第二类曲面积分学习教案

《第二类曲面积分学习教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二类曲面积分学习教案（71页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、会计学1第二类曲面第二类曲面(qmin)积分积分第一页，共71页。观察观察(gunch)(gunch)以下曲面的侧以下曲面的侧 ( (假设曲面是光滑假设曲面是光滑的的) )曲面曲面(qmin)(qmin)分上侧分上侧和下侧和下侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第1页/共71页第二页，共71页。n曲面曲面(qmin)(qmin)的分的分类类: :1 .1 . 双 侧 曲 面双 侧 曲 面(qmin);(qmin);2 .2 . 单 侧 曲 面单 侧 曲 面(qmin).(qmin).典典型型双双侧侧曲曲面面机动机动 目录目录 上页上页

2、下页下页 返回返回 结束结束 第2页/共71页第三页，共71页。莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型(dinxng)(dinxng)单侧曲面单侧曲面: :播放播放(b fn)机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第3页/共71页第四页，共71页。侧曲面。侧曲面。单单为双侧曲面。否则称为为双侧曲面。否则称为没有改变，则称没有改变，则称的方向的方向点时，点时，到到越过边界移动，最后回越过边界移动，最后回上不上不点出发，在点出发，在，若动点从，若动点从，记为，记为向向，取定一个指，取定一个指处的法向量有两个指向处的法向量有两个指向在在上任意一点，上任意一点，为为为一光

3、滑曲面，为一光滑曲面，设设 nMMnMM定义定义(dngy)：用曲面法向量用曲面法向量(xingling)(xingling)的指向规定曲面的指向规定曲面的侧，的侧，规定了侧的曲面规定了侧的曲面(qmin)(qmin)称为有向曲面称为有向曲面(qmin)(qmin)。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第4页/共71页第五页，共71页。曲面侧的具体规定曲面侧的具体规定(gudng)(gudng)如下：如下：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 第5页/共71页第六页，共71页。机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页

4、 下页下页 返回返回 结束结束 正、负侧分别记为正、负侧分别记为 ， 。 第6页/共71页第七页，共71页。引例引例(yn l): (yn l): 流体流向曲面一侧的流量流体流向曲面一侧的流量. .Av0n A cosvA 流量流量机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 AvnvA 0第7页/共71页第八页，共71页。xyzo 机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),( 解：解：利用微元法利用微元法分割、近似、求和分割、近似、求和(qi h)、

5、取极限取极限第8页/共71页第九页，共71页。xyzo iS ),(iii ivin则该点流速则该点流速(li s)为为iv单位单位(dnwi)(dnwi)法法向量为向量为 . .0in机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1.1.分割分割第9页/共71页第十页，共71页。)., 2 , 1(0niSnviii ,),(),(),(),(kRjQiPvviiiiiiiiiiiii 3.3.求和求和(qi h)(qi h) niiiiSnv10kjiniiii coscoscos0 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu)

6、 结束结束 2.2.近似近似(jn s)(jn s)则该点流速为：则该点流速为：第10页/共71页第十一页，共71页。iiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 )(,()(,()(,(1xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP 3.3.取极限取极限(jxin)(jxin)0 .的精确值的精确值取极限得到流量取极限得到流量 )(,()(,()(,(lim10 xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP niiiiSnv100lim 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 第11页/共71页第

7、十二页，共71页。设设 为光滑的 为光滑的有有向曲面，取定一侧，记这一侧的向曲面，取定一侧，记这一侧的单位法向量为单位法向量为),(0zyxn。 又设向量函数。 又设向量函数),(zyxF在 上在 上有有定义定义。 把。 把 任意分成 任意分成 n块小曲面块小曲面iS ( (iS 同时又表示同时又表示第第i块小曲面的面积块小曲面的面积), ), ),(iii 是是iS 上任上任意意取定的一取定的一点，点，),(0iiin 表示该点处的单位法向量，表示该点处的单位法向量，作和式：作和式： niiiiiiiiSnF10),(),( 机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页

8、返回返回 结束结束 如果当各小块曲面的直径的最大值如果当各小块曲面的直径的最大值 0 时时, , 上面和式上面和式有极限（极限值与区域的分法和点的取法无关）有极限（极限值与区域的分法和点的取法无关） ，则称则称此此 第12页/共71页第十三页，共71页。极限值为向量函数极限值为向量函数 ),(zyxF 在有向曲面在有向曲面 上沿指定 上沿指定一侧一侧 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 （或或第二类曲面积分第二类曲面积分， 或或向量场向量场上的面积分上的面积分） ，） ，记作记作： 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 001lim(,)(,)ni

9、iiiiiiiFnS dSzyxnzyxF),(),(0 SdzyxF),(（0dSn dS 称为有向面积元素）称为有向面积元素） 当当 是封闭曲面时， 是封闭曲面时，第二类曲面积分常记作第二类曲面积分常记作 SdzyxF),( dSnF0第13页/共71页第十四页，共71页。机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0coscoscosF n dSPQRdS ( , , )( , , ),( , , ),( , , )F x y zP x y z Q x y z R x y z 若若 0( , , )cos,cos,cosnx y z ，则则,cosdSd

10、ydz ,cosdSdzdx dSdxdy cos 则则第14页/共71页第十五页，共71页。 zyPdd xzQdd称为称为Q Q 在有向曲面在有向曲面(qmin)(qmin)上对上对 z, x z, x 的的曲面曲面(qmin)(qmin)积分积分; ; yxRdd称为称为R R 在有向曲面在有向曲面(qmin)(qmin)上对上对 x, y x, y 的的曲面曲面(qmin)(qmin)积分积分. .称为称为(chn wi)P (chn wi)P 在有向曲面在有向曲面上对上对 y, y, z z 的曲面积分的曲面积分; ;机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0co

11、scoscosF n dSPQRdS PdydzQdzdxRdxdy 第二类曲面积分的坐标表示第二类曲面积分的坐标表示 其中：其中：第15页/共71页第十六页，共71页。第二类曲面第二类曲面(qmin)积分存在的必积分存在的必要条件要条件:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 说明说明(shumng)：dSzyxnzyxv ),(),(0d dd dd dP yzQ zxR x y 第16页/共71页第十七页，共71页。基本基本(jbn)性性质：质： dSnFkdSnFkdSnFkFk02201102211)(（1 1）线性性质）线性性质(xng

12、zh)(xngzh)： 21000dSnFdSnFdSnF机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 第17页/共71页第十八页，共71页。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 解：解： , , Fx y z 设设， 则则0QF n dS 0/F n 因因为为，且且同同向向，0|F nF 所所以以a 0QF n dS adS adS a表表面面积积34 a 01 , , nx y za 事事实实上上，容容易易求求得得：第18页/共71页第十九页，共71页。机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页

13、上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：32 , 2 , 3 n532,52,530 n dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( dSzyxRQzyxP),(322),(3(51第19页/共71页第二十页，共71页。 ),(yxzz xyDxyzoxyS)( 机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 n第20页/共71页第二十一页，共71页。有有向向曲曲面面的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦为为 ,1cos22yxxzzz dxdyzzdSyx221 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (f

14、nhu) 结束结束 ,1cos22yxyzzz .11cos22yxzz 第21页/共71页第二十二页，共71页。机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dSnF 0 RdxdyQdzdxPdydz dSRQP coscoscos xyDyxzyxzyxQzyxzyxP)(),(,)(),(, dxdyyxzyxR1),(, 则则第22页/共71页第二十三页，共71页。其中：若其中：若 取上侧，取正号，取上侧，取正号， 取下侧，取负号。取下侧，取负号。 RdxdyQdzdxPdydz xyDyxzyxzyxQzyxzyxP)(),(,)(),(,

15、dxdyyxzyxR1),(, 机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 合一合一(h y)(h y)投投影法影法第23页/共71页第二十四页，共71页。其其中中：若若 取取前前侧侧，取取正正号号， 取取后后侧侧，取取负负号号。 RdxdyQdzdxPdydz yzDyxzyzyxQzyzyxP)(,),(1,),( dydzxzyzyxRz)(,),( 机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 合一合一(h y)(h y)投影法投影法第24页/共71页第二十五页，共71页。其其中中：若若 取取右右侧侧，取取正正号

16、号， 取取左左侧侧，取取负负号号。 RdxdyQdzdxPdydz zxDxzxzyxQyzxzyxP1),(,)(),(, dzdxyzxzyxRz)(),(, 机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 合一合一(h y)(h y)投影法投影法第25页/共71页第二十六页，共71页。 若若,),( , ),(:zyDzyzyxx 则有则有 zyzyxPdd),(), (zy,PzyD ),(zyxzydd 若若,),( , ),(:xzDxzxzyy 则有则有 xzzyxQdd),() z , ,( xzDxQ),(xzyxzdd( (前正后负前正后负)

17、)( (右正左负右正左负) )说明说明(shu(shumng)mng): : yxzyxRdd),() ,( yxDyxR),(yxzyxdd机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 若若,),( , ),(:yxDyxyxzz 则有则有( (上正下负上正下负) )分面投影分面投影(tuyng)(tuyng)法法第26页/共71页第二十七页，共71页。机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解:,:1取上侧取上侧az ,:222取下侧取下侧yxz 1321zdxdyydzdxxdydzQdxdyaxyD 333

18、 a 222:ayxDxy 合一合一(h y)(h y)投影法投影法 xyDyxdxdyazyzx3)(2)(oxyza h第27页/共71页第二十八页，共71页。 xyDdxdyyxyx22222 dda 0222220sincos23a 21QQQ 333aa 32 a 机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2322zdxdyydzdxxdydzQ xyDyxdxdyyxzyzx3)(2)(22,:222取下侧取下侧yxz 222:ayxDxy 合一合一(h y)(h y)投投影法影法第28页/共71页第二十九页，共71页。机动机动(jdng

19、) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解1: 的的方方程程化化为为：21yx ，yzDzy ),( o311 yzDyzdydzxzxyzyIyzDzy )()()1(22dydzyyzyyzD 1)1(232关于关于(guny) y (guny) y 是是奇函数奇函数dyyzdz 10230)1(26 第29页/共71页第三十页，共71页。在第四卦限部分的上侧在第四卦限部分的上侧为平面为平面为连续函数为连续函数其中其中计算计算1,),(,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例例5 5：xyoz111 解解

20、1 1yxz 1:机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xyDxzyxfI1),( xyDdxdy.21 )1(),(2 yzyxfdxdyyxzyxf1),( 合一合一(h y)(h y)投影法投影法第30页/共71页第三十一页，共71页。在第四卦限部分的上侧在第四卦限部分的上侧为平面为平面为连续函数为连续函数其中其中计算计算1,),(,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfIxyoz111 解解2 2利用两类曲面积分利用两类曲面积分(jfn)之间的关之间的关系系,1 , 1, 1 n的法向量为的法向

21、量为.31cos,31cos,31cos 机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ),(31xzyxfI dSzyx)(31 xyDdxdy3131.21 dSzzyxfyzyxf),(31),(231 例例5 5：第31页/共71页第三十二页，共71页。例例 6 6：计算计算 xyzdxdy，其中，其中 是球面是球面 1222 zyx 外外侧在侧在 0, 0 yx 的部分的部分。 解解:两部分两部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz xyz2 1 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结

22、束结束 根据对称性根据对称性0dd yxxyz 思考思考: : 下述解法是否下述解法是否(sh fu)(sh fu)正确正确: :注意：第二类曲面注意：第二类曲面(qmin)积分没有奇偶对称积分没有奇偶对称性！性！第32页/共71页第三十三页，共71页。 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyDdxdyyxxy221 xyDdxdyyxxy2212 1022401cossin2 dd机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xyDdxdyyxxy)1(22xyz2 1 152 ;1:2211yxz ,1:2222yxz 第33页/共71

23、页第三十四页，共71页。说明说明(shumn(shumng)g)： 类似地，若类似地，若 垂直于垂直于yoz平面时，平面时，0 Pdydz； 若若 垂直于垂直于zox平面时，平面时，0 Qdzdx。 机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第34页/共71页第三十五页，共71页。机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第35页/共71页第三十六页，共71页。 uvDvuzyvuzvuyvuxP),(),(),(),(),( ),(),(),(),(),(vuxzvuzvuyvuxQ dudvvuyxvuzvuyvuxR

24、),(),(),(),(),( 第36页/共71页第三十七页，共71页。机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xzy上上1 下下1 左左2 右右2 前前3 后后3 解解: : yxxzdd)( 上上1dd)(yxxz yxDyxxadd)2( yxxz 下下1dd)( yxxayxD dd)2( yxDyxadd3a 同理：同理： dzdyyx )(dzdxzy )(3a 所以所以(suy)(suy)： 原式原式33a 分面投影分面投影(tuyng)法法第37页/共71页第三十八页，共71页。1:222222 czbyax取外侧取外侧(wi c)

25、 .(wi c) .解解1:1: zyxdddxdycyxDbyax,2222111dxdycyxDbyax,2222111222221dd1xyDxycxyab ,sin,cos byax ddddbayx d1d210220 abc21c cba 4 注意注意(zh (zh y)y)号号1:2222 byaxDxy其中其中(qzh(qzhng)ng)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,ddddddzyxyxzxzyI 分面投影法分面投影法第38页/共71页第三十九页，共71页。 zyxdd21c cba 4 类似类似(li s)的的 xzydd21a cba 4

26、yxzdd21b cba 4 222111cba cbaI 4 机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 向向 yoz yoz 平面平面(pngmin)(pngmin)投影投影向向 zox 平面投影平面投影分面投影法分面投影法1:222222 czbyax第39页/共71页第四十页，共71页。1:222222 czbyax取外侧取外侧(wi c) .(wi c) .解解2:2:其中其中(qzh(qzhng)ng)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 ,ddddddzyxyxzxzyI 椭球面的参数方程椭

27、球面的参数方程sincossinsincosxaybzc 200 ijkxyzxyzcoscoscossinsinsinsinsincos0ijkabcab 22sincos ,sinsin ,sincos bcacab 第40页/共71页第四十一页，共71页。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 ()sinDbcacabd dabc 2sincos(sincosDbca sincos)cosabd dc 2221114()abcabc d dd dddyzzxxyIxyz 2sinsinsinsinacb 200()sinbcacabddabc

28、 ( , )( , )( , ),( , )( , )( , )y zz xx y 即即22sincos ,sinsin ,sincos bcacab 第41页/共71页第四十二页，共71页。机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解2:cos ,sin ,0 zzzijkxyzxyzsincos0001ijk 第42页/共71页第四十三页，共71页。机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 cos ,sin ,0 22Ix zdydzy dzdxzdxdy ( , )( , )( , ),( , )( , )

29、( , )y zz xx yzzz即即33( cossin)zDzd dz 333202( cossin)dzdz 33202cosdzdz 奇函数奇函数32092cos2d 92223 6 第43页/共71页第四十四页，共71页。定义定义(dngy(dngy):): yxRxzQzyPdddddd zyiiiiniSP ),(lim10 yxiiiiSR ),( xziiiiSQ ),( 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 联系联系: : yxRxzQzyPdddddd SRQPdcoscoscos 第44页/共71页第四十五页，共71页。则

30、则其中：若其中：若 取上侧，取正号，取上侧，取正号， 取下侧，取负号。取下侧，取负号。 RdxdyQdzdxPdydz xyDyxzyxzyxQzyxzyxP)(),(,)(),(, dxdyyxzyxR1),(, 机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1.1.合一合一(h y)(h y)投影投影法法计算计算(j (j sun):sun):其它情况类似。其它情况类似。第45页/共71页第四十六页，共71页。yxDyxyxzz ),( , ),(:时，时，yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),( （上侧取（上侧取“+”, +”, 下侧取下

31、侧取“ ”) )机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 当当2.2.分面投影分面投影(tuyng)(tuyng)法法其它情况其它情况(qngkung)类似。类似。注意：注意： 在第二类曲面积分中，由于积分与曲面的侧有在第二类曲面积分中，由于积分与曲面的侧有关，因此要慎用对称性。一般的讲，应在曲面积关，因此要慎用对称性。一般的讲，应在曲面积分化为二重积分后再考虑能否利用对称性来化简分化为二重积分后再考虑能否利用对称性来化简计算。计算。第46页/共71页第四十七页，共71页。习题习题(xt)9-5(P288) 2，5，6，7，9机动机动 目录目录 上页上页 下

32、页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 第47页/共71页第四十八页，共71页。1 1、计算计算 zdxdydydzxz )(2，其中，其中 是旋转抛 是旋转抛物面物面 )(2122yxz 介于平面介于平面 0 z及及 2 z 之之间的部分的下侧间的部分的下侧. . 解：解： dydzxz)(2 zdxdy dxdyzzxzxyDx )(2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 合一合一(h y)投影投影法法第48页/共71页第四十九页，共71页。 xyDdxdyyxxxyx)(21)()(4122222 xyDdxdyyxx)(21

33、222 2022220)21cos( dd.8 xyDdxdyyxxxyx)(21)(41222222机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 关于关于(guny) x (guny) x 是奇函数是奇函数dxdyzzxzxyDx )(2422 yxDxy：)(2122yxz 第49页/共71页第五十页，共71页。机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解1:，31,32,320 n)6222(3120 yxxxynFdSnF )(0dSyxxxy )6222(312dxdyyxxxyxyD )6222(

34、2dyyxxxydxx 30230)6222(33xyoxyD3 yx427 dxdydS3 第50页/共71页第五十一页，共71页。机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解2:dSnF )(0dxdyzxdzdxxxydydz )(2dxdyyxxxyxyD )2622(2yxz226: dyyxxxydxx 30230)2622(427 33xyoxyD3 yxdxdyzxzxzxyxyDyx )()()(2第51页/共71页第五十二页，共71页。yxz111 ,1:22yxz 是其外法线是其外法线(f (f xin)xin)与与 z z

35、轴轴正向正向(zhn xin)(zhn xin)夹成夹成的锐角的锐角, , 计算计算.dcos2 SzI 解解1: 1: 1 ,yxzzn 1 ,1,12222yxyyxx n机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,1,220yxyxn 221cosyx 第52页/共71页第五十三页，共71页。yxz111 SzIdcos2 d)1(d21020 2 yxDyxyxdd)1(22n机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 222:ayxDxy ,122yxz ：221cosyx Syxd)1(322dxdyyx

36、dS2211 第53页/共71页第五十四页，共71页。yxz111 ,1:22yxz 是其外法线是其外法线(f xin)(f xin)与与 z z 轴轴正向正向(zhn xin)(zhn xin)夹成夹成的锐角的锐角, , 计算计算.dcos2 SzI 解解2: 2: SzIdcos2 yxzdd2 d)1(d21020 2 yxDyxyxdd)1(22n机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 222:ayxDxy 第54页/共71页第五十五页，共71页。莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型(dinxng)(dinxng)单侧曲面单侧曲面: :机动机动 目

37、录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第55页/共71页第五十六页，共71页。莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型(dinxng)(dinxng)单侧曲面单侧曲面: :机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 第56页/共71页第五十七页，共71页。莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型(dinxng)(dinxng)单侧曲面单侧曲面: :机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 第57页/共71页第五十八页，共71页。莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型(dinxng)(dinxng)单侧曲面单侧曲面:

38、 :机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 第58页/共71页第五十九页，共71页。莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型(dinxng)(dinxng)单侧曲面单侧曲面: :机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第59页/共71页第六十页，共71页。莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型(dinxng)(dinxng)单侧曲面单侧曲面: :机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第60页/共71页第六十一页，共71页。莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型(dinxng)(dinxng)单侧

39、曲面单侧曲面: :机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第61页/共71页第六十二页，共71页。莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型(dinxng)(dinxng)单侧曲面单侧曲面: :机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 第62页/共71页第六十三页，共71页。莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型(dinxng)(dinxng)单侧曲面单侧曲面: :机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第63页/共71页第六十四页，共71页。莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型(dinxn

40、g)(dinxng)单侧曲面单侧曲面: :机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第64页/共71页第六十五页，共71页。莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型(dinxng)(dinxng)单侧曲面单侧曲面: :机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 第65页/共71页第六十六页，共71页。莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型(dinxng)(dinxng)单侧曲面单侧曲面: :机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第66页/共71页第六十七页，共71页。莫比乌斯带莫比乌斯带典型

41、典型(dinxng)(dinxng)单侧曲面单侧曲面: :机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 第67页/共71页第六十八页，共71页。莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型(dinxng)(dinxng)单侧曲面单侧曲面: :机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 第68页/共71页第六十九页，共71页。莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型(dinxng)(dinxng)单侧曲面单侧曲面: :机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第69页/共71页第七十页，共71页。莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型(dinxng)(dinxng)单侧曲面单侧曲面: :机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 第70页/共71页第七十一页，共71页。