牛顿/2米) 答：桌面受到的压强为P4牛/2米. 说明运用分式知识，有助于解决物理中问题（1）nm25；（2）ab4；（3）yxx63；（4）baba32例 7分析根据“ 分式的变号法则：分子、分母、分式的符号中，同时改变其中任意两个，分式的值不变” 解： （1）同时改变分子和分式的符号，得nmnm2525；（2）同时改变分母和分式的符

9、号，得abab44；（3）先确定是分母的符号，再变号，得yxxyxxyxx636363；（4）先确定是分子的符号，然后变号，得babababababa323232说明1分式中的分数线实际上起到了括号的作用如果分式的分子或分母是多项式，要把它看成是一个整体，考虑这个整体的符号，如（3） ， （4）题，千万不可误解成yxxyxx6363或babababa3232；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 2对

10、于（ 4）题，也可处理成baabbaba2332的形式例 8分析此分式分子中各系数的最小公倍数是6，分母中各系数的最小公倍数是 10，而 10 和 6 的小公倍数是 30于是可利用分式的基本性质：分子、分母同时乘以 30解：yxyxyxyxyxyx121510153052213031214 .05 .03121说明1利用分式基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了数学化繁为简的策略，并为分式作进一步处理，提供了便利条件2 操作过程中，用数 30 的确定是问题的关键所在 因此不仅要考虑到分子、分母，还要考虑分式，使化成整系数一次到位例 9分析约分变形的前提是分子、分母有公因式解： （1）

11、 、 （2） 、 （3）题的变形都不是约分，结果都是错误的（1）分式的分子和分母分别是一个整式，利用分式的基本性质，“ 除以一个整式a” 是对分子、分母的整体进行的而只对分子和分母中的某一项进行，就违背了分式基本性质的使用前提，所以是错误的（2）分式的分母是个平方和的形式，不能分解因此分子、分母没有公因式，它是最简分式故此题的变形是毫无根据的（3） 当分子、 分母都是乘积的形式， 才有约分的可能，而这里232xx与2x是和的形式，因此不能进行约分正确的结果解法是：222222223xxxxxxxx121222xxxx（4）此题是约分变形因此分母化成baba的形式，与分子约去公因式ba可得说明1

12、对于代数式的恒等变形形式多样，但每一种变形却是运用定义、定理，并根据法则规范操作，而绝不能随心所欲；2对（ 1） 、 （2） 、 （3）题的变形错误，实际上也可以举反例说明如（1）题：当2a，3b时，311322 （2） 、 （3）题同理名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 例 10分析化简就是把分式的分子、分母中的公因式约去使其成为最简公式因此对分子、分母是单项式时候，先分别化成与公因式的乘积形式；

13、对于多项式仍然要先分解因式解：（1）2222323151533453babbaabababa；（2）baabaabbaa2442448216222224；（3）132121362332222xxxxxxxxxxxxxxxx说明1当分式中分子或分母的系数为负时，处理负号是首先要进行的2 约分是实现化简分式的一种手段通过约分将分式化成最简才是目的 而最简分式为分式间的进一步运算提供了便利条件3把分式的分子、分母因式分解是约分的需要，但也要根据分式的具体情况，而不可盲目进行分解例如（2）题，分式ba242已经是最简分式了，因此就没有必要将分子再继续分解了名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -